基于總結性測評的初中統計教學之思考①

李 霞

(閩江師范高等專科學校350001)

統計[1]是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，為人們制訂決策方案提供依據.而概率是研究隨機現象規律的學科，為人們認識世界提供思維模式和解決方法.統計學家C.R.勞先生提到：“在終極的分析中，一切知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學都是數學；在理性的基礎上，所有的判斷都是統計學.”可見統計學的重要.無論是2011版的義務教育新課標，還是2017版高中新課標，概率統計的內容要求都在加強，但這個內容的教與學卻不容樂觀.我們發現一個怪現象：在中考測評中，學生不能準確地運用統計知識做好實際問題的決策判斷.部分初中老師、學生對概率統計知識的儲備還只是停留于一些統計量、統計圖的意義.

1 從兩道中考統計試題的作答情況談起

案例1(2017年福建省中考試題第23題)自2016年國慶后，許多高校均投放了使用手機就可隨取隨用的共享單車．某運營商為提高其經營的A品牌共享單車的市場占有率，準備對收費作如下調整：一天中，同一個人第一次使用的車費按0.5元收取，每增加一次，當次車費就比上次車費減少0.1元，第6次開始，當次用車免費.下表1為累計車費與使用次數：

表1 累計車費與使用次數

同時，就此收費方案隨機調查了某高校100名師生在一天中使用A品牌共享單車的意愿，得到表2數據：

表2 某高校累計車費與使用次數

(Ⅰ)寫出a，b值；

(Ⅱ)已知該校有5 000名師生，且A品牌共享單車投放該校一天的費用為5 800元.試估計：收費調整后，此運營商在該校投放A品牌共享單車能否獲利？說明理由.

命題者以“共享單車”為問題情境，在知識領域上考查數據收集、加權平均數、樣本估計總體等；能力立意上考查學生通過定量、定性分析統計中的數據，得出結果后對問題做出簡單的判斷和預測，考查學生用數據進行統計推斷的思維及統計對決策作用的意識.

試題解答：

(Ⅰ)a=1.2，b=1.4.

(Ⅱ)根據用車意愿調查結果，抽取的100名師生每人每天使用A品牌共享單車的平均車費為

所以估計該校5 000名師生一天使用A品牌共享單車的總車費為5 000×1.1=5 500(元).

因為5 500<5 800，故收費調整后，此運營商在該校投放A品牌共享單車不能獲利.

作答情況分析:下表3是某市學生解答該小題的成績分布情況，從分布表可以看出，第二小問滿分為6分，但學生得分為2.91分.難度值屬于中等難度，滿分、零分各占三分之一左右.

表3 某市學生小題成績分布情況

學生常見的典型錯誤，概括起來主要有以下幾種情形：

(1)把統計問題當成代數問題解決

錯解1：設獲得y元，運營x天，

=-300x，

因為-300<0，

所以無論多少天，都不能獲利.

(2)樣本估計總體的含義理解不透

錯解2：100名師生總花費為

0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15=110(元)，

所以5 800×2%=116(元).

因為116>110，

所以無法獲利.

(3)不理解決策的意義

錯解3：因為100名師生中有5名沒有使用共享單車，

案例2(2018年福建省中考A卷試題第22題)甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下：甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元；乙公司無基本工資，僅以攬件提成計算工資，若當日攬件數不超過40，每件提成4元；若當日攬件數超過40，超過部分每件多提成2元．下圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數和乙公司攬件員人均攬件數的條形統計圖；小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請利用所學的統計知識幫他選擇，并說明理由．

圖1

作答情況分析：試題明確要求利用所學的統計知識進行選擇，但近六分之一的考生的解答出現利用函數最值求解.

甲乙工資函數：

當0

①y甲=y乙，70+2x=4x得x=35，

②y甲>y乙，70+2x>4x得x<35，

③y甲35；

當x>40時，

①y甲=y乙，70+2x=6x-80 得x=37.5 ，

②y甲>y乙，70+2x>6x-80 得x<37.5，

③y甲37.5；

由題意知當x≥38時，乙公司工資高.

以上這些錯誤的出現并非偶然，據筆者所作的統計分析，歷年來的中考統計試題的作答，均存在著類似的情況.究其原因，這可能與中考統計試題的設置導向及教師的教學處理有關.一些地區的統計試題還是套模型，未能體現生活案例中統計的意義.教師在統計教學時存在以下問題：①把統計教學等同于數學解題教學(如出現分段函數)，從來沒有讓學生經歷較為完整的統計活動；②教學直擊考點，讓學生機械模仿；③中考不考的區域，放棄不教；④沒有指導學生領會統計的基本思想(只會用平均數、眾數、中位數三個數據代表套題).

2 初中統計究竟要教什么

首先，要教會學生選擇恰當的統計量對數據進行描述.統計研究數據的合理收集、整理與分析，為人們制訂決策提供依據.義務教育階段主要是學習描述統計，側重數據的含義和代表性.學生要學會基于數據及其產生背景，運用統計知識做好實際問題的決策.統計推斷的第一步，是選擇刻畫數據的適宜統計量.義務教育階段，主要學習刻畫數據的平均水平[2](大部分所處的位置).反映均值的概念有很多，如算術平均值、中位數、眾數.學生習慣選用算術平均值，算術平均值的特點是拉長補短，以大補小，但易受極端值的影響，在有些場合不能合理地反映平均水平，于是就要用到眾數與中位數這兩個統計量.眾數就是對各數據出現的頻數的考查，其大小與這組數據的部分數據相關，當這組數據中有不少數據重復出現時，往往用眾數刻畫.中位數指的是在一組數據的數值排序中處于中間的位置，在統計學分析中也常常扮演著“分水嶺”的角色.對這三個統計量的使用場合，可以用順口溜來進行總結：“分析數據用均值，比較接近選平均，相差較大看中位，頻數較多用眾數”.這三個統計量分別應用在不同場合來反映平均水平，理解這三個統計量，是選擇統計量的前提.

其次，要教會學生依據數據產生的背景，尋求合理的推斷方法對數據進行推斷.統計學與傳統的確定性數學是不一樣的.其區分主要有以下三個方面[3]：第一，立論基礎不同.確定性數學建立在概念與符號基礎上，統計學建立在數據基礎上.第二，推理方法不同.數學是演繹推理，證明基于公理與假設，結論是確定的；統計學是歸納推理，依據數據產生的背景選擇抽象與推斷方法，結論是或然的.第三，判斷原則不同.數學結論有嚴格的對錯之分，統計學允許人們根據自己的理解選擇不同的推斷方法，結論只能用好與壞來區分.然而學生先入為主的數學思維模式，會對統計學習帶來負遷移.因此統計教學要立足統計思維，教會學生區分數學與統計，了解統計的特征，初步掌握統計思維，培養數據分析觀念.學生需要學會依據數據產生的背景，尋求合理的推斷方法對數據進行推斷，能解釋統計結果，能根據統計結果做出預測，并會數學地表達，養成相應的元認知技能：分析中用到的統計數字是否具有代表性？所用的數據代表與結論之間具有相關性嗎？等等.

以下的案例3刻畫了統計學的典型特征.

案例3(2018年福州市初中畢業班質量檢測第23題)李先生從家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交車.他在乘坐這兩路車時，對所需的時間分別做了20次統計，并繪制如下統計圖(圖2)：

圖2

請根據以上信息，解答下列問題．

(Ⅰ)完成表4中(ⅰ)，(ⅱ)的數據：

表4 乘車時間統計量

(Ⅱ)李先生從家到公司，除乘車時間外，另需10分鐘(含等車，步行等).該公司規定每天8點上班，16點下班.

(ⅰ)某日李先生7點20分從家里出發，乘坐哪路車合適？并說明理由；

(ⅱ)公司出于人文關懷，允許每個員工每個月遲到兩次.若李先生每天同一時刻從家里出發，則每天最遲幾點出發合適？并說明理由.(每月的上班天數按22天計)

第一問考查刻畫平均水平的統計量——(加權)平均數及中位數——的計算.學生在該題的解答中，能夠體會統計的情境特征：數據是有背景的，是通過抽樣與調查獲得的.

第二問中的第一小問考查數據代表的選擇.關鍵信息是乘車時間不超過30分鐘.數據代表的選擇是中位數、頻數等.

第二問中的第二小問考查的是統計推斷.要解決的關鍵問題是：如何處理允許遲到2次；數據中20天的工作天數和實際22天的工作天數之間有什么關系，如何建立兩者的關系等.

3 初中統計究竟應該怎么教

3.1 以“案例”為載體，培養學生對數據的理解

統計是實踐性很強的內容，教師要發揮典型案例的作用，設計貼近生活、貼近學生實際的“問題情境”，為學生提供豐富的感性材料，讓學生經歷統計活動的過程，發展學生的數據分析觀念，深化對統計的理解.

如“從統計圖分析數據的集中趨勢”[4]一節部優課上，福建省霞浦縣第八中學的謝怡老師針對春節“壓歲錢”問題進行調查，獲得數據后對壓歲錢的使用情況作了相應數據分析.

案例4調查活動：八年級(3)班春節“壓歲錢”調查(表5)：

壓歲錢收入調查：一般春節，你的父母和長輩給你的“壓歲錢”一共有多少？

壓歲錢使用調查：你會將多少“壓歲錢”用在你的學習上？

表5 八年級(3)班春節“壓歲錢”調查

在對數據的收集中利用表格來整理，根據需要設計合適、規范的表格對七年級的學生來說在能力上有一定的要求.表格的樣式也很多樣，謝老師在教學中對調查表中數據的使用先作相關說明，并對表格為什么要設計成這樣加以解讀.讓學生在填表的同時學習設計表格，同時培養學生“將數據表格化”的意識.接著教師要求學生利用Excel表格處理這些數據.

八年級(3)班春節“壓歲錢”調查數據(如表6)：

表6 八年級(3)班春節“壓歲錢”調查數據

用Excel收集數據，是為了更好地使用這些數據.學生在Excel表格中輸入數據后，利用統計圖顯示功能，直接輸出了直觀的柱狀統計圖(如圖3).接著學生利用Excel表格的計算功能計算平均數.Excel表格處理數據的速度比計算器快，能直觀顯示求和效果，是分析數據的有效工具.教師可以現場改變權重，學生借助Excel表格的計算功能體會權重變化后平均數的變化，加深了對加權平均數的理解.Excel表格幫助學生加深了對數據的理解.

圖3

學生在初中階段對數據的理解需要做到三點：第一，理解統計中由任何抽樣方法得到的數據都只有相對而非絕對的準確性；第二，了解樣本的數字特征可以在一定程度上反映總體的數字特征，因而可以用樣本估計總體；第三，區分統計中的數字與確定性數學中的數字的區別.統計中的數字是在一定背景下進行的一種分析.例如：“壓歲錢”300元用在學習上.確定性數學只有“300元”，那么接下來可能就是思考通過與300有關的數量尋找關系式算出相關的結論，它關注的是計算過程和結果.而在統計思維中，我們需要思考的則可能是300元用在學習的什么方面，在線學習繳費，還是買教輔材料等等，在線學習繳費和買教輔材料對學習的幫助哪些方面可以對比？值得購買之處？等，注重的是對數據所反映的研究對象的社會性特征分析，并把這些分析結果用于決策一些結論.

3.2 以“技術”為手段，突出統計思維的培養

互聯網環境下的教學，可以通過計算機網絡收集數據，利用計算機軟件制作統計表，繪制各種統計圖以及進行概率實驗，讓學生明白統計與概率在各行各業已經得到廣泛應用.先進的計算器不僅可以處理繁雜計算，有的還具有強大的統計功能.因此在處理統計內容時，要注意強調計算器(機)的使用.例如計算一組繁雜數據的平均數或方差，可以使用計算器(機)的統計功能進行計算，避免課堂上將這些內容變成單純的數字運算課.課上要把學習重點放在理解統計思想和從事統計活動上，使學生充分體會統計量的統計意義.

案例5下表7為甲、乙兩名射擊手的測試成績統計，請計算出兩組測試成績的方差.

表7 射擊手的測試成績

教師可以讓學生按以下程序操作：①打開計算器；②按“2ndF MODE 1”進入統計狀態；③將“7 DATA 8 DATA 8 DATA … 9 DATA”輸入所有數據；④按“SHIFT X-M =”計算這組數據的方差；⑤按“SHIFT RM =”計算這組數據的標準差.

數據的整理與分析中方差的運算量大.學生只有借助信息技術，才能擺脫大量的繁雜計算，深度參與數據分析過程中，獲得最優學習結果.

同樣在概率實驗課上，我們可以利用信息技術手段，讓學生進行投針試驗的模擬：

案例6法國科學家布豐計算圓周率π的隨機投針方法的步驟如下：

①取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線；

②取一根長度為l(l

然后讓計算機演示這種模擬試驗(如圖4)，并告知學生這就是古典概率中的幾何概型.案例6展示了信息技術如何幫助學生聚焦在統計思維的體驗上.

圖4

3.3 與直覺相區分，形成邏輯一致的認知結構

統計處理的是生活事件.在生活中我們易受經驗、直覺、習慣和偏見所左右.生活中由自己的經歷產生的直接推斷會影響科學的統計推斷學習.在教學中我們要把握好直覺推斷[5]和統計推斷的區別，幫助學生有針對性地克服直覺推斷的負面影響.如案例2中最后一問“選擇乘坐哪部公交車”.生活中我們一般是哪部車先到，就乘哪部，不存在分析乘哪部車的問題.這就是直覺推斷中的“有效性”問題.這類直覺推斷會由于每個人自己的條件、有限的實驗和個人見解的差異而導致很大的偏差，乃至無法對問題進行準確的判斷和優化.統計來自于生活，統計思維只能在對生活事件的統計分析中來培養.直覺推斷的負面影響，也只能通過對生活事件的統計分析來消除.教師需要針對學生典型的直覺推斷，設計案例，引發學生認知沖突，經由教師條分縷析的統計分析，讓學生認識到統計分析的可理解性，也能很好地與生活經驗協調，能更有效地解決問題，這樣學生就能逐漸擺脫直覺推斷，接受并習慣統計推理，形成邏輯一致的認知結構.