巧助多元表征，豐富計算認知

楊露

摘? 要：為了巧助多元表征，豐富計算認知，在此背景下，文章以蘇教版小學數學三年級《兩位數除以一位數（首位不能整除）》一課為例，巧助符號表征，將文字轉化為符號;巧助動作表征，在操作中理解算理;巧助語言表征，在練習中算法遷移;巧助表征轉化，在練習中算法遷移。

關鍵詞：蘇教版;計算;多元表征

多元表征是相對單一表征而言的，是指學生在數學學習過程中，結合了動作、聽覺和視覺等感覺器官，讓學生對數學知識的認知不僅僅停留在記憶層面，而是要進入深度學習中。蘇教版三年級上冊第四單元的《兩位數除以一位數（首位不能整除）》是在學生學習了平均分、表內乘除法、整十整百數除以一位數的基礎上的深入學習，這節課教師帶領學生經歷兩位數除以一位數（首位不能整除）除法平均分的過程，熟練掌握除法的算理和算法，能正確計算出除法豎式。

■一、巧助符號表征，將文字轉化為符號

心理學家皮亞杰認為符號表征是認知發展的核心，將表征本質隨年齡所發生的變化看作是區分發展階段的主要特征。從根本上看，符號表征是指個體用來代表其他事物的東西。小學生在進行數學閱讀或數學解題過程中，新課標強調要把復雜的一段文字轉化為簡潔的算式或者符號，并且能正確進行語言文字和符號之間的轉化。

如在教學《兩位數除以一位數（首位不能整除）》一課時，我先出示了一道例題，讓學生在讀題過程中學會提煉文字信息，將這些文字與已經學過的數學知識建立關系。

師：（出示情境圖）同學們，我們一起來看這幅圖。你能編一道應用題嗎？

生：有53個羽毛球，平均分給2個班，每個班能分到多少個？

師：（出示題目）同學們，我們先一起來讀一讀題目，邊讀邊想題目告訴我們什么，要我們求什么。

生：題目告訴我們有53個羽毛球，平均分給2個班，要我們計算每個班能分到多少個。

師：我們知道了題目中的條件和問題，試著寫出算式吧！

生：53÷2，因為要我們計算每個班能分到多少個，就是求每份數是多少，要用除法計算。

在這個教學片段中，教師拋出了一個數學實際問題，學生借助已有的學習經驗，通過分析和提煉這道題目中的文字轉化為數字和符號等的數學算式，并且能用簡潔的文字解釋自己的數學思考過程，讓數學表達變得既專業又具有簡潔美。

■二、巧助動作表征，在操作中理解算理

心理學家布魯納認為兒童最初的認知結構是動作表現，大約5歲以前的兒童都處于這個動作表征階段，他們的認知多數是通過行動而產生的。三年級的學生經歷了動作表征、圖像表征和符號表征這三個階段，他們能把一些復雜的圖像和符號表現為直觀的動作，再利用直觀的動作得出一些共性結論。

如在教學《兩位數除以一位數（首位不能整除）》一課時，當學生寫出除法算式后，我為每個小組的學生準備了小棒、畫有點子圖的學習單，引導他們在擺一擺和圈一圈中探索兩位數除以一位數除法的算理和算法。

師：同學們，你們會計算53÷2是多少嗎？老師為每個小組都準備了一些小棒，你可以按照算式的要求分一分;也為每個同學準備了一張畫有點子圖的學習單，你可以圈一圈，計算出答案。

生1：我是擺小棒的，2根2根地放在一起，一共要放26次，還多了1根小棒。

生2：我是圈點子圖的，2個點子2個點子這樣圈，要畫26個圈，還多出來1個點子。

師：大家是不是都像生1和生2那樣兩個兩個在分或兩個兩個在圈，還有其他不同的分法，也能得到結果是26還多1的嗎？

生3：我是先分5捆小棒的，想5個十里面有幾個2，那么每份先分到2個十、余下1個十和3個一;再把余下的1個十和3個一合起來就是13，然后想13里面有幾個2，每份有6根，還多1根小棒。所以2個十加6個一就是26，還多1。

生4：我沒有用小棒和點子圖，我覺得用豎式計算很方便。先算十位上50除以2等于2個十，在商的十位上寫2;20乘2等于40，53減去40等于13，13除以2，在商的個位上寫6，二六12，余數是13減去12等于1。

在這個教學片段中，學生為了計算出兩位數除以一位數（首位不能整除）的答案，充分利用教師提供的小棒和點子圖，在動手和動腦中計算出答案。同時，教師根據學生的回答不斷引導，讓他們的計算方法從復雜變得簡單，從動作操作向抽象豎式過渡。

■三、巧助語言表征，在練習中鞏固算法

俗話說：語言是思維的工具。當學生探究出兩位數除以一位數（首位不能整除）的豎式后，我又為學生提供了幾道練習題，獨立完成后讓他們說一說豎式計算過程，在說算理和算法的過程中既有利于學生牢記解題思路，又有助于教師真正了解學生的掌握程度。

師：（豎式計算：78÷2和80÷5）同學們，請你試著用豎式計算這兩道題目，做好后和同桌說一說你是怎么計算的。

生：第1題，78除以2，先算7個十除以2，商是3個十，在商的十位上寫3;再算20×3=60，78-60=18，然后18除以2，商是9，在商的個位上寫9，2×9=18，18-18=0，所以余數是0。

師：大家能看懂這個豎式的計算過程嗎？你們知道豎式中的6和18分別是怎么來的嗎？

生：這里的“6”表示20×3=60，雖然寫著6，但是表示60;這里的“18”表示2×9=18。

師：我們再看看第2題豎式計算怎么算。

生：第2題，80除以5，先算8個十除以5，商是1個十，在商的十位上寫1;再算10×5=50，80-50=30，然后30除以5，商是6，在商的個位上寫6，5×6=30，30-30=0，所以余數是0。

師：誰來說說豎式中的50和30又是什么意思？

生：這里的“50”表示10×5=50，雖然寫了5，但表示5個十，0省略了;這里的“30”是5×6=30。

在這個教學片段中，教師利用兩道兩位數除以一位數（首位不能整除）的豎式計算，在列豎式計算和說計算過程中通過語言表征幫助學生進一步鞏固兩位數除以一位數（首位不能整除）的豎式計算方法，特別是讓學生理解豎式中每一個數的由來和意義。同時，學生在豎式計算過程中，也讓他們發現無論是否有余數，兩位數除以一位數（首位不能整除）的豎式計算方法和計算算理都是相同的，兩者的差異只在于最后一步是否有余數。

■四、巧助表征轉化，在練習中算法遷移

數學計算教學中的多元表征包括實物情境、教具模型、圖形圖表、言語、書寫符號等，這五種多元表征有機結合和相互轉化，幫助學生掌握了兩位數除以一位數（首位不能整除）的計算方法和計算算理。當然，在課末教師也可以進行適當提升，讓學有余力的學生去挑戰難題，體會成功的快樂，學會計算方法之間的遷移。

師：同學們，剛才我們已經學會了兩位數除以一位數（首位不能整除）的豎式計算。（出示題目：738÷2）老師這里有一道三位數除以一位數的題目，請你試著用除法算一算。

師：有同學做好了嗎？

生：738除以2，先算7個百除以2，商是3個百，在商的百位上寫3;300×2=600，738-600=138，再算13個十除以2，商是6個十，在商的十位上寫6;60×2=120，138-120=18，最后算18除以2，商是9，在商的個位上寫9。所以738÷2=369。

師：同學們，他做對了嗎？（對了。）請你比較一開始做的這幾題和剛剛做的這道題目，你發現它們有什么共同點？

生1：一開始做的題目是兩位數除以一位數的除法，剛剛做的這道題目是三位數除以一位數的除法。

生2：有的除法豎式有余數，有的除法豎式沒有余數。

生3：我發現我們今天做的除法豎式都是首位不能整除的。

師：是的，我們今天都在學習首位不能整除的除法。明天我們繼續學習三位數除以一位數（首位不能整除）的除法！

在這個教學片段中，教師巧妙地利用上一階段學生積累的數學活動經驗，調用他們的語言、圖像、動作等多種不同的表征方式，帶領他們去解決更加復雜又具有挑戰性的學習任務，讓部分學有余力的學生在新舊知識之間找到連接點，學會把新問題轉變為舊知識，用舊知識去解決新問題，探索發現三位數除以一位數（首位不能整除）的計算方法和算理。

總之，小學數學計算教學是循序漸進的，當學生在學習《兩位數除以一位數（首位不能整除）》一課時，教師在數學課堂上巧妙利用學生的多元表征，讓學生在具體的點子圖或擺小棒過程中發現兩位數除以一位數的計算方法，并用抽象的豎式表達出來，再建立實物表征與豎式表征之間的對應關系，最后實現兩、三位數除以一位數除法豎式的遷移。