在反思和追根中提升解題教學效益
——以一道向量題為例

林 松

(江蘇省儀征市第三中學 211400)

數學習題“題海無邊”，如果解題和解題教學就題論題，則永遠做不完、講不盡．解題和解題教學只有“回頭是岸”，加強解題后的回顧反思和追根求源，才能跳離題海、事半功倍，提升解題和解題教學的效益．這里的反思和追根是對解題思路、問題本質進行反思和求源．通過反思與追根利于學生數學核心素養的培養和落實．下面以一道向量題為例進行一番反思和追根．

1 習題的呈現

圖1

此題是一道平面向量數量積運算問題，是平面向量的核心內容．此題蘊含豐富的數學思想和方法，如轉化思想、數形結合、特殊化等，是落實數學核心素養難得的知識載體．在教學中應讓學生充分展示解題思路，引導學生對解題的思路進行反思，對問題的數學本質進行挖掘，探索數學問題的根源，激發學生的學習興趣，提升學生的數學素養．

2 學生思路展示及反思

2.1基底法思路及反思

(1)思路

教學中，學生認為基底法是解決向量問題的常用方法，展示了如下解法：

(解法一)如圖2，

①

②

圖2

因為點M、N分別是邊AD、BC的中點，所以

所以由①+②可得，

(2)反思

2.2坐標法思路及反思

(1)思路

圖3

(解法二)以N為原點，BC所在直線為x軸建立如圖3所示的直角坐標系．

設B(-x0,0)，C(x0,0)，A(x1,y1)，D(x2,y2)，

又因為AB=DC，

(2)反思

教學中應引導學生反思以下問題：①坐標法解決向量問題的本質是什么？②解題過程中是如何實現簡化運算的？通過引導學生反思，理解用坐標法處理向量問題也是一種常見思路，其本質上就是幾何問題代數化．應注意引導學生對條件和目標進行差異分析，確定計算方向，簡化運算，培養學生的數學運算素養．

2.3 直觀猜想法思路及反思

(1)思路

圖4

證明：如圖4，取AC的中點K，連接MK、NK．

因為M、K分別為AD、AC中點，

所以MK

所以∠CQN=∠KMN．

同理KN

所以∠KNM=∠BPN．

又因為AB=CD，所以KN=KM，

所以∠KMN=∠KNM，所以∠CQN=∠BPN．

(2)反思

平面幾何知識具有“形”的直觀，與高中數學中的平面向量具有相同的本質．在解決一些關于平面向量問題的試題時，可以結合平面圖形的性質，利用平面幾何的知識去解決，可以另辟蹊徑，換一個思路解決問題，落實了學生直觀想象和邏輯推理素養．

通過反思，學生可以利用“∠CQN=∠BPN”，結合向量數量積定義可得到原題如下創新解法：

(解法三)如圖4，設∠BPN=α，∠CQN=β，則α=β．

圖5

(解法四)如圖5，還可以利用幾何方法得到如下解法：

作BR，使BRDC，作∠PBR的角平分線BT交PN于T，可得∠CBR=∠C，∠PBT=∠RBT．在△BPT和△BNT中，因為

∠BTP=180°-(∠PBT+∠BPT),

∠BTN=180°-(∠NBT+∠BNT)

=180°-(∠NBT+∠C+∠CQN)

=180°-(∠NBT+∠CBR+∠CQN),

所以∠BTP=∠BTN.

又∠BTP+∠BTN=180°,

所以∠BTP=∠BTN=90°.

因為∠BTP=∠BTN=90°,

2.4 特殊化法思路及反思

(1)思路

圖6

(2)反思

錯誤的思路有時也有可以汲取營養的地方，有時也有反思討論的價值．上述特殊化法雖然不合題意，但如此特殊化得出正確的答案是偶然的還是必然的呢？是否具有合理性呢？現在已經證得“∠BPN=∠CQN”，那么上述特殊化也是合理的，極致特殊化的圖形其實就是后文實驗操作的起始圖形，亦可以看作是極限位置，得到正確答案是必然的．

3 數學實驗與追根

教學中，由“∠BPN=∠CQN”的發現，可以追溯本題題圖的來源．引導學生開展以下實驗操作得到．

①如圖7，取兩個相等的角∠UPV，∠XQY的紙片，讓∠UPV的頂點P與∠XQY的頂點Q重合，∠UPV的邊PV和∠XQY的邊QX重合；

圖7

圖8

圖9

②如圖8，在PU，PY上分別取A、B，D、C，使得PA=PD，AB=DC，連接AD，BC分別交PX于M、N．再沿著邊PV向下移動∠XQY，在PU與QY上分別截取PA=QD，PB=QC，連接AD交PV于M，連接BC交PV于N，此時就得到圖9的一般情況．

由上面的操作可以知道：只要∠BPN=∠CQN，PA=QD，AB=DC，就應有M、N是AD、BC的中點．反之，AB=DC，M、N是AD、BC的中點，一定有∠BPN=∠CQN，PA=QD．

4 教后的思考

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“向量是描述直線、曲線、平面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用．”[1]可見，向量的學習對高中生數學素養發展的意義重大．教學中，應引導學生理解在高中數學中解決向量問題的主要方法基底法和坐標法，基底法和坐標法的共同本質在于把圖形關系轉化成代數關系，利用代數運算去解決問題，實現數與形的轉化．其實，坐標法是基底法的特殊化，就是單位正交基底法，而用坐標來處理之后的幾何問題在求解過程中，特別是在求某個點的坐標時，大多情況下會更加方便自然，可操作性強．平面幾何的方法在解決一些關于平面向量問題時，可以另辟蹊徑，也能很方便解決地解決問題，甚至有意想不到的收獲．當然，平面幾何的方法對解決向量問題時更多地是起到輔助的作用，絕不能喧賓奪主，過分強調其作用．