高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合途徑分析

劉素華

【摘要】本文簡單概述了數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，并且從不等式、圓的問題兩個方面分析了數(shù)形結(jié)合思想在幾何解題中的應(yīng)用，也分析了其與輔助線在題目中的結(jié)合應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);幾何解題;數(shù)形結(jié)合

引?言

數(shù)形結(jié)合是非常關(guān)鍵的解題思路，尤其在幾何題目的解答中有良好的應(yīng)用效果，對于復(fù)雜的幾何題目，有時需要借助輔助線來明晰圖像的已知條件，發(fā)現(xiàn)解題的突破口，達到快速解題的效果.

一、數(shù)形結(jié)合思想

這是分析數(shù)學(xué)題目的常見思路，數(shù)形作為最基本的數(shù)學(xué)要素，在解題中結(jié)合應(yīng)用，能夠?qū)崿F(xiàn)最佳的解題效果.這是因為數(shù)形間具有緊密的關(guān)聯(lián)，能夠相互轉(zhuǎn)化和補充，共同支持數(shù)學(xué)題目的解答過程.尤其是對于幾何類的題目，我們借助于數(shù)形兩種要素的對應(yīng)關(guān)系，就可以將復(fù)雜難解的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象的幾何圖像，通過分析圖像中各數(shù)學(xué)要素間的空間關(guān)系來達到簡化題目的目的，進而實現(xiàn)高效的解題過程.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的用途

數(shù)形結(jié)合思想在高中階段的教學(xué)中有著非常廣泛的用途.從宏觀上來講，數(shù)形結(jié)合的思想方法是作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)的主線存在的，具體來說，數(shù)形結(jié)合思想的主要應(yīng)用領(lǐng)域包括了以下幾個方面.

（一）集合問題的解決

集合部分的知識在高中數(shù)學(xué)的知識體系中屬于基礎(chǔ)層面的內(nèi)容，也是函數(shù)部分知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在集合的運算環(huán)節(jié)，可借助的內(nèi)容包括數(shù)軸、圖像.無論是需要經(jīng)過繪制發(fā)揮作用的數(shù)軸還是直觀的圖像形式，都可以非常直觀地將集合之間的關(guān)系進行清晰的顯示，簡化語言文字描述中所包含的復(fù)雜信息內(nèi)容，從而提升運算過程的簡潔性和有效性.

（二）函數(shù)問題的解決

在解決函數(shù)問題的過程中，數(shù)形結(jié)合思想的運用主要體現(xiàn)在函數(shù)圖像與函數(shù)數(shù)量關(guān)系方面.函數(shù)性質(zhì)的體現(xiàn)通常都是以函數(shù)圖像作為支撐的.幾何圖形的呈現(xiàn)形式往往反映著非常鮮明的數(shù)量關(guān)系.這也是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得最為顯著的一部分內(nèi)容.除了常規(guī)的函數(shù)知識，三角函數(shù)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)中也包含了數(shù)形結(jié)合的思想，不同的三角函數(shù)關(guān)系可以通過圖形直接進行觀察，這在函數(shù)關(guān)系的判定方面有非常重要的作用.

（三）絕對值問題

絕對值問題的解決中，最好繪制數(shù)軸，并且利用絕對值的基本性質(zhì)方面的理論知識在圖像中找到一個宏觀上的取值范圍，最終解答出絕對值的具體范圍.在解答絕對值問題的過程中，數(shù)軸的繪制是通過繪圖的方式將抽象的求值問題簡單化的過程，是數(shù)形結(jié)合思想實際應(yīng)用中提高解題效率和準確性的一個典型體現(xiàn).

三、數(shù)形結(jié)合的解題思路

該方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，主要體現(xiàn)在集合問題、三角函數(shù)以及幾何題目的解決中.就幾何解題而言，先是仔細地審題，清晰幾何題目所描述的位置或者數(shù)量關(guān)系，這是實現(xiàn)數(shù)形兩個要素相互結(jié)合與對應(yīng)的前提，借此確定問題的突破口，然后進行解題.如果學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解較為深入，可以自由地實現(xiàn)知識遷移，就會達到舉一反三的思維狀態(tài)，快速解決任何幾何題目.

四、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則

雖然從上文的分析中可知大部分的數(shù)學(xué)問題解決在不同的階段和對應(yīng)的內(nèi)容中都會涉及數(shù)形結(jié)合的思想，但在實際應(yīng)用中，這種思想的應(yīng)用要想取得預(yù)期的應(yīng)用效果需要把握住以下幾方面基本原則.

（一）找準知識內(nèi)容

在實際應(yīng)用中要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容判斷其是否適合于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.只有具備匹配性的知識內(nèi)容，才能取得更好的實際應(yīng)用效果.

（二）注重教學(xué)組織

這一點主要強調(diào)教學(xué)組織的科學(xué)性.為了提高學(xué)生的實際教學(xué)體驗，在展示圖像的過程中，教師可酌情選用多媒體工具或先進的計算機系統(tǒng)軟件對傳統(tǒng)的、具有固定性和抽象性的圖像內(nèi)容進行靈活化和生動化的處理，從學(xué)生參與學(xué)習(xí)的主觀感受維度實現(xiàn)優(yōu)化和完善.

五、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）不等式問題的解決

不等式是非常重要的數(shù)學(xué)知識，復(fù)雜的不等式問題，就必須要借助圖像思維來解決，在數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)下實現(xiàn)不等式的轉(zhuǎn)化，最終實現(xiàn)求解過程.

圖1針對該題目，我們就需要先根據(jù)題目作出實際的可行域，如圖1所示.

在解決該題目時，關(guān)鍵是要按照題目所提供的數(shù)學(xué)要素將可行域作出來，將復(fù)雜的不等式問題進行轉(zhuǎn)換，變成簡單的距離問題，然后再借助數(shù)形結(jié)合的思路來推理題目的答案.

（二）圓類問題的解決

圓類問題是數(shù)形結(jié)合思路的主要應(yīng)用形式，這是由于圓類的問題基本都涉及很多位置關(guān)系.例如為了明晰直線和圓的關(guān)系，往往會構(gòu)建相應(yīng)的坐標系，這時就能清晰地看到兩者間的位置關(guān)系，但是這類題目也會涉及解題，這就需要學(xué)生明確解題的思路和步驟，也就需要發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，達到以數(shù)變形的目的.

針對該題目，利用數(shù)形結(jié)合的方法，也就是根據(jù)題目的要求做出相關(guān)的圖形，如圖2所示.

在該問題的解決中，最關(guān)鍵的思路就是數(shù)形結(jié)合思想，我們在詳細分析題目條件的前提下，結(jié)合圓與直線的相關(guān)知識，最終確定出邊界位置，這樣就能高效地判斷出實際的取值范圍.

（三）與輔助線結(jié)合應(yīng)用

這是數(shù)形結(jié)合思路的基本運用形式，很多幾何題目的空間感較為復(fù)雜，如果單純依賴于空間想象力就很難快速解題，所以就需要發(fā)揮輔助線的價值.尤其是對于條件較少的題目，學(xué)生無法立刻發(fā)掘出題目中的各項信息，就可以利用輔助線來凸顯圖像的特征，為解題提供思路和突破口.

圖3例如：在如圖3所示的圖形中，CB與CA相等，DA與DB相等，而AB邊的中點是E，請證明過點E，D，C的平面與BA間的垂直關(guān)系.

針對該問題，由于題目中提供的條件較少，而且圖像的空間關(guān)系較為復(fù)雜，因此學(xué)生在閱讀題目時會無所適從，很難依靠想象來解題.但是利用輔助線就能快速地解題，也就是連接ED，EC，這時學(xué)生就能清晰地看到平面EDC，再借助等腰三角形的知識就能夠推導(dǎo)出相關(guān)的結(jié)論，也就是CE與DE這兩條線與BA間具有明顯的垂直關(guān)系，也就可以繼續(xù)推導(dǎo)出題目中的結(jié)論.

經(jīng)由該題目可知，雖然很多幾何圖像所呈現(xiàn)的解題信息非常有限，比較容易形成學(xué)生的思維障礙，但是在輔助線的支持下，能夠讓圖像的已知條件清晰起來，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)化，消除了學(xué)生潛在的思維混亂，然后再配合一定的數(shù)學(xué)理論就可以達到快速解題的目的.

（四）取值范圍問題中的應(yīng)用

這類問題主要集中在曲線方程中的取值范圍問題的解決上.對曲線方程來說，數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵在于題目的條件中會設(shè)置曲線與直線交點位置的實際情況，以此為基礎(chǔ)提出相關(guān)數(shù)據(jù)取值范圍的要求.在求取值范圍的過程中，學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識的理解能力也會得到相應(yīng)的提升.

（五）函數(shù)幾何性質(zhì)判斷中的應(yīng)用

到了高中階段，函數(shù)知識的難度提升主要體現(xiàn)在函數(shù)與幾何問題的結(jié)合.這也為數(shù)形結(jié)合思想的融合應(yīng)用提出了一定的要求.尤其是在判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時，數(shù)形結(jié)合思想的運用能夠得到最為典型的體現(xiàn).下面通過具體的例題分析函數(shù)幾何性質(zhì)判斷中數(shù)形結(jié)合思想的滲透應(yīng)用方法.

六、結(jié)束語

幾何問題是高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容，涉及的知識點較為復(fù)雜，學(xué)生必須借助于科學(xué)的思路和策略才能快速地解題，而數(shù)形作為非常重要的數(shù)學(xué)元素，相互之間可以轉(zhuǎn)化和補充，所以復(fù)雜的幾何題目就可以借用數(shù)形結(jié)合來解，實現(xiàn)數(shù)形間的轉(zhuǎn)化，保障解題的效率.

【參考文獻】

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