證據推理讓學生的數學學習走向深刻

朱國軍

摘? ? 要?? ?基于“證據”的數學教學要培育學生的證據意識，提升學生的論證能力。通過引導學生收集證據、應用證據、分享證據、反思證據，讓證據成為學生數學學習的有力抓手。“證據”能深化學生數學學習的卷入度、能見度、可信度和沉淀度。通過證據，能不斷地提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養。

關鍵詞? 小學數學 證據推理 深度學習

“證據”是指反映一種事物對另一種事物的證明關系（關聯性）。在小學數學教學中，教師要引導學生樹立證據意識，形成“證據支持主張”的論證思想，讓學生學會“有理有據”地思考、推斷。從證據材料來看，證據包括已有的事實知識、實驗現象、原始數據等。因此，讓學生收集證據、分享證據、關聯證據、補充證據，應當成為小學數學證據推理的必要環節。

一、定位：引導學生搜尋證據

證據是學生推斷新知識的材料，可以分為直接證據和間接證據。運用證據進行推斷，不僅可以證實，還可以引導學生證偽。在數學教學中，是運用直接證據還是運用間接證據，是證實還是證偽，不僅要依據數學推理內容，而且要依據學生的具體學情。證據定位，就是要找準教學的方向目標，從而讓教學有的放矢。

數學教學在證據中定位，能有效地培育學生的證據意識。要關注每一位學生，讓每一位學生在數學學習中都能留有思考的痕跡。因此，在數學教學中，教師要引導學生充分感知，引導學生多向思考，引導學生深度探究。只有這樣，才能讓學生發現證據、把握證據。比如教學蘇教版《數學》五年級上冊“梯形的面積”，由于學生已經學習了平行四邊形的面積、三角形的面積等，因此，教師在教學中要拓展證據的廣度，不僅可以引導學生將梯形轉化成平行四邊形，而且可以引導學生將梯形轉化成三角形、長方形等;可以變換證據推理的角度，比如引導學生采用各種方式方法進行推理，如剪拼法、倍拼法、分割法等;可以提高證據推理的深度，不僅可以引導學生積極猜想，而且可以引導學生通過實驗驗證，并將轉化前后的圖形進行比較，等等。在運用證據進行推理的過程中，證據材料側重于積累，其主要表征的是證據“是什么”的廣度問題;論證方式側重于思考、探究，其主要表征證據“怎樣推理”的問題;證據反思側重于反饋、評價，其主要表征證據“為什么這樣推理”的問題。解決好證據材料、論證方式以及論證反饋、評價等問題，學生的數學學習就能真正走向實證。

通過證據的定位，能讓學生對數學學習有一個科學、合理的預期，讓學生的數學學習“學而有向”“學而有據”“學而有理”。基于證據準備的視角，教師可以設計挑戰性的問題，可以提供可操作的工具，從而對證據進行廣角掃描。

二、定法：引導學生應用證據

學生的數學學習，從某種意義上來說，就是以證據為起點，以學習目標為歸宿，在證據和目標之間的路徑規劃。通過具體的謀劃，引導學生探尋論證的方法，進而提升學生的論證能力。由于證據與證據之間的關聯是多樣化的，可能是正確的，也可能是錯誤的，因此，證據推理必須要嚴密，也就是要講究邏輯性。

證據推理，從形式上來看，主要可以分為類比性證據推理、歸納性證據推理及演繹性證據推理等。類比性證據推理是從特殊到特殊的推理;歸納性證據推理是從特殊到一般的推理;演繹性推理是從一般到特殊的推理。其中，歸納性證據推理可以分為完全歸納性證據推理和不完全歸納性證據推理。在推理的過程中，學生還會產生新的證據。作為教師，要引導學生處理好原證據與新證據之間的關聯，以便讓學生的證據推理留下更深的痕跡。比如教學蘇教版《數學》四年級下冊“三角形的內角和”，有學生通過實驗測量、撕角、折角等方法，以實驗結果為依據，得出“三角形的內角和是180°”。有學生則不滿足于這樣的實驗證據，積極從已有知識經驗中尋找論證的突破口。由此，有學生認為，長方形的內角和是180°，任意兩個完全相同的直角三角形都可以拼成長方形，所以任意直角三角形的內角和是180°;任意一個銳角三角形或鈍角三角形都可以沿著高分成兩個直角三角形，所以任意一個銳角三角形、鈍角三角形的內角和都是180°;所以任意一個三角形的內角和是180°。這個論證過程不斷轉變證據，從長方形到直角三角形，既有演繹，又有完全歸納，因而是一種較為嚴密的證明。正是在積極尋找有力證據的過程中，學生將實驗論證與理論論證相結合，令人信服地論證了三角形的內角和是180°。在數學教學中，教師應當引導學生以證據為起點，以學習目標為依據，在證據與目標之間積極謀劃路徑，從而創造一種適恰的論證方式。在這個過程中，每一個個體都會努力突破個體認知局限，主動地探尋不同形態的論據。對同一個知識，不同的學生可能會從不同的視角、運用不同的論據進行不同形式的的論證，在這一過程中，學生還會積極尋找新的論據，從而不斷地提升自我的學習力，發展自我的數學核心素養。

三、定向：引導學生分享證據

在數學教學中，對學生的證據推理，教師要給予持續地跟蹤。只有持續地跟蹤，才不會讓學生的證據推理偏離方向，才能讓學生的證據推理始終向目標邁進。持續地跟蹤，就能對學生的論證過程予以定向。在整體的方向框架內，教師要引導學生深入地交流證據。很多時候，學生的證據能相互支持，成為一種彼此交互的證據。在這個過程中，教師要努力促成學生彼此之間證據的積極遷移。

因此，在數學教學中，教師不僅要高屋建瓴地對數學知識進行解讀，更要把握學生具體學情。作為教師，要設置主導性的問題，讓學生在學習中思考、探究，找尋證據。基于證據的數學教學，不僅能讓學生了解到證據的重要性，更能讓學生學會判斷自我的數學思考、探究是否能達成目標。牢牢把握證據，學生的數學學習就能在證據中生長。比如教學蘇教版《數學》六年級下冊“圓柱的體積”，筆者引導學生進行動手操作，用實驗結果作為證據來引導學生推理。在實驗過程中，當學生用切拼法將圓柱體的模型切成楔子形狀的直扇柱體時，有學生將這些直扇柱體拼成一個底面是近似三角形的三棱柱，有學生拼接成底面是近似梯形的四棱柱，還有學生拼接成一個近似的長方體，等等。在引導學生以自己的實驗結果作為證據進行推理時，他們都能積極、主動地比較這些近似的三棱柱、四棱柱、長方體與原來圓柱體的關系，從而推導出圓柱體的體積。在比較推理過程中，學生發現盡管各自將圓柱體轉化成了不同的形體，但卻都可以推導出相同的圓柱體的體積公式。不僅如此，將圓柱轉化成近似的長方體的學生發現，不同的擺放方式，長方體的底面積不同、高也不同。圓柱體的體積既等于底面積乘高，又等于側面積一半乘半徑，還等于高與半徑的乘積再乘以圓柱體底面周長的一半。在這個過程中，盡管學生的推導過程不同，所用證據不同，但這些不同的證據之間彼此卻形成了一種互證。這樣的互證，讓學生在多維的交織中實現著群體的學習進階。值得注意的是，在引導學生分享證據的過程中，教師要給予學生展示的機會，讓學生運用自我的證據積極論證。只有這樣，才能促成學生數學思維、數學認知、數學學習的不斷進階。

四、定度：引導學生反思證據

在數學教學中，證據不一定是客觀的，證據也有可能是主觀的;證據有可能是真實的，也有可能是虛假的;證據有可能是有力的，也有可能是模糊的、零碎的、膚淺的。作為教師，要引導學生在證據推理的過程中反思證據，是否合理、是否科學、是否有效，等等。正是通過對證據的不斷反思，讓學生能主動地修正證據、補充證據、完善證據。通過證據的不斷完善，完善學生的證據推理。

比如教學蘇教版《數學》五年級上冊“平行四邊形 的面積”，有學生在進行證據推理時，提出了這樣的猜想：平行四邊形的面積是底乘斜邊;而有學生認為，平行四邊形的面積等于底乘高。為此，筆者追問學生各自猜想的證據。有學生說，因為平行四邊形可以推拉成長方形，長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的斜邊，因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘斜邊。顯然，學生的數學猜想證據中有些不能稱之為證據，而是學生的一種迷思概念、相異構想，是影響學生正確進行推理的障礙。對這樣的迷思性的證據、相異構想性的證據，教師要進行啟發、引導，讓學生自識其陋、自識其錯。如在上述教學中，當筆者發現了學生猜想所依據的證據是一種錯誤證據時，及時給學生提供了方格紙，讓學生對證據進行自我審視、自我否定。學生直觀地看到，在長方形推拉成平行四邊形的過程中，面積發生了變化，因而從推拉視角提出的證據是錯誤的。而提出另一個猜想的依據是平行四邊形可以剪拼成長方形，在這個過程中，面積沒有發生變化，因而這一猜想依據是成立的，是一個真正的證據。由此，學生對平行四邊形轉化成長方形，就能主動地舍棄推拉法，轉而采用剪拼法推導平行四邊形的面積。對證據的反思、批判，使學生的學習歷程、思維進階等留下了更深的痕跡。

證據是學生證據推理的基石。基于證據的數學推理教學，能促進學生的數學深度學習。在數學教學中，教師要引導學生努力搜集證據、應用證據、分享證據、反思證據。證據能提升學生數學學習的“卷入度”，能提升學生數學學習的“能見度”，能提升學生數學學習的“可信度”，能提升學生數學學習的“沉淀度”。通過證據，能不斷地提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養。

參考文獻

[1] 楊明全，吳娟.論基于證據的學習的內涵與意義[J].教育科學研究，2017（11）.

[2] 仲廣群.教學新密碼：小學數學“助學課堂”范式[M].南京：南京師范大學出版社，2014.

[3] 王飛.小學數學課堂教學中學情證據的收集與利用[J].小學數學教育，2019（24）.

[4] 湯嵐.基于證據的教學如何成為現實[J].人民教育，2019（23）.

[5] 呂建林.“學歷案”評價任務的設計與實施[J].江蘇教育，2017（03）.

[責任編輯：陳國慶]