關于數列遞推問題的解法探究與思考

楚立軍

[摘? 要] 數列遞推問題是高中數學的重點問題之一，問題一般給出數列的遞推公式，解析時需要根據對應的方法來轉化. 其中累加累乘法、構造法和歸納猜想法是常用的方法，合理利用可有效降低思維難度，本文將結合實例探究解法的構建思路和使用技巧，并進行方法反思，提出兩點建議：總結反思解法，挖掘方法思想.

[關鍵詞] 數列;遞推;解法;累加法;構造法;歸納法

■方法綜述

求通項公式是數列的常見問題，對于一些綜合性強的數列問題，求解數列的通項公式是問題突破的關鍵，而遞推數列求通項問題更是高考的重難點問題，可全面考查學生運用所學知識開展問題探究的能力. 求遞推數列的通項公式，一般的思路是運用相應的方法將遞推數列變形，將其轉化為一種特殊的數列或原數列的某種特殊組合，從而將復雜的數列問題簡化為一般的等差或等比數列. 因此需要掌握相應的轉化方法，教材對其介紹不多，但結合數學的化歸轉化思想，在求解數列遞推問題時可以采用累加累乘法、構造法和歸納猜想法，下面結合實例深入探究.

■解法探究

累加累乘法、構造法和歸納猜想法是求解數列遞推問題的常用方法，適用于高中數列的主流問題，在實際使用時需要深入理解解法，合理利用方法來構建解題思路.

解法一：累加累乘法

累加累乘法是求解數列遞推問題的基本方法，其方法的核心是“消項”，即通過累加或累乘的方式簡化復雜數列，構建對應通項. 該方法的基本形式如下：

累加法：a■=a■+（a■-a■） +（a■-a■）+…+（a■-a■） （n≥2）;

累乘法：a■=a■·■·■·…·■ （n≥2）.

例1：已知在數列{a■}中，a■=λ，數列的前n項之和S■滿足條件（n-1）S■-（n+1）S■=0，求數列{a■}的通項公式.

解析：當n=2時，則（2-1）a■-3（a■+λ）=0，解得a■=-■λ. 由（n-1）S■-（n+1）S■=0可得■=■（n≥2）. 上述為乘積形式，可以采用累乘法，則S■=■■·…·■·S■=■■■·…·■·■·-■λ=-■（n≥2），同時適用于n=1的情形. 當n≥2時，a■=S■-S■=■，不適用于n=1的情形.

綜上可知，a■=-■λ，n=1，■，n≥2.

例2：已知{a■}為遞增數列，{b■}為等比數列，兩數列滿足如下關系：a■=b■=1，（b■-b■）2=b■+b■，且對于任意的n∈N*有a■-2anan+1+a■=b■，試求數列{a■}和{b■}的通項公式.

解析：上述求數列{a■}和{b■}的通項公式，題干給出了兩數列項之間的關系，已知{b■}為等比數列，顯然可以先求{b■}的通項公式，然后利用兩者的關系來推導{a■}的通項公式.

設{b■}的公比為q（q≠0），由（b■-b■）2=b■+b■可得（q2-q）2=q2+q3，化簡可解得q=3，所以b■=b■qn-1=3n-1. 結合{b■}通項和a■-2anan+1+a■=b■可得（a■-a■）2=（3n-1）2，{a■}為遞增數列，則有a■

解法點睛：累加和累乘法是基于基本代數運算的方法，例1所呈現的是累乘法的構建過程，適用于遞推公式為■=f（n）的形式;例2所呈現的是累加法的構建過程，適用于遞推公式為a■-a■=f（n）的形式.

解法二：構造輔助數列法

求解數列遞推問題還可以采用構造法，基本策略為：變形題干遞推公式，利用添加常數、配湊系數等方式來構造出輔助數列，如等差數列、等比數列，然后利用特殊數列的性質來推理復雜數列的通項公式.

例3：已知數列{a■}滿足如下條件：a■=1，na■=（n+1）a■+n（n+1），并且b■=a■·cos■，若記{b■}的前n項之和為S■，試求S■的值.

解析：上述題目給出了數列的遞推公式na■=（n+1）a■+n（n+1），對其變形，可將其整理為■-■=1的形式. 將■和■分別看作是一個整體，令c■=■，c■=■，則可將{c■}視為是以公差為1、首項為1的等差數列，根據等差數列的計算公式可得■=1+（n-1），所以a■=n2. 將上述條件代入b■=a■·cos■中，可得b■=n2·cos■. 令n=3k-2，k∈N*，則b■=-■（3k-2）2，k∈N*，同理可推知b■=-■（3k-1）2，b■=（3k）2，k∈N*，所以b■+b■+b■=-■（3k-2）2-■（3k-1）2+（3k）2=9k-■，k∈N*. 所以S■=9×（1+2+·…·+8）-■×8=304，即S■的值為304.

解法點睛：上述例3采用了構造等差數列的方法進行解題，即通過對遞推公式進行變形，使其變形為相鄰項之間具有同構特點的形式，進而將其視為是一個整體，構造相應的輔助數列，然后利用數列的性質確定輔助數列通項公式，再進行原數列的推導.

實際上輔助數列與遞推公式之間聯系密切，總體而言有以下幾種形式：

①a■=pa■+q（p≠0，1，q≠0）形式，通常可直接構造為等比數列;

②a■=pa■+qn形式，可先處理qn，變形為b■=■·b■+1，則同樣可構造等比數列;

③qa■-pa■=anan-1形式，可等號兩邊同除anan-1，則可變形為■-■=1，通過整體代換，同樣可變為前兩種形式;

④pa■-（p+q）a■+qa■=k形式，則可以根據兩邊項的系數對中間項進行拆解，從而變形為p（a■-a■）-q（a■-a■）=k，將括號內的視為一個整體，則同樣可以將其變形為上述常見類型.

解法三：歸納猜想法

猜想歸納同樣也是數列遞推問題中的常用方法，可通過先歸納、后猜想的方式推導一般數列問題的通項公式. 該方法是基于化歸轉化思想所形成的，按照知識探究的思路，在解題時需要分三個階段：第一階段為歸納階段，需對遞推公式進行變形、觀察;第二階段為猜想階段，需根據歸納的特征作出猜想;第三階段則是驗證階段，需結合實際條件對猜想進行驗證，從而確定結論.

例4：現已知數列{a■}的各項均為正數，其前n項之和為S■，若a■，S■，a■（n∈N*）構成等比數列，試回答下列問題：

（1）請寫出a■，a■和a■的值，并猜想數列{a■}的通項公式;

（2）證明（1）中的猜想.

解析：上述的核心條件有兩個：一是{a■}的各項均為正數，二是a■，S■，a■可構成等差數列，所設兩問要求先猜想{a■}的通項公式，然后加以證明，解析過程是對歸納猜想法的體現.

（1）由等差數列性質可知S■=■，根據該關系式可分別計算出a■=1，a■=2，a■=3，分析三項關聯特點，可猜想數列{a■}的通項公式為a■=n.

（2）證明（1）中的猜想，當n≥2時，已知S■=■， S■=■，所以a■=S■-S■=■-■，整理可得（a■+a■）（a■-a■-1）=0. 因為{a■}的各項均為正數，所以a■-a■=1，可知{a■}為等差數列. 又知a■=1，a■=2，所以a■=n（n∈N*）.

解法點睛：根據歸納猜想法的構建思路可知，解題時需要分歸納、猜想、驗證三步. 其中在歸納過程需要對遞推公式進行變形，可結合添加項、通分、分割等方法，以轉化為常規數列為目標. 在猜想階段，既需要關注每一項的特點，還需要分析項與n的關系、規律，對于其中與正負號相關的遞變規律，則可以借用（-1）n和（-1）n+1來調節平衡. 最后的驗證階段，則需要充分結合題干條件，歸納條件進行驗證，必要時可以結合數學歸納法.

■思考總結

上述結合實例深入探究了累加累乘法、構造法和歸納猜想法，分析了利用三種方法解決數列遞推問題的基本思路及使用技巧，下面提出幾點建議.

1. 重視方法思路，總結使用技巧

數列遞推問題具有較高的解析難度，合理利用上述三種方法可以轉化遞推關系，在不改變關系本質的前提下充分挖掘其中的信息條件，降低思維難度，因此充分理解方法、掌握使用技巧是十分重要的. 例如累加累乘法的適用通式，以及三步法構建解析思路;學習構造輔助數列法時，需要總結不同的遞推形式以及變形方法;而歸納猜想法需關注思路構建的三個階段，總結數列通項之間的常見規律. 在教學中應結合實際問題來講解方法的使用思路，引導學生利用總結的遞推思路進行問題剖析，提升學生的解題能力.

2. 挖掘方法內涵，領悟思想方法

高考對數列遞推問題的考查是多方面的，主要集中在數列綜合、演繹推理、數學思想等，上述作為該類問題的推薦解法，學習時除了需掌握對應的使用思路，還需透過表象挖掘方法的思想內涵，實際上解法思路也是基于數學思想來構建的. 如構造輔助數列法中融合了構造思想、整體思想，而累加累乘和歸納猜想法融合了化歸轉化思想、方程思想等. 開展解題方法探究需要以問題結構為出發點，立足思想核心，掌握解法關鍵. 教學中可聯系數學思想指導學生學習解法，領悟方法的思想內涵，發展學生的解題思維，提升學生的核心能力.