用幾何眼光觀察問題 有效提升運算素養(yǎng)

劉國祥

(江蘇省宜興中學 214200)

1 問題的提出

答題分析本題為2017年江蘇高考第13題，滿分5分，全省平均得分為1．3分，而錯誤答案中比率最高的答案為[-5，1]．

運算水平分析：2017版普通高中數(shù)學課程標準關于運算素養(yǎng)的水平劃分為三個層次：(1)能夠在熟悉的情境中了解運算對象，提出運算問題，并用運算結果說明問題；(2)能夠在關聯(lián)的情境中了解運算對象，提出運算問題，并能夠借助運算探討問題；(3)能夠在綜合情境中把問題轉(zhuǎn)化為運算問題，明確運算方向，構建運算程序，能夠用程序思想理解和解釋問題．以上三個水平層次分別對應于對運算素養(yǎng)的三個要求：熟悉運算，轉(zhuǎn)化運算，創(chuàng)新運算．本題經(jīng)歷兩個過程，第一步過程是幾何問題代數(shù)化，是將題中幾何條件直譯成代數(shù)關系，是熟練運算，是屬于劃分水平一層次，對學生來說不成障礙；第二步過程是從代數(shù)關系中抽象出幾何問題和幾何圖形，利用圓與圓的位置關系結合圖形特征來正確求解，需要對運算轉(zhuǎn)化與創(chuàng)新，是屬于水平二與水平三層次．從學生錯誤解答來看，問題主要出在第二步上，停留在代數(shù)層面運算，沒有對問題進行轉(zhuǎn)化，根源在于學生缺少 “用幾何的眼光觀察問題”的過程．

2 問題的探討

解析幾何的核心思想是用代數(shù)方法解決幾何問題，解題程序為：抽象研究對象(幾何問題或幾何圖形)→幾何對象的代數(shù)表達(坐標法)→代數(shù)運算→代數(shù)結果的幾何解釋．

章建躍博士在“解析幾何的思維方式與核心素養(yǎng)”一文中指出：“用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及有關幾何關系，再用代數(shù)的語言來表達，而且在代數(shù)運算中時刻注意利用它們來簡化運算，這就是解析幾何運算的特點，是幾何背景下的代數(shù)運算，是解析幾何的思維方式”[1]．當下解析幾何的運算已經(jīng)成為學生學習的難點，其根源在于學生缺少“用幾何的眼光觀察問題”的意識和能力，從幾何角度對面臨問題分析不充分，對幾何圖形的要素及其基本關系理解不到位，把坐標法異化為純粹代數(shù)運算，造成運算過程復雜化．如何突破解析幾何運算的難點，實現(xiàn)運算素養(yǎng)由水平一向水平二、三的轉(zhuǎn)化？筆者的體會是：要善于用幾何的眼光觀察問題，努力提高幾何圖形的分析能力，在落實數(shù)形結合上下功夫．

2．1 用幾何的眼光統(tǒng)整題目條件，優(yōu)化運算路徑

評析思路一對條件中信息不作任何轉(zhuǎn)化直接翻譯，解法繁瑣，運算量大，解題方法平淡，屬于運算水平一，是大部分考生首選方法，導致本題得分較低；思路二，從幾何的視角對條件中的信息進行發(fā)散、整合，深入挖掘，得到更多信息，其中程序一統(tǒng)整到△AOB中，轉(zhuǎn)化為解三角形問題；程序二的關鍵是發(fā)現(xiàn)：△BOD是一個定三角形，使問題的求解簡單自然．思路二是屬于在綜合情境中用數(shù)學的眼光將條件統(tǒng)整到一個三角形中顯化問題的本質(zhì)，是屬于轉(zhuǎn)化運算、創(chuàng)新運算．

教學啟示首先在解題教學中要強化數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化，數(shù)學問題的呈現(xiàn)多采用文字語言和符號語言，在審題時善于將抽象的符號語言轉(zhuǎn)化成文字語言，再轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言；其次將條件整合到圖形中，有利于發(fā)現(xiàn)各幾何要素之間關系，把握問題的本質(zhì)；最后對圖形進行綜合分析用用代數(shù)的方法來解決幾何問題．

2．2 用幾何的眼光觀察代數(shù)結構，探究運算方向

教學啟示用幾何的眼光觀察代數(shù)式結構，首先在教學中要重視定義、公式、概念的多元表征，善于從代數(shù)和幾何視角來表征，例如代數(shù)式x2+y2，從代數(shù)角度來說是實數(shù)x，y的平方和，從幾何視角表示OP2(其中P(x，y))；其次，在解題教學中學會聯(lián)想，由代數(shù)結構會聯(lián)想到幾何形態(tài)；最后依據(jù)條件與結論構建合適圖形創(chuàng)造性解決問題．

2．3 用幾何的眼光審視動點規(guī)律，簡化運算程序

運算程序一：以m為變量，將點B的橫坐標表示為m的目標函數(shù)．

運算程序二：把直線AB變化源于直線斜率k視角來看，可以把點B的橫坐標用直線斜率k來表示．

思路三：可以看作當點A在橢圓上運動時，求點B的軌跡方程．

點評用幾何的眼光觀察問題，從向量視角來看容易生成運算程序一；從直線是過定點的直線，變化根源是傾斜角，容易生成運算程序二和三；當把A看作主動點，由此引發(fā)點B變化，容易生成運算程序四，從不同視角看動點會生成不同精彩的解法，將這些眾多的解法進行比較分析，可以發(fā)現(xiàn)不同解法的優(yōu)劣，從而可以得出減少運算量的解題程序，實現(xiàn)簡化運算、提升速度的目標．

教學啟示動態(tài)問題是解析幾何中常見問題，解決動態(tài)問題關鍵是分析動點變化規(guī)律，如上案例中從不同視角去研究變動原因產(chǎn)生了不同的解法．要找到動點變化的規(guī)律需要用幾何的眼光來審視條件，回規(guī)問題本質(zhì)．如2015年江蘇高考第10題：在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0 相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________．問題關鍵就是從幾何視角來看是過定點(2，-1)的動直線，從幾何上找到解決問題思路．

2．4 用幾何的眼光發(fā)現(xiàn)幾何特征，選擇運算方法

本題關鍵是依據(jù)圖形特點，合理選擇面積表達．讓學生思考3分鐘，談一談如何表征面積．

思路三：因為△OBC的底邊OB為定值，選擇OB為底，C到OB距離為高建立面積表達式．

評析上述四種中哪種方案運算更合理呢？因為△OBC中O，C是定點，面積表征，顯然是思路三和思路四更合理一些．

教學啟示解析幾何的本質(zhì)是幾何，圖形是幾何的直觀表現(xiàn)形式，是問題的出發(fā)點和歸宿點，而代數(shù)方法僅僅是工具，審視圖形的整體結構，看穿圖形的本質(zhì)特征，就能化繁為簡．

3 結語

高中數(shù)學教學活動要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，創(chuàng)設有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的情境，引導學生把握數(shù)學知識的本質(zhì)．就解析幾何的教學而言，由于其學科本質(zhì)是運用代數(shù)方法解決幾何問題，能靈活地進行數(shù)與形的有機結合與相互轉(zhuǎn)化，通過運用不同的視角探索解題的途徑、優(yōu)化運算的過程來提升和發(fā)展學生的運算素養(yǎng)是我們在教學中需要著力解決的問題．2017版高中數(shù)學課程標準對解析幾何的“學業(yè)要求”是：依據(jù)問題情境分析幾何問題和圖形特點；依據(jù)幾何問題和圖形特點，探索解決問題思路；依據(jù)幾何問題特點將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；運用代數(shù)方法推演結果并給出合理地幾何解釋．在解析幾何教學中始終堅守學科大概念：用幾何的眼光觀察問題，借助幾何圖形的特點，形成解決問題思路，通過直觀想象和代數(shù)運算得到結果，給出幾何解釋，解決問題，在這個過程中提高學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的關鍵能力，提升學生的運算素養(yǎng)，將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處．