基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施研究
——以人教版“雞兔同籠”內(nèi)容為例

廣東佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 趙奔香 葉嘉慧 沈 達(dá) 賴穎妍 楊豫暉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確指出數(shù)學(xué)是人類文化中重要的組成部分，證實(shí)了數(shù)學(xué)文化存在的必要性。劉富森認(rèn)為數(shù)學(xué)文化能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造能力，提升其審美水平和文化素養(yǎng)。現(xiàn)有研究表明在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化資源有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展。

小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”內(nèi)容和解法都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化資源。因此，本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”內(nèi)容為例，實(shí)施數(shù)學(xué)文化教學(xué)，以便為小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施提供建議。

一、基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源的設(shè)計(jì)理念

（一）概念界定

1.數(shù)學(xué)文化

孫宏安提出數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)相關(guān)者在從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)的“內(nèi)環(huán)境”，是人類適應(yīng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境與創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)自身及其成果的總和。楊豫暉對以上界定進(jìn)行具體闡釋。“內(nèi)環(huán)境”為數(shù)學(xué)共同體在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)的“精氣神”；“活動(dòng)”是數(shù)學(xué)共同體經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，以及進(jìn)行文化創(chuàng)造的過程；“成果”為數(shù)學(xué)共同體所創(chuàng)造的文化成果，包括精神產(chǎn)品和物質(zhì)產(chǎn)品。

在現(xiàn)有理論基礎(chǔ)上，本文將數(shù)學(xué)文化界定為師生在數(shù)學(xué)探究的過程以及在活動(dòng)中創(chuàng)造的文化產(chǎn)品的總和。其中，創(chuàng)造的產(chǎn)品包括領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神等隱性產(chǎn)品，以及學(xué)生獲得的新知識(shí)和作品等顯性產(chǎn)品。

2.基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源

本文將基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源界定為能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的顯性和隱性資源。其中，顯性資源指可以直接使用的物化資源，如教學(xué)材料中的數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)名題等素材；隱性資源是指內(nèi)隱的精神層面的資源，包括數(shù)學(xué)思想、方法、精神、美感等。

（二）基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)資源的設(shè)計(jì)理念

1.借數(shù)學(xué)文化豐富課堂

以往的教學(xué)側(cè)重于就事論事，導(dǎo)致學(xué)生無法學(xué)透和領(lǐng)悟知識(shí)的根本性，同時(shí)也缺乏深度的思考。課程狀態(tài)的數(shù)學(xué)文化以思考型呈現(xiàn)，能夠幫助學(xué)生深入理解內(nèi)容的本質(zhì)和價(jià)值。以小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”內(nèi)容為例，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生自發(fā)地思考、探究知識(shí)的本質(zhì)和價(jià)值，從而解決了數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)的不足，彌補(bǔ)了課堂缺少的數(shù)學(xué)文化元素，課堂也就自然而然地“富”起來了。

2.顯學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)激活課堂

數(shù)學(xué)文化課堂能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，學(xué)生能自主探索新知，成為學(xué)習(xí)的主人，在不知不覺之中激活課堂的學(xué)習(xí)氛圍。如“雞兔同籠”一課中，通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境和問題探究過程，能引發(fā)學(xué)生積極思考、主動(dòng)學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)新知以及表達(dá)內(nèi)心深處的想法，真正融入課堂之中，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力。

3.引數(shù)學(xué)思想優(yōu)化課堂

數(shù)學(xué)思想作為教學(xué)的隱性內(nèi)容，是揭示知識(shí)本質(zhì)的有力武器。教師引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步提煉，上升至數(shù)學(xué)思想的高度，是優(yōu)化課堂的關(guān)鍵。正如鄭毓信所說：“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，使其想得更清楚、更深入、更全面和更合理。”這也是數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計(jì)理念的主旨，它為學(xué)生由數(shù)學(xué)的思維轉(zhuǎn)向通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維提供契機(jī)，反映課堂的優(yōu)化歷程。如在“雞兔同籠”教學(xué)中，都能通過數(shù)學(xué)思想的滲透，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思維，真正達(dá)到優(yōu)化課堂的目的。

二、“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)

（一）“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的來源

1.主題圖中數(shù)學(xué)文化的提煉

（1）顯性素材。在《人教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書四年級(jí)下冊》（以下簡稱《數(shù)學(xué)》）第九單元的103—105 頁“雞兔同籠”主題圖中展示的題目可追溯至3—4 世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》。在教學(xué)中，由一道古代的數(shù)學(xué)名題引入，能吸引學(xué)生的注意力，且題目的設(shè)置充滿了挑戰(zhàn)性和趣味性，不知不覺地激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

（2）隱性素材。對《數(shù)學(xué)》第九單元103—105 頁“雞兔同籠”主題圖片的原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗木帯⒑喕瑵B透化繁為簡和抽象化的數(shù)學(xué)思想。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用猜測法、列表法、畫圖法和假設(shè)法四種方法進(jìn)行問題探究，滲透化繁為簡、數(shù)形結(jié)合、優(yōu)化和劃歸等數(shù)學(xué)思想、批判性思維，以及數(shù)學(xué)的簡潔美、邏輯美、對稱美。

2.練習(xí)題中數(shù)學(xué)文化的挖掘

（1）顯性素材。在《數(shù)學(xué)》第九單元的106 頁“做一做”中，從中國“雞兔同籠”延伸出日本的“龜鶴算”問題，學(xué)生對知識(shí)的根源性得到了深知和深化。另外，引導(dǎo)學(xué)生對“雞兔同籠”問題進(jìn)行二度創(chuàng)造，引出“植樹”問題，促進(jìn)學(xué)生深入感悟知識(shí)的本質(zhì)。

（2）隱性素材。在練習(xí)的過程中，學(xué)生進(jìn)一步深刻地感受古人數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維的高度，逐步形成數(shù)學(xué)模型、一般化的思想。

3.拓展性材料中數(shù)學(xué)文化的提煉

（1）顯性素材。在《數(shù)學(xué)》第九單元的106 頁“閱讀資料——你知道古人是怎樣解決雞兔同籠問題的嗎？”中，引導(dǎo)學(xué)生感受古人新穎和奇特的解題思路。在《人教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書四年級(jí)下冊教師教學(xué)用書》第九單元的234頁中，挖掘清代詩人李汝杰在其著作《鏡花緣》的第九十三回提出的問題，可以讓學(xué)生感受其與“雞兔同籠”有異曲同工之妙，促進(jìn)知識(shí)的遷移。

（2）隱性素材。“閱讀資料”中“抬腳法”屬于對問題中的條件進(jìn)行變形，把難題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，滲透了化歸思想，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，體現(xiàn)智育和美育價(jià)值。《鏡花緣》題目的出現(xiàn)主要是促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，理解解法的本質(zhì)，如在求小燈球和大燈球數(shù)量時(shí)就采用了類似“抬腳法”的算法，從中滲透聯(lián)系的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的價(jià)值。

（二）“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的組織

首先，本課例中四種方法的探究是以猜測法為起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)生活情境引導(dǎo)學(xué)生對不同職業(yè)的人所畫的“雞兔同籠”進(jìn)行對比，從而引出數(shù)學(xué)中簡化和抽象的思想，且講述數(shù)學(xué)史的同時(shí)探究“雞兔同籠”問題經(jīng)久不衰的原因，以激發(fā)學(xué)生下一步學(xué)習(xí)的熱情。其次，將教學(xué)的核心放在“雞兔同籠”四種解法的探究方面，讓學(xué)生在問題引領(lǐng)、獨(dú)立思考、團(tuán)隊(duì)合作之中經(jīng)歷問題解決的過程，滲透智育和美育等價(jià)值。最后，在練習(xí)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)習(xí)題和延展性材料中挖掘的數(shù)學(xué)文化素材，促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)本質(zhì)的理解及對價(jià)值的感悟。

三、“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)的實(shí)施

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題1：上圖是攝影師、學(xué)生和數(shù)學(xué)家所畫的“雞兔同籠”，你們對此想到了什么？

角度1：從復(fù)雜到簡單的“雞兔同籠”。

角度2：籠子用大圓圈表示，用小圓圈表示動(dòng)物的頭，用豎線表示動(dòng)物的腿。

角度3：數(shù)學(xué)家，追求簡單，抓住關(guān)鍵。

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的智育價(jià)值（隱性）。通過創(chuàng)設(shè)情境幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)家的思維，滲透簡化和抽象的數(shù)學(xué)思想。

問題2： “雞兔同籠”來源于1500 年前，是十分經(jīng)典的問題。人教版、北師大版、蘇教版都要學(xué)“雞兔同籠”，它經(jīng)久不衰，為什么？

角度1：可能有很多種算法來求解這個(gè)問題。 角度2：探尋一種有意義的且更簡潔的算法。 角度3：幫助我們理解生活中這一類題的解題思路和方法。

設(shè)計(jì)意圖：通過展示相關(guān)的數(shù)學(xué)史（顯性），引導(dǎo)學(xué)生了解“雞兔同籠”問題的歷史淵源和經(jīng)久不衰的原因，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為下一環(huán)節(jié)的探究奠定基礎(chǔ)。

（二）化繁為簡，探究新知

問題3：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35 個(gè)頭；從下面數(shù)，有94 只腳。雞兔各有多少只？同學(xué)們可以先猜一猜有幾只雞和兔？

（學(xué)生大膽猜測）

追問：看來數(shù)字大了很難猜。如果化為“8個(gè)頭，15條腿”呢？（學(xué)生探究，最終化簡為：8 個(gè)頭，26 條腿。）

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的智育價(jià)值（隱性）。學(xué)生在探究的過程中結(jié)合“雞有2 條腿，兔有4 條腿”的常識(shí)合理猜測、化簡，感受化繁為簡的數(shù)學(xué)思想。

問題4：同學(xué)們，能不能有依據(jù)地猜？

（教師引導(dǎo)，學(xué)生探究，有依據(jù)地猜，得出：5 只兔子、3只雞。）

問題5：大家用列表法試一試，從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

角度1：

?

已找到符合題目要求的答案，沒必要往后列舉。

角度2：每增加1 只兔，腳的只數(shù)就增加2 只。當(dāng)數(shù)據(jù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，可以每次增加2 只兔，那么腳就增加4 只，有利于迅速找到答案。

角度3：列舉的目的是要滿足2×（ ）+4×（ ）=26，思考括號(hào)中填哪個(gè)合適的整數(shù)即可。

（學(xué)生探究，得出：5 只兔，3 只雞。）

問題6：畫圖法可以解決這個(gè)問題嗎？如何用算式表達(dá)出來（假設(shè)法）？

角度1：全都畫成雞，算式為2×8=16（只），26-16=10（只），則兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）。

角度2：全都畫成兔，算式為4×8=32（只），32-26=6（只），則雞有6÷2=3（只），兔有8-3=5（只）。

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的美育價(jià)值和智育價(jià)值（隱性）。在探究過程中，滲透了數(shù)學(xué)思想、思維等智育價(jià)值，其中畫圖法和列表法還滲透了簡潔美、邏輯美等美育價(jià)值。

問題7：我們在解決這類問題時(shí)，都可以選擇以上方法嗎？

角度1：數(shù)據(jù)太大時(shí)，會(huì)給猜、畫、列表帶來麻煩。

角度2：結(jié)合數(shù)據(jù)的大小，選擇自己喜歡的方法來解決問題。

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的智育價(jià)值（隱性）。通過4 種方法的對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每種方法的優(yōu)劣，學(xué)會(huì)選擇合適的方法，滲透優(yōu)化的思想，也對假設(shè)法有了更深的認(rèn)識(shí)。

（三）拓展延伸，提升思維

問題8：大家讀一讀日本的“龜鶴算”和獵人與狗的句子，如果讓你來編題，你會(huì)怎么編？

角度1：人和狗同屋、蜈蚣和龍蝦同籠、狼和羊同籠等。角度2：不能把相同腿數(shù)的動(dòng)物放在一起。

問題9：這是老師編的“植樹”問題，總頭數(shù)、總腳數(shù)、兔腳數(shù)和雞腳數(shù)在哪？

（教師留下懸念，學(xué)生帶著問題下課）

設(shè)計(jì)意圖：展示“龜鶴算”和“植樹”問題（顯性），體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的智育價(jià)值（隱性）。引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題與“雞兔同籠”問題建立起來，滲透聯(lián)系的思想，并激發(fā)學(xué)生課后學(xué)習(xí)的興趣。

四、基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施建議

（一）基于小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施討論

目前，針對小學(xué)“雞兔同籠”數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施的研究并不多，僅有的研究主要是理論層面的探討，沒有給予完整的操作性啟示，使得數(shù)學(xué)文化的滲透過于表面化。本研究不僅重視數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐探討，而且結(jié)合案例給予了全過程且具體的操作指導(dǎo)，使得數(shù)學(xué)文化教學(xué)得以落地。具體而言：一是在小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)理念指導(dǎo)下，深挖教材以及延展性材料中的數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源；二是結(jié)合“雞兔同籠”教學(xué)案例具體剖析，在“設(shè)計(jì)意圖”中展示數(shù)學(xué)文化資源的落腳點(diǎn)，使得數(shù)學(xué)文化教學(xué)得以具體操作；三是能結(jié)合學(xué)生實(shí)際對數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源進(jìn)行二次創(chuàng)造，促進(jìn)學(xué)生深入理解問題和掌握解決問題的策略，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教學(xué)的價(jià)值。

當(dāng)然本研究還有一些需要完善的地方，如挖掘資源時(shí)，還應(yīng)多考慮其他挖掘途徑，豐富數(shù)學(xué)文化教學(xué)素材。此外，在教學(xué)實(shí)施中應(yīng)合理把握時(shí)間，完整呈現(xiàn)拓展性材料中的課外數(shù)學(xué)文化素材和二次創(chuàng)造的數(shù)學(xué)文化素材等。

（二）基于小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)資源的設(shè)計(jì)與實(shí)施建議

1.廣泛研讀，深挖數(shù)學(xué)文化資源

教師除了仔細(xì)挖掘教材中的數(shù)學(xué)文化資源之外，還應(yīng)該廣泛研讀相關(guān)的延展性材料，如教輔、《數(shù)學(xué)文化讀本》等，深挖和整合其中的顯、隱性數(shù)學(xué)文化資源。在本研究中，我們發(fā)現(xiàn)不僅能從教材中挖掘顯性和隱性數(shù)學(xué)文化資源，還能從擴(kuò)展性材料（教參）中提煉數(shù)學(xué)文化資源，為數(shù)學(xué)文化教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

2.深入剖析，重構(gòu)數(shù)學(xué)文化資源

在深入挖掘數(shù)學(xué)文化資源后，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)的實(shí)踐情況，對數(shù)學(xué)文化資源進(jìn)行相應(yīng)的重構(gòu)，使學(xué)生從感知知識(shí)上升到理解知識(shí)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)用知識(shí)解決問題的教學(xué)目的。如本課例先以“雞兔同籠”內(nèi)容為例展開探究，其次為了加深學(xué)生對知識(shí)本質(zhì)的理解，對“雞兔同籠”問題進(jìn)行二次創(chuàng)造，形成“植樹”問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化資源的重構(gòu)。

3.自主探究，發(fā)揮學(xué)生主體意識(shí)

在數(shù)學(xué)文化教學(xué)中，教師在引導(dǎo)之余應(yīng)大膽放手讓學(xué)生自主經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程。這樣做，不僅能使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，還能促進(jìn)學(xué)生發(fā)揮主體意識(shí)，獨(dú)立思考問題，提升數(shù)學(xué)思維能力。如本次課例中，教師重視學(xué)生主體意識(shí)的培養(yǎng)，大膽放手讓學(xué)生自行探究解決“雞兔同籠”問題的四種方法，發(fā)現(xiàn)方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地理解知識(shí)的本質(zhì)，并學(xué)會(huì)對比分析選用合適的解法，感受數(shù)學(xué)的優(yōu)化思想。