數學思維素養深度涵育：教學的進路與方略

王欽敏，余明芳

數學思維素養深度涵育：教學的進路與方略

王欽敏，余明芳

（福建教育學院 數學教研室，福建 福州 350025）

發展學生數學思維素養，促使知識向素養轉化，正成為中學數學教學的重要導向．結合具體教學事例，分析總結涵育學生數學思維素養的教學進路與方略：從概念教學路徑涵育抽象思維素養，著力深化學生對概括過程的體驗與內涵的認知；從命題教學路徑涵育推理思維素養，努力提高學生進行探究發現與關系建構的能力；從應用教學路徑涵育建模思維素養，致力啟發學生領悟數學的思想方法與策略智慧；從數學精神層面深度涵育數學思維素養，重在引導學生求真、樂善和唯美的追求意向．

數學思維素養；深度涵育；路徑；方略

在數學學習和研究中，需要依賴抽象思維概括數學研究對象，依據推理思維構建數學理論體系，依靠模型思維發揮數學應用價值．眾多研究成果表明，數學思想是重要的文化素養，而抽象、推理與建模是數學的基本思想與思維方式，是學生適應個人和社會發展需要的關鍵能力與必備思維素養[1]．

發展學生數學思維素養，促使知識向素養轉化，正成為中學數學教學的重要導向．但不少身處教學一線的教師經過教學觀察與分析后認為，當前許多課堂被應試需求主導，數學教學嚴重異化為解題的模仿與訓練，大部分時間培養的只是學生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學生的數學思維素養．

嚴重異化為解題模仿與訓練的數學課堂，不能真正激發學生的學習興趣，其急功近利的行為只能讓學生獲得碎片的知識、零散的記憶和僵化的思維，難以讓學生構筑厚實的學習基礎，形成必要的探究發現能力，更難以讓學生的數學思維素養得以深度涵育，助力部分優秀學生成長為有數學家潛質的數學英才．

數學思維素養是數學知識與能力的內化，植根于日常數學學習的體驗與感悟．從課堂教學過程看，數學抽象、推理與建模等3個思維素養的涵育，需要教師更新教學觀念，調整目標方向，分別從概念、命題與應用教學等3個進路，有針對性地實施相應促進方略．下面以“向量”章節教學為例，對此進行具體分析、探討與總結．

1 從概念教學路徑涵育抽象思維素養 著力深化學生對概括過程的體驗與內涵的認知

數學抽象是人腦舍去某一類事物所有具體屬性得到其相同數學屬性的一種思維過程，通常可用數學符號或術語對抽象所得的共同數學屬性進行概括和表達．數學抽象主要包括從數量與圖形，以及數量關系和圖形關系中抽象出數學概念及概念間的關系，以及從事物具體背景抽象出一般規律和結構等過程，在這個過程中，數學認識由感性上升到理性，所得到的數學概念是人腦對實際事物中數量、空間、結構和變化等本質特征的一種意識反映，是進行數學思維和建立數學理論體系的基本構筑元素．在數學教學中，概念教學是培育學生數學抽象思維素養的主要路徑．

在概念教學中，學生數學抽象思維素養的形成，基于其對諸多和概念相關聯知識的整體理解與認識，需要教師適當騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明．以“向量”這一概念的教學為例，在課堂上，教師可先解說引入向量概念的因由與作用，講述與之相關的亞里士多德、威塞爾、牛頓、居伯斯等數學家所處的歷史背景和思考內容．可指出：在17世紀初，代數、幾何與三角等分支已形成相對完整的知識結構，但主要是以常量研究靜態事物，而客觀事物始終處于運動和變化狀態，很需要采用變量去研究其運動與變化特征；用變量表示一個動點，可刻畫動點的運動與變化屬性，若要刻畫動態線段的運動與變化屬性，就必須引入一個和變量類似的新概念．

獲得數學概念的主要思維方式是抽象與概括，抽象與概括是一種思維的體驗和領悟，因而，在數學概念教學中，應盡多地讓學生親歷概念的抽象與概括思維過程，在不斷的體驗與領悟中將經驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養．例如，教學中引入向量概念，大都只對物理學中力和位移等矢量進行簡單地類比與推廣，概念生成過程缺少抽象與概括思維，要讓學生有機會親歷抽象與概括的思維過程，就必須引導學生對物理的質量、距離、溫度、密度等標量，以及力、位移、電場強度、速度、磁感應強度等矢量進行具體、細致的比較分析．

分析與抽象有著密切聯系，是抽象思維過程的主要手段．辯證唯物主義認為，人對客觀事物的認識是在實踐的基礎上，通過分析感性的具體獲得理性的抽象，然后對各種理性抽象的規定進行更深刻的分析加工，進一步獲得理性的具體，達到具體的再生產，從而才能把握事物的本質與內在聯系．在向量概念形成之后，還需要引導學生對向量進行分類分析，并對某些特殊的向量和向量關系進行命名，如零向量、單位向量，以及直線的方向向量、平面的法向量，還有相等向量、共線向量等，讓學生細化認知以進一步明確概念外延．

學習者在面對一個全新的數學概念時，認識大多是遲鈍和模糊的，不能進行快捷的抽象提煉和明確的概括說明．比如，古希臘亞里士多德早已知道，對物理的“力”，需要關注其大小與方向，可以用平行四邊形法則將兩個力合成，但他卻不懂得使用有向線段去表示力，直到17世紀，數學家牛頓才知道使用有向線段表示矢量和向量[2]．因此，讓學生親歷向量這樣的概念抽象與概括思維過程，還需要教師給予充裕的時間并適時引導，直到學生通過比較分析發現：物理標量可以只用有長度的線段表示，而位移等矢量有長度與方向，必須用有向線段表示．

在概念教學中，著力深化學生對概念內涵與知識意義的認知，才能促使概念知識和思維能力在精神、思想和價值觀等文化層面涵養化育成為抽象思維素養，否則，抽象思維就可能僅僅只是形式思維的游戲．如在向量概念教學中，教師應啟發學生探討向量知識在幾何方面的意義，讓學生能類似18世紀挪威測量學家威塞爾那樣對向量的幾何意義進行研究，嘗試著用坐標平面上的點表示復數，然后用具有幾何意義的復數運算對向量運算進行定義，把向量和坐標平面上的點進行對應，使之成為研究幾何和三角問題的一種工具．

學生關于數學概念內涵及其知識意義的認知，是一個由淺入深漸次展開的過程，需要教師結合新章節學習內容逐步予以啟迪深化．比如，對于向量概念，可以在復數章節教學中引導學生比較分析向量與復數的幾何意義和運算法則；在解析幾何教學中引導學生使用向量坐標處理圖形位置關系和運算問題，認識到將向量用坐標(,)表示后，就可以成為二維變量廣泛應用在代數和幾何中；在立體幾何教學中引導學生將平面向量知識逐個推廣到空間，感悟向量知識體系本身具備的優良運算律和內在統一性．

作為數學的一個基本概念，向量的理論方法一直在不斷地滲透到數學各分支領域，為使學生對向量概念的內涵與知識意義有更深的了解與認識，教師可在教學中拓展性地介紹向量概念在高等數學中的推廣運用：在線性代數中，由個實數（或復數）組成的有序數組可視為維向量；可以將全體實系數多項式看作一個向量空間，使向量概念的外延涵蓋任意數學或物理對象，讓向量方法的應用范圍更加廣闊；等等．從以上敘述不難得到這樣的結論：學生抽象思維素養的形成和發展，需要教師在各個學段的點撥與啟迪，更需要學生在學習生涯中不斷地思考與感悟．

2 從命題教學路徑涵育推理思維素養 努力提高學生進行探究發現與關系建構的能力

數學推理是從一些事實和命題出發得出其它命題的思維過程，一般可分為演繹推理與合情推理兩種．通常，演繹推理可用以判斷一個數學結論是否正確，而合情推理可用以發現數學結論和探索證明思路．在數學的學習和研究中，可以通過抽象思維定義概念并明確研究對象，通過推理思維發現并論證概念間的關系，構建龐大的數學理論體系．在構建理論體系過程中獲得的定義、公理、公式、性質、法則與定理等，均可稱為數學命題．命題教學大多可以圍繞著概念內涵辨析、命題的發現與證明、新舊命題的關系等問題依次開展．

命題教學是培育學生數學推理思維素養的重要路徑．數學的定義、公式和定理等命題前后相聯，形成眾多環環相扣的知識鏈條和錯綜復雜的知識網絡結構．學習者在厘清概念內涵與外延的基礎上，較完整地把握命題間的生成關系和邏輯關系，明了知識結構，才能較好地理解數學和應用數學．因而，在命題教學中，教師引導學生運用歸納與類比等合情推理探究發現新命題，并運用演繹推理予以證明，可以從命題的生成與論證兩個角度“雙向”促進學生的數學“關系性理解”，讓學生的合情與演繹推理思維素養都能隨著對知識關系結構的理解與感悟得到切實涵育．

合情推理是根據已有的事實和正確的結論、實驗和實踐的結果、以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的思維過程，數學中最常見的合情推理是歸納和類比，二者都具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用．合情推理是進行數學發現的一種具有創新意義的思維方式，是數學“再創造”學習時不可缺少的工具性方法，涵育推理思維素養，必須同步并重地培養演繹與合情推理能力．但在許多數學課堂的命題教學過程中，由于高考考查的解題能力，主要包括數學運算與演繹推理的能力，較少涉及合情推理能力，合情推理能力培養的重要性也被大大忽視．

在概念教學之后，針對概念定義進行內涵辨析，判斷某個實例能否符合定義要求，列舉和定義不相符的反例，探討為什么可以這樣定義，以及能否用其它方式定義，都要進行推理論證，但其中的思維形式大都是演繹推理．只關注公式、定理的演繹推導與證明，將時間移用作例習題教學，省略了在課堂“再創造”重現公式、定理的探究與發現過程，很少去研究新舊命題的聯系進行知識關系建構，是當前數學課堂在命題教學中的常見現象，這樣的命題教學和對概念進行內涵辨析一樣，都難以使學生的合情推理能力得到培養[3]．

為全面涵育推理思維素養，使學生的合情推理與演繹推理能力能在命題教學中得到同步并重的培養，可以在對概念進行內涵辨析的基礎上，將概念間的關系探究視為教學的重要內容，引導學生運用合情推理探索概念的性質與概念關系，運用歸納與類比推理去發現新知，運用演繹推理對公式定理進行推導證明，通過探究新舊命題間的聯系，進行知識關系建構．除了命題教學外，還可以在解題教學、專題探究式教學和應用教學中涵育推理思維素養，無論哪一種形式，都應努力使學生的演繹與合情推理能力獲得協調發展．

以向量章節教學為例，在對向量概念進行定義、分類與內涵辨析后，應將向量與向量間、向量與其它元素間的關系探究視為教學重要內容，可以引導學生探究向量與向量間的相等與共線等關系，探究向量與向量的加法運算，探究向量與數的關系發現數乘運算法則，等等．探索數學概念知識間的關系是獲得有關性質、公式和定理的重要途徑．例如，探索向量與坐標間可能存在的關系，可以引導學生得到向量的坐標表示法，將向量運算轉為向量坐標運算可得到大量的公式和定理．

在向量章節教學中，教師可以在很多場合引導學生運用歸納、類比推理思維去發現新知．數學的向量與物理中的力與位移等矢量存在密切的類比關系，向量概念的抽象與概括、向量加減法運算法則、向量的正交分解與坐標化、平面向量基底的概念和平面向量基本定理、向量數量積的概念與公式等結果，都可以通過類比獲得，而向量數乘運算的法則，也可以通過歸納推理獲得結果．在研究空間向量時，仍然可以通過類比推理，將平面向量的概念、法則、公式與定理等全面推廣至空間向量．

開展探究式教學，提高學生進行探究發現與關系建構的能力，是命題教學中深度涵育推理思維素養的主要方略．在命題教學中，通過探究式教學引導學生整體發掘關聯性知識，發現知識間內在、必然、直接的有意義聯系，將它們連成線、結成網，形成牢固的知識結構，可以有效增強學生推理思維和運用知識解決問題的能力，而數學思維素養的涵育，離不開對概念內涵與意義的認知和對知識發展的體驗，也離不開對知識關系結構的發現與掌握，以及應用知識解決問題過程中對數學思想、精神的感悟[4]．

3 從應用教學路徑涵育建模思維素養 致力啟發學生領悟數學的思想方法與策略智慧

數學建模一般是指在研究一個現實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數學模型，再根據模型求解結果統一處理同類現實問題的思維過程．這個過程與數學理論形成、發展與應用的基本思想是一致的，二者都是主要使用抽象與推理思維從現實世界中概括出理想化的模型，用以描述客觀事物的數形特征和內在聯系，所建立的模型和眾多的數學概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應用于現實世界．引導學生應用數學概念、公式、定理、思想方法或建立新模型去解決數學問題與現實問題，是數學課堂應用教學的主要內容．

應用教學是涵育學生數學建模思維素養的主要路徑．數學建模思維素養是致力從數學視角看問題、用數學方法處理問題的一種意識與能力，也是學以致用精神的體現．在應用教學中，教師引導學生整體理解數學知識結構及其思想方法，在建模思維指導下將之活學活用到各類新的問題情境，可以讓學生從中學會使用聯系的觀點系統地審視問題，使用轉換與化歸的方式靈活地處理問題，養成運用數學思想方法解決問題的意識與習慣，感受并秉承數學理論知識為人類服務的價值取向，從而不斷涵育提升個人的數學建模思維素養．

廣義地看，數學教材中的許多概念、公式、定理和思想方法都是重要的基本模型，如向量知識中的向量概念、平行四邊形法則與向量數量積公式等，都是從物理情景中抽象出來的，抽象過程中的探究與發現，就是建模的過程．在應用教學中，引導學生應用這些基本模型證明兩角差的余弦公式、正弦定理、點到直線的距離公式、柯西不等式、海倫公式等，可讓學生體會到運用基本模型處理問題的便利迅捷，感受其應用范圍之廣，以及數學知識間的普遍聯系和內在的統一性，幫助學生深刻感悟模型中蘊含的數學思想，亦有涵育建模思維素養之效．

引導學生應用數學概念、公式和定理處理現實問題，首先需要讓學生了解問題的現實意義，以及問題蘊含的數形特征，啟發學生用數學符號語言將現實問題轉化為數學問題，然后通過聯想為問題選取適當的已學知識模型，并根據問題中參數的實際意義完善模型，最后是對模型求解并檢驗結果．如果無法為問題找到合適的已學知識模型，就必須通過抽象與概括，參考已學知識模型，發揮想象構造新的數學模型．以上的應用教學方式，都可以涵育數學建模思維素養，讓學生學會如何應用數學知識和思想方法有策略地去解決各種問題．

在應用教學中，需要教師引導學生從數學角度觀察、發現并提出有意義的好問題．一個好的問題，往往與已學的數學概念、知識和思想方法有廣泛聯系，能讓學生更深刻理解概念內涵、意義與作用，能幫助學生對知識進行關系建構，可以向多個方向推廣，促人反思，耐人尋味．好問題可以活躍建模思維，讓學生主動使用恰當的數學符號語言描述問題，積極運用數學思想方法進行獨立思考，通過合作交流做好各個環節的研究活動，并從中認識數學建模在處理各類問題時的強大作用，領悟其中蘊含的數學思想方法與策略智慧[5]．

應用教學課程要恰當運用現代教育技術，為學生營造多維交互的數字化探究環境，適切發揮計算機數學軟件的探索實驗功能．在數字化環境下，教師更易于創設豐富多彩的問題情境，喚醒學生好奇天性與問題意識，使之全身心投入到建模思維活動．多維交互功能使合作交流更加便捷，更易于使學生在評價反饋中反思改進，獲得信息化環境下的數學活動經驗．在先進的智能教育環境中，還可以利用虛擬現實（VR）等新技術營造虛實互動情境、可視化影像與可進化場景，讓學生進入沉浸式學習狀態，身臨其境般地去體驗和探究[7]．

建模教學課程能給予學生直接參與的機會，相對于單純就教材理論知識進行的講授和思考，參與中的親身體驗更易于使學生的知識與能力升華為思維素養．立足于現成性、實體性信念的知識與教學觀，封閉了知識遷移、運用的空間，難以構成素養生成的實在基礎[8]．美國教育家達克沃斯（Duckworth E）曾經說過：“最理想的教學應是投入式的，它應鼓勵學習者與學習內容直接接觸，形成一種具身體驗，而不是建立在他人的理解之上．”[9]抽象的數學概念知識都仍然和現實世界有著千絲萬縷的聯系，建模教學可以讓學生親身經歷和直接接觸現實世界的事物，使其對數學概念知識的感知與理解，有一個更為可靠和實在的基礎．

致力啟發學生領悟數學的思想方法與策略智慧，是應用教學中深度涵育建模思維素養的主要方略．在應用教學中，教師應致力引導學生專心致志地去探索與發現，了解數學在其它學科和科技等領域的廣泛應用，賞識數學理論的和諧統一與思維的自由奇妙，讓學生能有意識地運用已有知識、經驗對問題進行轉化與化歸，思考并掌握解決問題的一般方法，并從中深刻感悟數學的思想方法與策略智慧．數學思想是數學文化素養的核心，促使學生的知識能力在思想層面內化升華，是數學教育的一個觀念追求，也是應用教學中深度涵育建模思維素養的必要過程．

4 從數學精神層面深度涵育數學思維素養 重在引導學生“求真”“樂善”“唯美”的追求意向

數學思維素養的深度涵育，須基于以上列舉的概念、命題與應用教學等進路與方略，亦有賴于教師對學生數學精神等心理內在力量的激發和養育．學科的學習認知過程，是人的心智與價值、觀念、習慣、情感、意志和精神等各種心理因素相輔相成的過程，而學科素養的涵育，也是一個在習得新知中充分體驗、深入感悟和塑造品格的過程．在數學的學習過程中，數學精神是上述心理與品格等因素的聚焦點，它是學習者對數學經驗、知識、方法、思想、意識、觀念等不斷概括和內化的產物，也是學習者數學思維的方式與規范、價值與追求等意向性心理的集中表征，因而是數學思維素養涵育中需要高度關注和深入研究的因素．

數學精神滲透在數學理論知識與數學文化傳統中，也存在于所有的數學思維活動中，并體現為個體數學思維的主觀性、目的性、選擇性與價值性等．正是在數學家思維活動中存在的強烈數學精神導引下，數學理論方得以不斷創生與擴張，系統性日益增強，應用日漸廣泛．有意義的數學學習行為，也是一個理智認識與求真、樂善、唯美等精神追求相契合的過程，需要學習者在豐富多彩的思維方式中不斷感悟數學思想，在層出不窮的困難體驗中逐漸強化數學精神，繼而凝煉形成以數學的精神與思想為核心的學科文化素養．其中，數學精神是數學思維體驗的深化與思想穎悟的升華，也是數學思維素養得以進一步形成和持續發展的主要動力．

抽象性、邏輯性與應用的多樣性是數學思維的主要特征，整體而言，數學抽象、推理與建模等思維素養與學習者思維的韌性、理性、嚴謹性、專注程度、問題意識之類的重要品質都存在密切聯系，比如，思維韌性與專注程度不足，就無法長時間集中注意力進行連貫思考；問題意識淡薄，就難以在平凡的事物中提出新概念、發現新問題．所以，教師在引入一個數學概念之初，就必須有意識地從數學精神層面思考數學思維素養的深度涵育問題，特別重視學生學習的毅力、愛好和習慣等問題，要時常對教材進行有益地拓展與改造，增補可以促動思考、引發興趣和激勵創新的教學內容．此外，對一個概念內涵的深入理解，也需要師生都具有持之以恒的精神，能在后續學習中進行反思與提升．

從數學精神層面深度涵育數學思維素養的教學行為，可以落實在數學概念、命題與應用教學等具體環節．例如，數學推理具有顯著的科學文化素養特征，曾被譽為“人類最偉大的發現”，古希臘人從最簡明的公理出發，利用推理得到基于嚴密邏輯的幾何知識系統，其中的公理化思想曾被競相效仿，對人類理性精神與科學文明的發展產生了重大影響．教師可以在數學命題教學中涵育推理思維素養，引導學生在嚴謹的演繹推理和運算中養成縝密思考的習慣、求實誠信的品格和崇尚理性的精神，同時幫助學生在問題解決過程中不斷增強變的意識與化的智慧，在運用合情推理思維過程中養成細致觀察、善于歸納與類比、勤于思考勇于創新的精神．

從數學精神層面深度涵育數學思維素養的課內外教學，宜采用有較強挑戰性的問題作為研究素材．例如，應用教學中的問題可以選自現實、數學內部和其它學科，但都應遵循有效難度法則，使所設定的研究任務具有較強的挑戰性．有較強挑戰性的問題，才能激發學生進行深入探究的欲望，并在長久思考后迸發的靈感與頓悟中感受到數學的樂趣[6]；才能讓學生有更多運用數學策略思維戰勝困難的機會，使推理思維素養得以深度涵育；才能讓學生在克服困難的過程中經受情感與意志的考驗，塑就不畏困難愈挫愈勇的精神品格．實踐表明，有較強挑戰性的教學課題，更易于促進學生的數學深度學習，使數學思維素養得以深度涵育．

數學思維素養是數學知識與思維能力在學習者心理內化后的概括性產物，比知識與能力更深層、更穩定也更持久，它的形成，離不開可進行復雜心智操作的抽象與推理思維，也密切依賴于可帶給學習者主體體驗和感悟的具象思維與頓悟思維[10]．在概念、命題與應用教學中，讓學生親歷抽象與概括、探究與發現、建模與應用的過程，其所獲取的體驗，以及對知識結構體系的統一性、數學方法中的策略思想、思維過程中的精神力量的感悟，可以促使經驗與概念、邏輯與直覺、方法與思想、理智與情感等深度融合，潛移默化地增強主體的認同感和自覺意識，讓數學知識與思維能力晉升到思想、精神、價值、觀念和意志層面，逐步內化并升華成為富有文化屬性的數學思維素養．

從數學精神層面深度涵育數學思維素養，重在引導學生求真、樂善和唯美的追求意向．數學科學理論思維是人腦對客觀事物數形特征與屬性的概括與反映，它始終堅持以公理化體系反映事物本質規律，整體選擇為人類服務的價值取向，苛刻追求理論的和諧統一與思想的自由簡易，使得數學名副其實地成為真、善、美的統一體，也使得求真、樂善和唯美的思想品格成為數學精神的三大支柱．因而，從數學精神層面深度涵育數學思維素養，應重在引導學生求真、樂善和唯美的追求意向．數學的精神與思想同為數學文化素養的核心，從數學精神層面深度涵育數學思維素養，才能更切實地養育學生求真、樂善和唯美的數學精神品格，更完滿地實現數學教育的宏大目標．

5 結語

從概念教學路徑涵育數學抽象思維素養，著力深化學生對概括過程的體驗與內涵的認知，可以讓學生“知其然”亦“知其所以然”，更少地依賴簡單機械的記憶與模仿；從命題教學路徑涵育推理思維素養，努力提高學生進行探究發現與關系建構的能力，可以讓學生頭腦中孤立的知識形成有機體系和完整結構，走出零散型解題教學與碎片化學習的困境；從應用教學路徑涵育建模思維素養，致力啟發學生領悟數學的思想方法與策略智慧，可以讓學生學會如何將所學知識靈活應用于現實問題情境，遠離目標指向迷糊和被無意義問題填充的課堂教學；從數學精神層面深度涵育數學思維素養，重在引導學生求真、樂善和唯美的追求意向，可以讓學生的思維與精神相互滲透相互促進協調發展，在忘了所學知識后仍留有可終生受益的東西．以上教學路徑與促進方略，既有利于激發好奇心智、提高學習興趣，引導學生進入專心致志的沉浸式學習狀態，也有助于學生進行知識關系建構，有益于學生數學精神的養育，使學生的數學思維素養得到全方位的深度涵育[11-22]．

[1] 史寧中．數學的基本思想[J]．數學通報，2011，50（1）：1-9．

[2] 王欽敏．教材邊上好數學[M]．福州：福建人民出版社，2014：109-111．

[3] 王欽敏，余明芳．數學探究式教學的目標定位與路徑選擇[J]．課程·教材·教法，2018，38（4）：59-63．

[4] 張良．深度教學“深”在哪里？——從知識結構走向知識運用[J]．課程·教材·教法，2019，39（7）：34-39．

[5] 章建躍．如何使學生發現和提出有研究價值的問題[J]．中學數學教學參考，2014（1）：35-37．

[6] 王欽敏．感受數學美的兩個重要途徑[J]．數學教育學報，2014，23（2）：53-56．

[7] 于澤元，尹合棟．人工智能所帶來的課程新視野與新挑戰[J]．課程·教材·教法，2019，39（2）：27-36．

[8] 張良．核心素養的生成：以知識觀重建為路徑[J]．教育研究，2019，30（9）：65-70．

[9] 愛莉諾·達克沃斯．精彩觀念的誕生：達克沃斯教學論文集[M]．北京：高等教育出版社，2005：173-175．

[10] 羅祖兵，郭超華．知識學習的體驗屬性及其教學意蘊[J]．教育研究，2019，30（11）：81-90．

[11] 朱先東．指向深度學習的數學整體性教學設計[J]．數學教育學報，2019，28（5）：33-36．

[12] 黃秦安，黃曉林．論數學教育社會學的“理論背景”“體系建構”與“實踐價值”[J]．數學教育學報，2020，29（2）：1-5．

[13] 李艷，徐章韜．數學教育實證研究類型及問題表述[J]．數學教育學報，2020，29（2）：6-10．

[14] 馬文杰．反思與“重構”數學學習錯誤矯正原則[J]．數學教育學報，2020，29（2）：11-17．

[15] 曹廣福，劉丹．課題式教學法探析[J]．數學教育學報，2020，29（3）：32-36．

[16] 傅海倫，張麗，王彩芬．基于Fuzzy-AHP質疑式數學核心素養評價指標體系的研究[J]．數學教育學報，2020，29（1）：52-57．

[17] 王光明，李爽．初中生數學學習非智力因素調查問卷的編制[J]．數學教育學報，2020，29（1）：29-39．

[18] 張僑平，唐彩斌．落實素養為本的數學開放題教學[J]．數學教育學報，2019，28（6）：61-64．

[19] 趙文君，莫雅慈，曹一鳴．初中數學教師新課程實施情況及影響因素研究——以成都市龍泉驛區導學講評式教學為例[J]．數學教育學報，2019，28（6）：21-26．

[20] 孫思雨，朱雁．初中生數學自我效能感及其校準性的調查研究[J]．數學教育學報，2019，28（6）：27-32．

[21] 黃翔，童莉，李明振，等．從“四基”“四能”到“三會”——一條培養學生數學核心素養的主線[J]．數學教育學報，2019，28（5）：37-40．

[22] 鄧清，夏小剛．數學思維視域下“教表達”的再認識與思考[J]．數學教育學報，2019，28（5）：47-50．

The Deep Cultivation of Mathematical Thinking Competence: Teaching Paths and Strategies

WANG Qin-min, YU Ming-fang

(Department of Mathematics, Fujian Institute of Education, Fujian Fuzhou 350025, China)

Developing students’ mathematical thinking competence and promoting the transformation of knowledge into competence are becoming an important guide to mathematics teaching in middle schools. Combining with specific teaching examples, this study analyzes and summarizes the teaching paths and strategies for cultivating students’ mathematical thinking competence. Those approaches and strategies include: from the conceptual teaching path to the cultivation of students’ abstract thinking competence to deepen their understanding of the experience and connotation of the generalization process; from the proposition teaching path to the cultivation of students’ reasoning thinking competence so as to improve their ability to explore and discover and construct relationships; from the application of teaching path to the cultivation of students’ modeling thinking competence in order to inspire them to understand the thinking methods and strategic wisdom of mathematics; and from the spiritual level of mathematics to deep cultivation of students’ mathematical thinking competence, focusing on guiding them in seeking truth, kindness and aesthetics.

mathematical thinking competence; deep cultivation; path; strategy

2020-07-10

2016年度全國教育科學“十三五”規劃教育部重點課題——高中生數學核心素養培養的策略及評價研究（DHA160364）

王欽敏（1970—），男，福建福清人，中學特級教師，主要從事數學教育與數學教師教育研究．

G632

A

1004-9894（2020）06-0056-05

王欽敏，余明芳．數學思維素養深度涵育：教學的進路與方略[J]．數學教育學報，2020，29（6）：56-60．

[責任編校：周學智、陳雋]