設計有效路徑，糾正學生的元認知誤區
——以“平行四邊形的面積”教學為例

江蘇宿遷市洋河實驗小學（223800）

在教學“平行四邊形的面積”時，很多學生會產生“平行四邊形的面積就是底邊乘斜邊”這樣的元認知，讓很多教師頭疼不已。那么，如何在數學教學中設計有效路徑糾正學生的元認知誤區呢？筆者現根據教學實踐談談幾點體會和思考。

一、元認知誤區成因分析

1.幾何視覺上的錯誤判斷。眾所周知，長方形是特殊的平行四邊形，學生在觀察長方形和平行四邊形時，會因為它們差距比較小，而直接認同它們面積計算的相似性，有的學生甚至認為這兩種圖形的面積計算方法一樣，這說明學生僅憑借視覺就確定了平行四邊形的面積計算方法，從而導致了錯誤元認知的產生。

2.上位知識學習的影響。在學習平行四邊形的面積之前，學生學過關于面積測量的內容，但是大多還停留在長度和距離的一維測量方法上，無法建立二維層面上的測量概念。另外，學生學習了長方形的面積，并對長方形的面積很熟悉和了解，所以就容易把平行四邊形的面積計算方法簡單認定為底邊乘斜邊。

3.幾何推理能力的缺乏。由于沒有一定的操作經驗，大部分學生只能憑借直覺和想象來感知模型圖像，而缺乏幾何推理能力。因此在推導平行四邊形的面積計算公式時，容易產生“平行四邊形的面積計算公式為底邊乘以斜邊”的錯誤元認知。為此，教師需要加強學生在課堂上的操作體驗。

4.圖形變換經驗的缺乏。學生在推導圖形面積計算公式的過程中，已經掌握了轉化的思想，但是由于在轉化的過程中，缺乏圖形變換的經驗，缺少對圖形整體拼組面積不變的認識，從而產生了“平行四邊形面積等于底邊乘斜邊”的錯誤元認知。

二、設計有效路徑，糾正學生的元認知誤區

圖1

1.借助不規則圖形，引入轉化思想。筆者出示不規則圖形（如圖1），讓學生觀察比較，并思考：兩個圖形中哪個面積更大？學生立即展開思考，有的認為兩個圖形的面積一樣大，因為它們的面積都占了12個格子。學生由此認識到一個圖形包含幾個單位面積，那么面積就是多少。還有學生提出將圖①中凸出來的部分移到下面處，正好補成和圖②一模一樣的長方形，由此可得出這兩個圖形的面積相等。筆者借助多媒體為學生直觀呈現這個平移過程，將不規則圖形轉化為規則的長方形圖形（如圖2），并讓學生思考：什么變了，什么沒有變？學生經過觀察和思考，發現這兩個圖形的形狀和周長發生了改變，但面積沒有變。

圖2

【評析：通過借助格子圖將不規則圖形轉化為規則圖形，學生認識到面積的本質屬性（即單位面積的累加）；通過分割移補的直觀平移過程，學生領悟到面積轉化當中“形狀變而面積不變”的原理。】

2.借助方格圖，探索圖形運動的規律。在小學數學教學中，借助想象是難以讓學生獲得相應的圖形運動規律的，因此，筆者借助格子圖引導學生進行操作實驗，幫助學生探索圖形面積的本質。筆者給學生出示平行四邊形（如圖3），然后提問：“如何計算這個平行四邊形的面積？學生通過數平行四邊形所占的方格數來計算面積，但是他們的意見有分歧，有的學生認為平行四邊形所占的方格數是36個，而有的學生則認為是35個。到底哪個才是正確的呢？筆者先引導學生動手拼一拼，再根據學生的動手操作情況，借助幾何畫板直觀呈現整個移動拼接的過程。圖4為學生移動拼接的三種方法。

圖3

圖4

【評析：上述操作中，學生借助方格圖探索平行四邊形的面積，通過圖形運動的直觀操作和規律探索，學生又慢慢脫離了方格的限制，明白了平行四邊形的面積和斜邊沒有關系。】

3.強化辯證，發展幾何推理能力。發展學生幾何推理能力是數學課堂教學的核心所在，而要發展學生的幾何推理能力，就要讓學生經歷操作、想象和思考的過程。為此，筆者給學生設置了從特殊到一般、從具體到抽象的幾何推理過程。

筆者給學生出示一個底邊為7厘米，高為3厘米，斜邊為5厘米的平行四邊形學具，讓學生小組合作探究，看看怎么樣求出平行四邊形的面積。學生分小組展開探究，通過動手剪拼，發現平行四邊形的面積和高、底、長方形有關，進而得出結論：求平行四邊形的面積其實就是求平行四邊形轉化后得到的長方形的面積，長方形的寬相當于平行四邊形的高，長方形的長相當于平行四邊形的底。學生由此推理得出平行四邊形的面積等于底乘高（如圖5）。

圖5

【評析：通過以上環節，學生不但能夠借助對比進行辯證，而且通過平行四邊形面積公式的推理，發展了幾何推理能力。】

4.借助練習尋找反例，從變化的角度探究問題。學生建立了正確的認知之后，就需要教師設計反饋的練習，這些練習既可以是正向強化，也可以是反例強化。通過兩個方面的強化反饋，讓學生有效把握正確的數學認知。

筆者在教學中設計了如下練習：（1）想一想，這些平行四邊形（如圖6）的面積相等嗎？為什么？

圖6

（2）拉伸可活動的平行四邊形（如圖7），想一想，它的什么發生了變化？什么沒有變？為什么？

圖7

【評析：通過拉伸可活動的平行四邊形這個活動，學生認識到等底等高的平行四邊形面積相等，由此確認平行四邊形的面積和斜邊沒有關系，而且面積相等的平行四邊形，形狀也有可能不同。】

總之，在小學數學教學中，學生產生元認知誤區是由知識結構、思維能力和自身的活動經驗所造成的，教師要分析學生形成元認知誤區的原因，針對這些原因設計有針對性的教學路徑幫助學生糾正錯誤的元認知，從而豐富學生的數學活動經驗，提高學生的幾何推理能力。