關于含絕對值函數的雙重最值問題的研究

童益民

(寧波效實中學 315012)

含絕對值的函數是高考中的一個考點，含絕對值函數的最大值問題是近年高考的熱點，而含絕對值函數的最大值的最小值問題更是高考中的一個難點，如2015年浙江高考理科第18題，2016年天津高考理科第20題.本文通過對含絕對值的二次、三次函數的思考研究，得到一般的幾個結論，以供讀者參考.

思考1已知函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的定義域為[α,β]，記|f(x)|的最大值為M，研究當f(x)滿足什么條件時，M取到最小值？

分析：因為

接下來進行類比.

思考2已知函數f(x)=x3+bx+c(b,c∈R)的定義域為[α,β](α<0<β)，其中α+β=0，記|f(x)|的最大值為M，研究當f(x)滿足什么條件時，M取到最小值？

分析：(1)當b≥0時，f(x)在[α,β]上單調遞增，顯然當-f(α)=f(β)，即c=0 時，|f(x)|的最大值M取到最小值β3+bβ.

(2)當b<0時，

①若c=0，

f(β)=β3+bβ，

畫出關于t的函數g(t)=2t3，h(t)=|β3-3βt2|的圖像，如圖1，

圖1

當t=t0時，|f(x)|的最大值M的最小值為

②若c>0，

f(β)=β3+bβ+c，

畫出關于t的函數g(t)=2t3+c，h(t)=|β3-3βt2+c|的圖像，如圖2，

圖2

當t=t0時，|f(x)|的最大值M的最小值為

③若c<0，

f(α)=α3+bα+c，

|f(α)|=|α3-3αt2+c|=|β3-3βt2-c|，

畫出關于t的函數g(t)=2t3-c，h(t)=|β3-3βt2-c|的圖像，如圖3，

圖3

當t=t0時，|f(x)|的最大值M的最小值為

舍去.由①②③得，

|f(x)|的最大值M取到最小值β3+bβ.

綜上(1)(2)得，

再進一步推廣.

思考3已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的定義域為[α,β]，記|f(x)|的最大值為M，研究當f(x)滿足什么條件時，M取到最小值？

f(x)=x3+ax2+bx+c

根據結論2，可得，

|u(t)|的最大值M取到最小值，

|f(x)| 的最大值M取到最小值.

函數記為f0(x)=x3+a0x2+b0x+c0，

|f(x)|的最大值M取到最小值M0.

任取a=a1≠a0，b=b1，c=c1，

令f1(x)=x3+a1x2+b1x+c1，

則f1(x)=x3+a0x2+b0x+c0+(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)

=f0(x)+(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)，

圖4

令g(x)=(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)，

所以f1(x)=f0(x)+g(x)，

因為函數f0(x)的圖像如圖4，

要使得函數|f1(x)|的最大值小于等于M0，

因為二次函數g(x)的二次項系數a1-a0≠0，顯然是不成立的，

所以函數|f1(x)|的最大值大于M0，

|f(x)|的最大值M的最小值都大于M0.

綜上(1)(2)得，

|f(x)|的最大值M取到最小值.

對于以上得到的三個結論，可以幫助我們在解此類題目時有一個整體的認識，可以靈活應用，同時也為用絕對值不等式解此類題時，取什么特殊值提供了方向，就是考慮區間的端點和極值點. 以下兩題僅供參考.

題1已知函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的定義域為[0,2]，記|f(x)|的最大值為M，求M的最小值.

解析：當f(0)=f(2)時，f(x)的極值點為x=1，可考慮取x=0,2,1.

所以4M≥|f(0)|+|f(2)|+2|f(1)|

≥|f(0)+f(2)-2f(1)|

=|c+4+2b+c-2-2b-2c|=2，

題2設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R.其中a,b∈R.

解析：設x-1=t∈[-1,1]，

則h(t)=t3-at-a-b，根據結論2，

|h(t)|的最大值取到最小值.

由-h(-1)=h(1)，得-a-b=0，