靜待思維花開，守望自然生成

馮俊

[摘? 要] 對于數學課堂教學，老師不要吝嗇給學生發現的時間，要充分體現以學生為本，要引導學生自主觀察分析，自覺發現事物的本質屬性和規律. 概念課的教學一定要強調4個“關注”：關注經驗基礎、關注質疑反思、關注拓展延伸、關注變式鞏固，促進4個“實現”：實現抽象發現、實現概念生成、實現思維升華、實現銜接融通. 如果這樣，我們的課堂一定會促使知識的“自然”生成，也能在平時教學中不斷培養學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 數學課堂;4個關注;4個實現;自然生成

“為什么要學習××概念？”

“××概念是怎么來的？”

“學習××概念有什么用？”

“學習數學就是為了考試？真沒勁！”

……

我們經常聽到學生這樣的吐槽，每當此時，老師都會感慨現在的學生這是怎么了？不就是學習嗎，怎么會有這么多想法？久而久之，這樣的課堂逐漸降低了學生對新知識的好奇心、削弱了學習數學的積極性和興趣.如果老師借助于“同理心”，設身處地地以學生的參照標準來看事物，使得能夠從學生的處境來體察他的思想行為，了解他因此而產生的獨特感受. 我們就會發現，學生在課堂上長期經受了被動接受學習，導致他們覺得學習數學是件枯燥無味的事情，喪失學習數學的興趣就不奇怪了.

那么，如何改變這種現狀呢？怎么讓我們的課堂更有吸引力呢？我們的課堂應當著重培養什么呢？“中國學生發展核心素養（征求意見稿）”透露，數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養. 因而，提升學生的“數學核心素養”就成為當下數學課堂的主要任務，這也成為改變我們課堂現狀的途徑. 但面對紛繁復雜的核心素養體系，老師往往會感覺無所適從，這就需要我們找到一個打造切實有效的“靈動課堂”的抓手.

新課程改革伊始就在強調評價體系的變革，建構主義等理念得到一線教師的認同. 雖然歷經近20年的教育改革，但老師們迫于考試壓力、教學進度等影響，日常教學還是過于急躁，忽視了知識的螺旋上升，仍更注重“灌輸”，缺乏“發現、創造”. 從認知學的角度來看，學生對一個學習對象認知的首印象很關鍵. 有很好的建構和認同，才會有完整的圖式建構、表象表征. 葉瀾教授指出“教學過程是師生、生生積極有效互動的動態生成過程，要改變原來中心輻射的狀態，本質上轉變成網絡式溝通.”“每個學生以完整的生命個體狀態存在于課堂生活中，他們不僅是教學的對象、學習的主體，而且是教育的資源，是課堂生活的共同創造者.”因此，我認為“加強過程性教學，注重知識的生成”的課堂可以激發學生的求知欲，提高學生課堂參與的積極性，這也是提升學生數學核心素養的諸多方法中比較容易落實的舉措. “數學概念課”是實現該設想的一個切入口，也是老師們要終身研究的課題.

影響學生學習概念的因素有學生的知識經驗、感性材料、學生的數學概括能力和語言表達能力. 這4個因素當中，最容易被老師忽視的是第2個，不注重培養的是后兩個. 我們也常常感慨學生不會數學表達. 可能很多時候，這個“板子”應當打在老師頭上. 沒有感性材料的呈現和凸顯個性的平臺，何來培養之說？俗話說“時光不語、靜待花開”，只有隨著時間的推移，花朵才會逐漸綻放，展現它的絢麗. 知識的生成也不可能一蹴而就，它需要思維不斷地碰撞，擦出創造的火花，照亮發現的道路，由此激發學生的求知欲. 因此，筆者認為概念課的教學一定要強調4個“關注”：關注經驗基礎、關注質疑反思、關注拓展延伸、關注變式鞏固，促進4個“實現”：實現抽象發現、實現概念生成、實現思維升華、實現銜接融通. 相信這樣的課堂一定會促使知識的“自然”生成，唯有這樣也才能在平時教學中不斷培養學生的數學核心素養.

蘇州市教科院申報了省級課題“基于核心素養的高中數學教學研究與實踐”，此課題的課堂教學觀摩活動暨開題研討會在筆者所在學校舉行. 此次活動中，筆者執教了蘇教版必修五《等差數列的概念及通項公式》這節課.江蘇省中小學教學研究室數學教研員李善良教授，蘇州市教科院數學教研員、特級教師吳鍔老師，蘇州工業園區教師發展中心數學教研員、蘇州市名教師許平老師親臨現場，給予指導，并對本節課做了精彩的點評. 筆者收獲很多，也讓筆者對培養學生的核心素養有了更深的認識和理解. 下面筆者就將本節課的教學片段、專家點評和筆者自己的設計意圖、思考整理如下.

■關注經驗基礎，實現抽象發現

學生在小學對等差數列就有直觀的認識，儲備了一定的知識經驗，能夠大致了解什么樣的數列是等差數列，他們欠缺的就是如何用數學語言將它的定義表達出來. 現在，老師要做的就是搭建平臺，逐步引導學生合理、充分表達自己所想、所思.

【教學片段1】

情境引入1：某鋼材庫新到200根相同的圓鋼，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓鋼盡可能地少，那么將剩余多少根圓鋼？

師：在這個題目中，你能找到“數列”嗎？

生：圓鋼個數從上往下構成數列1，2， 3，4，….

師：這個題目可以轉化為一個數列的什么問題呢？

生：此數列前多少項和最接近200？比200少多少？

師：你能解決嗎？

學生饒有興致地思考，對這個數列，學生雖然感覺很熟悉，但要順利得到答案，還是有難度的. 既然有困難，那學生就感覺有必要研究這個數列，他們也能“心甘情愿”地接受新知識. 為了能發現這類數列的規律，并給學生創造數學表達的機會，培養學生數學表達的意識和習慣，提高學生數學抽象的能力.筆者順勢叫學生舉了幾個類似的數列. 在看起來幾乎“零難度”的舉例中，學生學會的是如何嘗試多角度抽象概括、類比研究新的事物，從數學層面去提出問題、解決問題.

師：現有知識解決以上問題不是很方便，我們先將它放一放，在后續學習中再解決. 今天接下來的學習過程中，讓我們一起思考如下幾個問題：①如何研究這樣的數列？②這些數列有沒有什么共同特征？③能不能給這樣的數列一個統一定義？

此時，筆者給學生提供了一個研究數學問題的常用方法，即“從特殊到一般”，也明確了本節課的學習目標，將實際問題轉化為數學問題，培養了直觀想象能力和提出問題能力.

專家點評：數學課堂要強調數學來源于生活，服務于生活，學習數學的過程就是將實際問題轉化為數學問題的過程. 所以，概念建構之前需要情境引入.數學課堂情境引入是一個“技術活”，實例引入時間過長，就會導致課堂缺乏“數學味”，沒有實例引入，又會讓學生覺得“去生活化”. 當學生在解決實際問題中遇到困難時，我們的課堂自然就過渡到要學習新的數學知識來解決問題，學習就成為一種必要. 教師選擇由實例引出學習等差數列的必要性，這樣的引入“合情合理”，懸而未解的數學問題也激發了學生的求知欲.

情境引入2：

師：以下是剛才同學們給出的兩個數列，你們為什么認為它們和上述數列類似呢？

（1）4，7，10，13.

（2）7，12，17，22.

生：剛才的數列中有2-1=3-2=4-3=1，這兩個數列也有這樣的特征，7-4=10-7=13-10=3，12-7=17-12=22-17=5.所以，這些數列都是同一類數列.

師：你能用數學的語言概括出你發現的“規律”嗎？

生：以上每個數列相鄰兩項的差相等.

師：先想一想4和7對應項的位置關系.再斟酌一下，看能不能更準確一點？

生：“后一項”減去“前一項”的差相等.

雖然等差數列特征的關鍵信息已經抽象出來了，但筆者認為，此時還不宜直接告知定義. 否則，首先會缺少知識的完整建構過程，也會導致對概念中的關鍵信息理解不到位. 小學課堂上經常會讓學生就題目自己增加或減少條件，或根據給定話語選擇幾句進行組合，變成一道新數學問題. 這給筆者很大的啟發，數學知識，抑或數學概念的“發現”在有可能的情況下要盡量讓學生去主動完成.

專家點評：認識到7-4=10-7=13-10=3，這只是感性的，數學關系的抽象性、本質屬性并沒有得以體現. 教師引導學生發現7是4的“后一項”，4是7的“前一項”. 第一個數列的“后一項”與“前一項”的差等于3，第二個數列的“后一項”與“前一項”的差等于5.這樣，“用數列中前、后項的關系”來描述這些數列的共同點就很自然了. 這個轉變，充分體現了教師在“以學生為主體”上動了腦筋. 教師較好地引導學生去學會“數學地思維”，學會捕捉信息，建立數學概括和數學表達的基礎，延伸了思維的深度和廣度，培養了邏輯推理能力.

■關注質疑反思，實現概念生成

【教學片段2】

師：既然很多數列具有這樣共同的特征，那我們就有研究它的必要，給這類數列取一個什么名稱比較合適呢？

生：等差數列.

對于數學概念，如果我們像這樣從生活中來，再回到生活，學生應當不會再有文始的抱怨了. 從感知到舉例，從舉例到理性思考，學生對“等差”已經不陌生.“等差數列”這個名稱的生成就水到渠成，避免了“尷尬”的告知式教學.

師：怎么定義等差數列呢？

生：若一個數列的后一項減去它的前一項所得的差是常數，那么這個數列就是等差數列.

學生給的這個定義有瑕疵，有不夠完善的地方，但不能帶著居高臨下的權威感和優越的批評感來聆聽他們的講話，而要提供給學生更多的解釋和評價自己的思維結果的權利. 唯有這樣，學生才能“刻骨銘心”，才能學會自行優化自己的所思、所想，才能逐漸提升批判性思維品質.

師：數列1，2，4，6，8是等差數列嗎？

討論之后，學生發現這個數列不是等差數列，原因在于，要強調“從第二項起”后一項與前一項的差是常數.

師：既然這個數列也不是等差數列，那么等差數列的定義可以怎么修正？

生：如果一個數列從第二項起，后一項減去它的前一項所得的差是常數，那么這個數列就是等差數列.

這個定義已經比較精確，但還是沒有強調關鍵詞“同一個常數”.筆者繼續創造條件，留給學生自己發現和改正的機會.要解決這個問題，概念辨析題依然是不錯的選擇.

師：數列0，2，4，6，7，9，11是等差數列嗎？

學生發現，從第二項起，有的差是2，有的差是1，雖然都是常數，但該數列不是等差數列.

師：思考它和剛才的數列的不同，怎么完善這個定義呢？

生：“差”要是同一個常數.

至此，等差數列的定義圓滿生成：“如果一個數列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數，那么這個數列就是等差數列，這個常數叫公差，通常用d表示.”

專家點評：“靈動”的課堂需要教師采用“啟發式對話教學模式”，讓學生放開自己的思維，大膽地去聯想，去總結.教師可以詢問學生已經了解了什么，而不是一味要求他按照你的思路進行. 否則，我們培養的學生的腦子“總是習慣了在別人的腦子走過的路上活動”，缺乏創造性. 教師將給“等差數列”下定義的主動權交給了學生，對學生的“犯錯”采取了寬容態度，舍得花時間讓學生“糾錯”，充分保護了學生學習的積極性，這樣的處理也能讓學生很好地掌握概念中的關鍵詞.

■關注拓展延伸，實現思維升華

數學的美在于抽象概括，這也就理所當然成為學習的難點. 數學學習中，學生經常遇到的是數、抽象的式子、字母等等. 所以，掌握數學概念，不僅僅要從文字語言來認識它，更要從數學本質上去洞悉它，數學概念的形式化要求就將概念學習提升到拓展階段. 如果現在問“如何用數學的式子來表達定義”，會讓學生感覺很唐突.他們會問“為什么要學習形式化定義？”學生只有不斷地思維遇挫，才會有思維的升華，“生成”也才會“自然”.

【教學片段3】

師：以下數列{an}是等差數列嗎？（1）an=n2，（2）an=4-2n，（3）an=3n+1.

學生剛剛感知的等差數列都是有限集，一旦遇到無限集，他們想到的還是從等差數列的定義著手去逐項研究它，化無限為有限.

生：對于第一個數列，a2-a1=3，a3-a2=5，所以它不是等差數列 .第二個數列，a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，第三個數列，a■-a■=3，a■-a■=3，…，它們都滿足等差數列的定義，所以后兩個數列都是等差數列.

師：若一個數列的有限項滿足等差數列定義，能說明它就是等差數列嗎？

“是不是一定要逐項列舉？”“能列舉得盡嗎？”“若列舉不盡，那又該怎么處理呢？”筆者相信這些問題一定會縈繞在學生心頭. 學生對后兩個數列是等差數列很確定，但只是停留在特殊到一般的歸納推理上. 這一步能否得到論證和突破，某種程度上來說就是學生數學能力和數學素養的體現. 此刻，筆者的引導和平臺的搭建對提高學生的數學素養就顯得尤為關鍵. 稍不留神，會讓培養學生數學抽象能力的機會從筆者眼前“劃過”.

師：既然能發現a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，我們又不能列出所有的“差”，你能用一個數學的式子來描述這樣的運算嗎？

架梯搭橋后，形式化定義的提出就事出有因了，學生容易接受.他們也自然會從“迷茫”到“柳暗花明”.很快，他們意識到，既然數列中通常用a■表示任一項，那么an-an-1就應當可以表示“每一項減去它的前一項”.

生：第1個數列，可從an-an-1=2n-1不是常數來說明它不是等差數列.第2個數列，an-an-1=（4-2n）-[4-2（n-1）]=-2;第3個數列，an-an-1=（3n+1）-[3（n-1）+1]=3，所以，后兩個數列是等差數列.

師：由上面的分析和討論，我們發現，滿足“an-an-1=常數”的數列就是等差數列. 對照等差數列定義看看，這個式子的書寫有什么要求？

短暫沉默后，有學生提出：“要加上n≥2，n∈N*”.

師：為什么要加呢？

生：加了以后才能保證“從第二項起”.

師：非常棒！還有其他寫法嗎？

生：還可以寫成an+1-an=常數（n∈N*）.

利用三個具體的數列，我們就將一個難點順利破解. 等差數列的形式化定義產生了：若一個數列，對于任意n≥2，n∈N*滿足an-an-1=常數，則這個數列是等差數列.新概念的“生成”就是需要不斷地“發現”，所以，有經驗的老師都不會放過繼續追問的機會，便于學生更深入地理解、掌握概念.

師：既然能用連續兩項來描述這個概念，能用連續更多項來描述嗎？

生：a■-a■=a■-a■=…=a■-a■=a■-a■=常數.

顯然，這樣的表達式沒有達到筆者預期的目的. 它不夠簡潔，更不夠概括.

師：“常數”兩個字可以去掉嗎？

生：可以.

師：還能再去掉一些式子嗎？

學生迅速展開討論，結果如下：去掉第一個式子和去掉前有限個式子效果一樣.總感覺這樣不滿足定義中“從第二項起”. 但如果有“a■-a■=a■-a■”，考慮到n的任意性，它就可以從“式”的角度說明所有前后項的差是同一個常數.

生：可以寫成a■-a■=a■-a■（n≥2，n∈N*）.

師：很好！將上式變為a■=■，稱a■為a■，a■的等差中項.

引入等差中項后，我們就比較深入地研究了等差數列概念，同時為后續證明、判斷一個數列是否為等差數列的第二個方法埋下伏筆.

專家點評：對學生來說，理解等差數列的形式化定義是有難度的.因為，剛剛接觸文字語言的定義，就跳躍到數學符號語言，這個跨度太大.這需要師生經歷從特殊到一般、具體到抽象的過程.本節課，教師循循善誘，設置的問題啟發性強，目標指向明確，難度梯度分明，能力要求逐層推進.從有限到無限，令學生“愉快地”覺得形式化定義的學習是有必要的，這樣的處理，符合學生的認知規律.學生的數學核心素養、數學能力在思維碰撞、屢次沖突中自然地被提高到更高層次要求，在“最近發展區”是可以實現的.“數學核心素養”的培養不是一蹴而就的，這樣的課堂不應當是“曇花一現”，這不僅需要學生的毅力和勇氣，更需要老師的思考和堅持.

■關注變式鞏固，實現銜接融通

學習到一定程度就需要再“添把火”，否則只會“溫熱”，缺乏思維的長度.鞏固練習不但會對本節課所學內容及時反饋，也往往是學生思維能力提升的源泉.

【教學片段4】

師：已知等差數列{a■}中，a■=3，a■=5，求d和a■.

生：d=2，a■=1.

此題的設計意圖在于讓學生發現a■是a■的后一項，則公差d就是a■-a■=2，且a■=a■-d=1，也讓學生發現公差d是聯系前后項關系的紐帶.筆者覺得不能就題論題，還要想辦法充分利用它的價值，將有限的課堂作用發揮到最大.因此，筆者將本題做了如下變式.

變式1：等差數列{a■}中，a■=2，a■=5，求d和a■.

變式2：等差數列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

變式3：等差數列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

變式題中的數據、項數都不是很大，目的是讓學生學以致用，發現項與項之間靠d聯系著. 我們知道，依賴“題海戰術”取勝的課堂治標不治本，抑制了學生個性的展示，掩蓋了思維廣度的短板，學生只會循著老師的思維印跡去解決熟知的問題. 當學生能力不能提升，沒有自己的思維時，他們在面對陌生問題時會束手無策. 這也是很多“高分”學生在高考中分數“直線下降”的本質原因.學習是一個創造與發現的過程，我們的課堂不能搞題海戰術，對變式題要關注“題量”和“再利用”，實現前后知識間的融通.

師：通過以上題目的解答，你收獲了什么？

生：在等差數列中，已知任意兩項，可以求出該數列其他任何一項.

師：你能說出具體的解決方案嗎？

生：根據給定兩項的值，計算出公差，再求出首項，最后計算要求的項.

學生的回答是不是精確、規范，具有操作性，這已經不是此刻的主要問題.至少筆者認為，這3個變式訓練讓學生深切感受到可以用兩個量來刻畫等差數列，這為下一個知識點“等差數列的通項公式”鋪路搭橋，做好了知識網絡之間的有效預設.

專家點評：變式教學策略的重要性在于它為未來的變異做準備，由于未來具有更大的變異性和不確定性，因此我們只有通過體驗現在的變異才能為未來的變異做準備. 本節課的變式訓練中，師生共同創造了一個適當的變異空間，獲得了探究性的有意義學習. 題目選擇恰當，難度適中，不但起到了反饋的作用，還增強了學生學習的信心，最難能可貴的是為尋找“等差數列通項公式”的兩個關鍵要素打下基礎，真正實現了知識體系間的螺旋上升.

通過這樣的4個“關注”和4個“實現”，我們就完成了等差數列概念的學習. 回顧整個教學過程，筆者始終在關注學生的“發現”，創造機會鍛煉學生的思維. 課后的后測成績非常好，這也佐證了這樣的課堂需要老師長期堅持和維系，不斷提升教與學的雙重收益.

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發現”. 特級教師孫雙金也說“課堂應是放飛師生思想的天堂，教師應用自己思想的火種點燃學生思想的火花”.因此，對于數學概念的教學，乃至所有的課堂教學，需要我們不要吝嗇給學生發現的課堂時間，要充分體現以學生為本，尊重學生主體地位的教學理念，促進學生學習方式的轉變和優化;需要引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺發現事物的本質屬性和規律，在思維碰撞中生成新的概念;需要通過概念辨析、變式訓練來不斷強化學生對概念的認識. 唯有這樣，學生在獲得概念的同時，才能提升數學抽象能力、數學表達能力和創新精神，也才能更熱愛數學，渴望學習數學. 所以，作為一線教師，我們應當堅持走在“過程性教學”研究的路上，靜待思維花開，守望自然生成.