數學問題解答

2019年10月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2506在k邊形A1A2…AK(k≥3)中，a1,a2,…,ak為其各邊長，s為周長，n∈N+且n≥2，0<λ≤1，求證：

(安徽省岳西中學 儲百六 246600)

證明先證一不等式：當x∈[0,1]時，

(1)

所以f′(x)在[0,1]上為增函數，

所以存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，于是

當0

當x0>1時，f′(x)>0，

所以f(x)在[0,x0]上為減函數，在[x0,1]上為增函數；

所以，當x∈[0,1]時，f(x)≤max{f(0),f(1)}=0，故(1)式成立

再將這k個式子相加可得

2507如圖，已知四邊形ABCD，E、F、I、J分別是四邊的中點，分別連接AJ、IB、DJ、IC交G、H，IJ、EF交O，求證：GH∥EF.

(江西師范高等專科學校 王建榮 335000)

證明如圖，設AJ、DJ、IB、IC分別交EF于M、N、K、L，連AO、BO、IM、IN，由梅氏定理,

△IKO、△ILO分別被直線GMJ、HNJ所截,

如果

2508在銳角△ABC中，有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

證明首先證明兩個必要的不等式

(2)

(3)

即有

(4)

同理有

(5)

(6)

(4)+(5)+(6)整理即得(2)式成立.下面再證(3)式成立.

利用熟知的三角恒等式

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,

我們可得

?(cosA+cosB+cosC)tanAtanBtanC

≥3(sinA+sinB+sinC)

?(cosA+cosB+cosC)(tanA+tanB+tanC)

≥3(sinA+sinB+sinC)

記以上最后一式為不等式(7),即有(3)?(7).

由于不等式(7)的全對稱性,不妨設A≥B≥C,

則有sinA≥sinB≥sinC，

那么由切比雪夫不等式,立得

≥2(sinA+sinB+sinC)，

即不等式(7)成立,從而不等式(3)也成立.

最后證明不等式(1)成立.

(2)+2×(3)立得

兩邊開方即得不等式(1)成立.

2509如圖1：在△ABC中，∠BCA的平分線與△ABC的外接圓交于點R,∠BCX=∠ACY,邊BC的垂直平分線交CX于點P，邊CA的垂直平分線交CY于點Q，K是BC的中點，L是AC的中點，則△RPK和△RQL面積相等.

圖1

(安徽省旌德中學 趙忠華 242600)

證明如圖2，如果AC=BC,則△ABC是等腰三角形，則△RPK和△RQL關于角平分線CR是對稱的，結論明顯成立.

圖2

如果AC≠BC,不妨設AC

用O表示△ABC的外心，

注意到Rt△CLF∽Rt△CKE，

則∠CEK=∠CFL=∠OFE,

設l是弦CR的垂直平分線，則l過外心O,

由于△OEF是等腰三角形，

所以E,F是CR上關于l對稱兩點，

故RE=CF,RF=CE.(2)

又∠REK=∠RFL,所以S△REK=S△RFL.(3)

又∠REP=∠RFQ,所以S△REP=S△RFQ.(4)

由(3)-(4)可得S△RPK=S△RQL.

2510已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求證:

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

注意到，當a≥b≥c>1,時，有

于是，應用切比雪夫不等式，得

2019年11月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2511已知△ABC的角A,B,C的角平分線分別交邊BC、AC、AB的垂直平分線于D、E、F，求證：△ABC的周長≤△DEF的周長.

( 山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

2512已知正數a,b,c,d滿足abcd=1，求證：

(安徽省岳西縣湯池中學 楊續亮 蘇岳祥 246620)

圖1

2513如圖1，分別以△ABC邊AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABDE和矩形ACFG，CD交BF于點P.若AB=kAE，AC=kAG，直線AP分別交BC、EG于點M、N.求證：

(1)MN⊥BC.(2)點N是EG的中點.

(四川省巴中市巴州區大和初中 李發勇 636031)

(四川省成都華西中學 彭艷玲 張云華 610051)