談三角形角平分線長度的處理方式

顧冬梅

[摘? 要] 在高考中，時間就是分數，在確保解題正確率的前提下，解題的速度決定著整張高考試卷的得分，因此，在有限的時間內，部分壓軸題的“秒殺”成為很多教師和學生研究的一項課題，也成為學生訓練解題能力、突破思維斷點的關鍵.

[關鍵詞] 秒殺;高中數學;方法

本題以一道高考模擬題為例，呈現多種不同的解法，也深入剖析這題的科學性、嚴密性、價值性. 一方面以此為例，拓展我們的解題思路，引領學生發散思維的提升，啟發學生站在不同的維度去分析題目的本質和內涵，也引領學生注重方法與思想的積累，在解決壓軸題的過程中，達到舉一反三、由此及彼的效果，引領學生敢于質疑、敢于反駁，以此促進學生的再生長.另一方面，也借此拋磚引玉，與同仁、專家一起深入研究高考題的價值與內涵，促進教師解題、講題、命題能力的提升，進一步服務于后續教育教學質量的提升和優化，促進教師專業素養的提升.

■原題呈現

例題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=■，a=4■，角A的平分線交邊BC于點D，其中AD=3■，求△ABC的面積S.

法一：（等積變形和余弦定理求兩邊之積）過點D向AB，AC作垂線，垂足分別為E，F.

根據角平分線性質得

DE=DF=ADsin■=3■×■=■，

根據面積公式，有

S=■bcsinA=■bcsin■=■bc，

且S=■AB·DE+■AC·DF=■·（b+c），

所以bc=3（b+c）.？搖？搖①

又由余弦定理，得

a2=b2+c2-2bccosA，

即16×7=b2+c2-bc.？搖②

聯立①②，解得b+c=16，所以

S=■（b+c）=12■.

法二：（角平分線的向量表達式）根據角平分線定理得■=■=■，

所以■=■■+■■.

兩邊平方，得27=■■c2+2■·bccos■+■■b2，

整理可得bc=3（b+c），以下同法一，略去.

法三：（正弦定理求兩已知線段的夾角）如圖3所示，設∠CDA=θ.

由正弦定理可得

■=■，

■=■.

兩式相加，并整理得

■=■+■=■=■=■，

即（■sinθ-2）（8sinθ+■）=0，考慮到sinθ>0，所以sinθ=■，故S=■AD·BCsinθ=■×3■×4■×■=12■.

■評價與反思

1. 對三種方法的分析

法一和法二的指導思想是一致的，既然已經知道了一個特殊角，那么就設法把這個角的夾邊乘積bc求出來，而利用余弦定理和BC的長可以建立一個關于bc和b+c的關系式，那么還需要利用角平分線AD的長建立另一個關系式，法一用的是角平分線上的點到角兩邊的距離相等，結合等積變形建立方程，法二則是利用角平分線定理進行向量運算. 兩種方法大體思路一致，手段的采取略有不同，但都值得參考.

法三和前兩種方法相比有點小突破，不再盯著三角形ABC的邊長，而是把原三角形看成兩個小三角形拼起來的.由于這兩個小三角形兩個邊長均已知曉，故只要求兩邊夾角的正弦即可，那么很自然地就利用正弦定理求解了.

2. 對解題過程的補充說明

法一對bc=3（b+c）的探究過程其實也是張角定理的推導過程（山東李振杰老師就是用張角定理快速解決了本題），張角定理內容及簡證如下：

定理內容：三角形ABC中，D是邊BC上一點，∠CAD=α，∠BAD=β，則■=■+■.

簡證：由■AC·ABsin（α+β）=■·AB·ADsinβ+■AC·ADsinα整理即得.

法三過程中出現了sin（θ+30°）·sin（θ-30°）的形式，它可以利用下述“平方差公式”快速計算：

sin（α+β）sin（α-β）=sin2αcos2β-cos2αsin2β.

在上述的方法剖析中，我們不僅可以感受到方法的巧妙性、嚴密性，也反映了教師和學生在這個環節處理過程中的基本功與思維能力.在常態的教學過程中，如何促進學生思維能力的真正提升？方法有很多，一題多解、一題多變，站在不同的思維角度引領學生成長起著至關重要的作用.