數學操作：實現從直觀到抽象的蛻變

吳兆明

[摘 要]基于教學實踐，教師結合教學案例，深度設計數學教學活動，不斷優化數學操作活動，能讓學生在操作實踐中化解思維的形象性與數學知識的抽象性之間的矛盾，激發學生的學習興趣，鍛煉學生的實踐操作能力，有助于學生樹立建模意識，掌握數學思想方法，發展數學思維能力。

[關鍵詞]操作;直觀;抽象;建模

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0086-02

蘇霍姆林斯基曾言：“兒童的智慧在他靈巧的手指尖上。”這生動地說明了在學習過程中讓學生動手操作的重要性。新課標明確指出，認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數學的重要方式。這里的“動手實踐”實際上就是數學課堂上的操作活動。就目前小學數學課堂的操作活動現狀來看，存在著重操作輕思考、重形式輕實質等傾向。那么教師如何在新課標的指導下，借助動手操作這把“金鑰匙”幫助學生打開智慧的大門？

一、在操作中有思考，提高數學知識的理解

教育學家布魯納關于兒童心智發展的研究結果證實，兒童獲得抽象知識的過程是呈階梯式遞進的，即由最初的動作表征過渡到圖像表征，最后上升為抽象思考。小學生的思維以形象思維為主，他們需要借助直觀的實物操作來形成圖像表征，再依據實物在腦海中的影像內化為抽象知識。教師基于兒童思維的基本特點，使學生主動參與數學操作活動，做到手腦并用，以操作促思考，以思考引操作，進而激發學生思維，使學生深入思考，理解數學。

【“20以內加法”教學片段】

師：同學們，現在每一組都有兩捆小棒，每一捆都是10根，現在讓我們用擺小棒的方法來計算8+6。請同學們以組為單位，想一想，擺一擺吧。

生1：我們組先從小棒中取出8根，再取出6根，把它們放到一塊，最后我們數了數，一共是14根，所以8+6=14。

師：對，這一組是先擺放，再一根一根數的，但是這個方法有點麻煩。還有其他的方法嗎？

生2：我們組是先取出8根，然后再取出2根，8和2是“好朋友數”， 能湊成10，最后再加上4根，所以8+6=14。

生3：我們組是這樣做的，先取出6根，再取出4根，6和4是“好朋友數”，能湊成10，然后再加上4根，我們也得出8+6=14。

師：同學們做得非常好。我們看一下，有兩組同學用了“湊十法”，最后都是10+4，但是他們最后加的4是一樣的嗎？

生4：一樣，他們都是先湊成10，再加上4。

生5：不一樣，雖然他們都是10+4，但是有一組是把6分成了2和4，他們先算8+2=10，再算10+4=14;而另一組是把8分成了4和4，他們先算6+4=10，再算10+4=14，所以最后他們加的4是不一樣的。

師：你分析得很好。在用“湊十法”的時候，我們既可以把前面的數拆開，也可以把后面的數拆開，雖然方法不一樣，但得到的結果是一樣的哦。

教學中，學生把擺小棒的過程用語言表達出來，實際上就是邊操作，邊思考的體現。學生通過擺放小棒得出結論，使得抽象的算法變得直觀生動，深刻地理解了“湊十法”的真正含義。可見，操作是外部因素，思考是內部因素，學生只有在做中思，在思中做，才能避免“為操作而操作”的情況發生，進而提高操作的實效性，促進思維的發展。

二、在操作中有建模，體現數學知識的本質

數學模型指的是根據生活中的現實問題所總結出來的一般規律。在教學中，教師要通過操作活動使學生積累足夠的直觀經驗，再把這些經驗通過推理進行思維上的提升和深化，從而形成穩定的認知結構，最終構建解決問題的模型。教師在指導建模過程中，要注意遵循學生的認知規律，先引導學生由直觀操作產生足夠的直觀經驗和表象，再上升為抽象思維，使直觀操作和抽象思維之間有足夠的緩沖時間，這樣學生才能真切體會從操作活動到抽象建模的形成過程。如果學生不能建立足夠的直觀經驗，就會對模型的意義認識不到位，這樣建立起來的數學模型就是機械式的，缺乏融通性和遷移性，這樣的建模就成了“貼模”，既不能體現數學知識的本質，也不能起到培養學生數學思維的作用。

【“三角形”教學片段】

師：同學們，我這里有四組小棒，第一組小棒的長度分別為4厘米、4厘米、8厘米;第二組小棒的長度分別為6厘米、6厘米、6厘米;第三組小棒的長度分別為4厘米、3厘米、6厘米;第四組小棒的長度分別為4厘米、5厘米、10厘米。我把這四組小棒分別發給一組、二組、三組、四組的同學，請你們試著把小棒擺成三角形，注意3根小棒要首尾相連。

（學生操作，教師巡視并予以指導）

生1：我們一組的3根小棒不能擺成三角形，因為不管怎么擺，最后那一根不是太長，就是太短。

生2：我們二組很順利地就擺成了一個三角形。

生3：我們三組也擺成了一個三角形。

生4：我們四組和一組一樣，也沒有擺成三角形，最后那一根不是太長，就是太短。

師：請同學們想一想，一組和四組的同學為什么不能擺成三角形，而二組和三組的同學可以擺成三角形呢？

生5：這應該和小棒的長短有關系。

生6：我發現4+4=8，兩根小棒的長度之和等于第三根小棒的長度，這種情況不能擺成三角形。

生7：我發現6+6>6，兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度，這種情況能擺成三角形。

生8：我發現4+3>6，兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度，這種情況也能擺成三角形。

生9：我發現4+5<10，兩根小棒的長度之和小于第三根小棒的長度，這種情況不能擺成三角形。

師：好。那么，第一組中的4+8>4，滿足“兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度”條件，為什么還是不能擺成三角形呢？看來這個結論還是不嚴謹呀！（學生集體思考）

生10：應該是任意兩根小棒的長度之和大于第三根小棒的長度才能擺成三角形。

師：對，這樣就能合理地解釋一組和四組的同學為什么不能擺成三角形了。

教學中，首先，教師在引導學生操作時，使學生分別考慮“兩邊之和大于第三邊”“ 兩邊之和等于第三邊”“ 兩邊之和小于第三邊”這三種情況;其次，教師善于激發學生的模型意識，引領學生從直觀操作中得出一般性規律;最后，在提煉和總結階段，通過列舉反例使學生意識到只有“任意兩邊之和大于第三邊，才能擺成三角形”，強調“任意”二字，使模型建構得更加準確。在操作活動中，學生會產生探究問題的欲望，教師要適時拓寬學生思維的廣度，為模型構建打下基礎。對于某些數學模型，學生在初次理解時會產生不嚴謹的認知甚至是錯誤的認知，此時，教師就要引導學生通過多次操作獲得足夠的直觀經驗，把各種情況都考慮進來。

三、在操作中有思想，實現數學的深度學習

數學思想方法是對數學知識的本質認識，是數學知識在思維中的升華結果。在小學階段，重要的數學思想方法主要包括數形結合思想、轉化思想、列舉思想、方程思想、符號思想等，滲透數學思想方法是課堂教學的重要任務之一。教學中，教師可在引導學生邊操作邊體驗中，滲透操作背后所隱含的數學思想方法。

【“拼數”游戲教學片段】

師：用數字卡片2、3、4可以拼出哪些兩位數呢？

生1：可以拼出23、42、34、24、43這5個兩位數。

生2：不對，應該是6個。

師：第一個同學的方法容易重復和遺漏，其他同學有更好的辦法嗎？

生2：我是這樣拼數的，先用卡片2和3，這樣可以組成23和32，然后再用卡片2和4，這樣可以組成24和42，最后再用卡片3和4，這樣可以組成34和43。所以，一共可以組成6個兩位數。

師：很好，這種列舉方法思路很清晰，不容易出錯。

生3：我和他們的方法不一樣。我先把卡片2固定在十位上，這樣可以組成23和24，再把卡片3固定在十位上，這樣又可以組成32和34，最后把卡片4固定在十位上，這樣可以組成42和43。一共可以組成6個兩位數。

師：這種列舉方法也很棒！還有其他方法嗎？

生4：我和第三個同學的方法差不多。只不過我是先把卡片2固定在個位上，這樣可以組成32和42，再把卡片3固定在個位上，這樣可以組成23和43，最后把卡片4固定在個位上，這樣可以組成24和34。一共可以組成6個兩位數。

師：大家做得很棒！我們在拼數的時候一定要注意順序問題，把這些卡片按照一定的方法進行拼湊，然后再一一列舉出來，這樣就清楚得多，如果是隨意拼湊，那樣就會顯得很亂，而且容易出錯。

在教學中，教師的做法值得學習：首先，在列舉的過程中，教師鼓勵學生開動腦筋，不拘泥于某種形式或者方法去拼數，這樣就打開了學生的視野，使學生可以探究多種列舉方法;其次，教師最后的總結非常重要。由于數學思想方法具有隱含性，低年級學生難以總結，盡管他們有所體會，但是這種體會依然是朦朧的。這個時候，教師用簡潔的語言對學生提出的觀點進行點評和總結，捅破認知上的“窗戶紙”，令學生豁然開朗。教學中，教師最后的總結和點評，能起到了畫龍點睛的作用。

數學操作是學生課堂學習的重要方法，操作活動的直觀性和形象性有利于學生突破抽象的數學認知障礙;有利于學生構建數學模型，觸及知識的本質;有利于學生探索數學規律，培養數學思想方法，最終達到提升數學思維品質和數學核心素養的作用。

（責編 覃小慧）