關于教材中三角形有關內容探索活動的設計研究（二）

劉憲升

[摘要]從提出猜想和驗證猜想兩方面，比較分析了各版本教材中關于三角形的內角和探索活動設計的優點與不足，提出了相應的教材編寫建議，及避免探索活動變成機械式操作活動和提高思維含量的建議。

[關鍵詞]三角形;內角和;猜想;驗證

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0008-04

“三角形內角和等于180°”是歐氏幾何第五公設的等價命題，在幾何發展史上具有重要的地位。各版本教材在編寫該內容時都貫徹了新課改的教育理念，力求展現知識的形成過程，注重探索活動的設計。綜觀各版本教材，滬教版教材沒有該知識點，這個內容放到了初中教材;其他版本教材都將其放到了四年級第二學期，且都設計了操作性的探索活動。本文就對教材中設計的探索活動做一比較分析。

研讀并分析各版本教材中設計的探索活動后發現，它們大都體現了科學探究的過程。下面就從提出三角形內角和的猜想和驗證猜想兩個方面進行比較分析。

一、提出猜想的設計比較分析

各版本教材中提出三角形內角和猜想的設計，既有相同之處，又各具特色，主要有以下幾種。

1.提出問題——測量-猜想

有些教材是先提出“三角形內角和是多少度”的問題，再讓學生測量三角形的三個內角并求和，然后提出猜想。例如，人教版教材（68頁;圖1）、青島版教材（38頁;圖2）、北師大版教材（24頁;圖3）都是這樣設計的，但設計還是略有區別。具體地說，在提出問題（北師大版教材提得間接一些）后，人教版教材和青島版教材都是要求測量幾個不同類型三角形的三個角并求和，屬于對各類型三角形的完全歸納;而北師大版教材讓學生測量自己準備的一個三角形的三個角并求和，這有可能出現特殊情況：學生為了方便，往往比對著三角板畫三角形，得到的都是直角三角形，雖然在表格中設了“三角形的形狀”一欄，但學生會看成是判斷自己所畫三角形的形狀，認為不一定非得考察不同類型的三角形。值得指出的是，青島版教材和北師大版教材中把測量結果進行列表對比的設計，對幫助學生發現問題及提出猜想還是很有意義的。

可見，這三個版本教材的設計都有點偏重測量操作，課堂可能熱熱鬧鬧，但教學效率和效果都值得思考。因為，學生自己畫的三角形的三個角，有可能出現不是整度數和測量誤差的問題，導致三個內角之和并不一定等于180°，若非教師引導，學生不一定能提出猜想。更重要的是，探究的思維含量不足，忽視了“探究的關鍵是大腦積極思考的活動，而非動手操作活動”。

2.提出問題——考察特殊情況-猜想

有些教材是先提出問題，再讓學生考察特殊三角形的三個內角并求和，進而提出猜想。這樣編寫的教材有蘇教版教材、西師大版教材和冀教版教材，但編寫的過程又有差異，具體如下。

西師大版教材（37頁;圖4）和蘇教版教材（78頁;圖5）都先提出了三角形內角和是多少度的問題，進而引導學生從熟知的、特殊的三角板出發得出三角形內角和等于180°讀的結論，再由特殊到一般進行推廣，提出猜想;而蘇教版教材只是隱含而沒有明確提出。

冀教版教材（36頁;圖6）是從猜測等腰三角形（精心設計了三個角的度數）和等邊三角形角的特點出發，再測量驗證，得出“副產品”——三個角的和是180。，隱含著由特殊到一般的思想。

這三個版本教材中的設計有一定思維含量，體現了“提出問題，由特殊情況出發思考問題，進而提出猜想、驗證猜想”的一種科學探究模式，滲透了由特殊到一般的科學發現方法和哲學思想。

浙教版教材的設計也屬于這一類。由圖7（76頁）可以看出，通過移動△ABC的頂點A，讓學生在觀察三個內角變化的基礎上進行猜想，即“將A點運動到接近BC邊或落在BC邊上時，∠B、∠C接近或等于0°，∠A接近或等于180°”，進而提出猜想;或將A點逐漸遠離BC邊運動到無窮遠處時，∠B、∠C接近于90°，∠A接近于0°。這種極端特殊情況或極限位置，滲透了極限思想，比較前衛，思維含量較高，但學生受制于能力發展水平，獲得猜想可能有一定的難度。

綜合上述分析，關于三角形內角和猜想提出的探究設計，不同教材的設計各有千秋，但也都存在操作活動為主的不足，還有待改善。尤其需要指出的是，除冀教版教材外，“三角形內角和是多少度”問題的提出都猶如從天而降，學生要做的就是測量求和，進而提出所謂的“猜想”。可問題是怎么來的？教材在這方面需要完善。因為，提出問題才是創新的起點，才是進行科學探究的起點。

二、關于三角形內角和驗證方法的比較分析

上述教材中設計的探索活動，不僅有提出猜想的過程，還有驗證猜想進而獲得結論的過程，整個過程還是比較完整的。關于三角形內角和的驗證，教材一般有兩種方法——測量驗證和拼角驗證，而拼角驗證又有不同的拼法。

1.測量三角形內角并求和的驗證方法

通過測量三角形內角并求和驗證的教材有西師大版教材（圖4）、蘇教版教材（圖5）、冀教版教材（圖6）、浙教版教材（圖7），這是基于由特殊到一般的提出猜想的過程而設計的。蘇教版教材讓學生剪下教材附頁中的三種不同類型的三角形進行測量驗證，屬于對不同類型的三角形的完全歸納。西師大版教材則是讓學生測量幾個三角形后進行驗證;冀教版教材則是讓學生任意畫一個三角形后測量驗證，這兩個版本教材的設計有可能出現不完全歸納情況，不能全面考察不同類型的三角形。另外，學生通過這種驗證方法得出來的是近似值，驗證效果欠佳，應該屬于進一步鞏固猜想或增加猜想成立可能性的先期檢驗。

2.剪（撕）三角形的角拼成平角的驗證方法

對于剪（撕）三角形的角拼成平角的驗證方法，從人教版教材（圖1）、西師大版教材（圖4）中的語言和圖形展示可看出，它們都是把角剪下來再拼，且人教版教材是剪下三個角，西師大版教材沒說剪幾個。而北師大版教材（圖3）、浙教版教材（圖7）、蘇教版教材（79頁;圖8）、冀教版教材（37頁;圖9），從語言和圖形展示可看出，它們都是把角撕下來，且除蘇教版教材看不出撕下幾個角，冀教版教材是撕下兩個角外，其他版本教材都是撕下三個角。再者，冀教版教材給出了三種不同類型的三角形讓學生驗證，其他版本教材只驗證了一種類型的三角形。