高中數(shù)學(xué)中解決排列組合問題四步曲

聶晶靜

【摘?要】排列組合問題是高中數(shù)學(xué)中邏輯思維比較復(fù)雜的一個知識板塊，是重要的計數(shù)模型，是概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，是高考的熱點。在學(xué)生應(yīng)用排列組合知識解決實際計數(shù)問題的過程中，一是不能將問題抽象成排列組合模型，二是區(qū)分不清是排列問題還是組合問題。基于此，本文從具體實例出發(fā)，“身臨其境”給出了解決排列組合問題的四個關(guān)鍵步驟，幫助學(xué)生輕松應(yīng)對這一難題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);排列組合;解題策略

排列組合問題是人教A版選修2-3的第一章的內(nèi)容，對于剛接觸這部分內(nèi)容的大部分學(xué)生來說，都會感到囧困。特別是對于一些排列組合的綜合問題更望而生畏。但是這部分內(nèi)容又是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要載體，是概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，是高考常考常新的熱點問題。

筆者認為要想順利解決排列組合問題，必須深刻理解概念的生成過程;同時掌握有效的解題步驟。今天，筆者將從四個方面突破排列組合問題。

一、解題時常見困惑

學(xué)生的困惑歸根結(jié)底有這樣幾種。

首先，學(xué)生對題目意思搞不懂，不能做到身臨其境。例如，4個同學(xué)植3棵不同的樹，一棵樹限1人完成，則不同的植樹方法有幾種？學(xué)生會對“一棵樹限1人完成”不理解，甚至是會將此問題與“4個同學(xué)植3棵不同的樹，每人種一棵樹，則不同的植樹方法有幾種？”混淆起來。

第二，分析問題的角度多，學(xué)生感覺應(yīng)接不暇。例如，7名同學(xué)排隊照相，甲同學(xué)不站在最左邊，乙同學(xué)不站在最右邊，有多少種不同的站隊方式？我們可以從甲同學(xué)的站隊位置分析，也可以乙同學(xué)的位置分析，還可以用間接的方法求解。

第三，方法靈活多樣，一時間難以分辨。例如，7名同學(xué)排隊照相，甲、乙、丙三名同學(xué)要站在一起，則不同的站隊方式有幾種？此時要用到“捆綁”的方法;再如，7名同學(xué)排隊照相，甲、乙同學(xué)不能站在一起，則不同的站隊方式有幾種？而此時又會用到“插空”的方法。等等如此。

第四，重復(fù)，遺漏，時有發(fā)生。當學(xué)生選擇了一定的方法和原理后，計算的結(jié)果總是跟正確答案有所出入，不是多了，就是少了，最讓人惱火的是找不到多了哪些，少了哪些。

總之，這樣的問題幾乎貫穿了整個排列組合的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生談“排”色變！

二、抓住要點，逐一破解

其實，想要解決排列組合的瓶頸問題，只要抓住要點，用好以下四步，便可逐一突破。

（一）認真審題，搞清楚整個事件。很多時候?qū)W生不是不會做題，只是從一開始就沒有搞清楚題目意思，沒有弄清楚到底是要做怎樣的一件事。

例1：4個同學(xué)植3棵不同的樹，一棵樹限1人完成，則不同的植樹方法有幾種？

【分析】：整個事件是種3棵樹，每棵樹限1人完成。所以從樹的角度講，每棵樹選到一人即可，一人可種多棵樹。所以。

例2：4個同學(xué)植3棵不同的樹，每人種一棵樹，則不同的植樹方法有幾種？

【分析】：整個事件是4人植樹，每人種一棵樹，可以多個人種一棵樹。所以從人的角度講，每人選到一棵樹即可，所以。

所以只要搞清楚要做的是一件什么樣的事情，問題就迎刃而解了。

（二）找到特殊元素，特殊位置很關(guān)鍵。特殊元素對解決排列組合問題起著至關(guān)重要的作用。

例3：某班要從5名男生，3名女生中選出5名同學(xué)擔任5門課的課代表，男生甲必須在內(nèi)，但是不擔任語文課代表，有多少種不同的選取方法？

【分析】：簡單的說整個事件是從8人中選5人擔任課代表。而甲是個特殊人物，所以先從甲入手，在除了語文的4門課中給甲選一個，然后再確定剩下的4門課代表。

（三）確定原理很重要。當我們把事情弄明白，并且找到了特殊元素同時，還要考慮用什么原理。

分類加法原理：

分步乘法原理：

如果是分類原理，一定要注意分的類別不重不漏;如果是分步原理，則要注意先做什么，后做什么，一共分幾步。

例4：某市舉辦物資博覽會，有A，B，C，D，E五個代表團，入住a，b，c三家賓館。規(guī)定同一代表團要住在同一家賓館，每家賓館至少住一個代表團。若A，B兩個代表團必須安排在a賓館，那么不同的安排方法有多少種？

【分析】：整個事件是將5個代表團安排到3個賓館，要求是：（1）同一代表團要住在同一家賓館，（2）每家賓館至少住一個代表團，（3）A，B兩個代表團必須安排在a賓館，故而A，B視為特殊元素。

所以將5家代表團分成三個組可以是3，1，1，也可以是2，2，1，故用到分類加法原理。

（i）如果按照3，1，1來分，而A，B兩個代表團必須安排在a賓館，A，B視為特殊元素，所以只需將其他3個代表團分到3家賓館，每家賓館住一個代表團即可。;

（ii）如果按照2，2，1來分，A，B視為特殊元素，已經(jīng)入住a賓館，所以就意味著剩下的3個代表團有兩個入住同一賓館。先選后排，分步計數(shù)原理;

由分類加法原理得：

（四）明確方法，查漏補缺。很多同學(xué)喜歡用間接法做排列組合問題，可是總會與正確答案有差距，要么就是減多了，要么就是少減了。這時就需要我們對所分的類認真分析，多減了的要補回來，少減了的繼續(xù)減掉。

例5：某國際組織有7個成員國，一次會議后要合影留念。A國不站在最左邊，B國不站在最右邊，有多少種不同得排隊方法？

【分析】：整個事件是7個國家站隊，A國不站在最左邊，B國不站在最右邊，故而A，B是特殊元素。如果從A國得角度分析，它可以在最右邊，也可以在中間得五個位置，所以用分類原理。

（方法一）

（i）A國站在最右邊：

（ii）A國在中間五個位置：此時又要用到分步乘法原理。先給A在中間5個位置選一個，再在除去最右邊和A已經(jīng)站好的位置后剩下的5個位置中給B定一個位置，剩下的5個國家全排。

（方法二）間接法

從7個元素得全排列中減掉A在最左邊，再減掉B在最右邊的情況，，但是此時，A在最左同時B在最右邊得情況被減掉了兩次，需要再補回來。

結(jié)束語：

綜上所述，上述四個步驟在解題過程中要綜合考慮。讀清楚題目意思，弄明白整個事件，才能合理的找到突破口。找到特殊元素、特殊位置，是為有效分析找準角度。明確所用原理，就是確定解題思路。只有認真反思，養(yǎng)成查漏補缺的好習(xí)慣，才能做到萬無一失。總而言之，認真讀題是基礎(chǔ)，找到特殊元素是關(guān)鍵，用好原理是根本，查漏補缺，才能不丟分。

參考文獻：

[1]嚴道順.例談排列組合問題得常用技巧和方法[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010（24）.

[2]夏燕軍.排列組合問題易混點解析[J].2015（07）.

（作者單位：云南衡水呈貢實驗中學(xué)）