從課本題目到高考試題的變式研究①

陳炳泉

(福建省仙游縣華僑中學 351200)

隨著課程改革的理性推進，高考數學試卷逐漸形成了穩定、成熟的命題風格.試題既圍繞主干內容加強對基本概念、基本思想方法的考查，又立足于培育學生支撐終身發展和適應時代要求的數學素養，突出考查數學理性思維和創新意識. 試題以新穎的設計方式，增強了試題的靈活性和開放性，讓學生從不同角度認識問題，鼓勵學生主動思考、發散思維，激發學生的想象力和思想的張力，其目的是把學生從標準答案中解放出來，降低題海戰術、“機械刷題”的收益.以此引導中學教學遵循教育規律、回歸課堂，用好課本——國家教科書，避免超綱學、超量學，扎實推進素質教育.

源于教材，高于教材，是高考試題的真實寫照．高考依綱扣本、萬變不離其宗，其中的“本”指的就是數學課本，“宗”就是數學課本中數學核心概念以及概念形成與發展過程中反映出來的數學思想方法．近幾年高考數學試卷中都有源自數學教科書的試題，是教科書上例、習題的重新組合與變式呈現．教科書中的題目大多都蘊涵著豐富、深刻的背景，以此為出發點進行變式研究是提高高考成績的一種有效途徑．

本文介紹筆者在高考復習時，對幾道教科書題目進行變式研究的教學實踐與思考，供同仁參考.

1 通過逆向思考構造新的命題

例1(高中數學人教A版教科書，選修2-1，第69頁，例4)斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．

教科書對本題的解法進行了抽絲剝繭般地分析，指出“直接由拋物線的方程和直線l的方程，求出A，B兩點的坐標，并結合兩點間的距離公式求出|AB|”具有一般性，但是需要復雜的代數運算.緊接著教科書介紹了另外一種方法——數形結合的方法：

如圖1，設A(x1，y1)，B(x2，y2).由拋物線的定義可知，

圖1

|AF|等于點A到準線的距離|AA′|.

設|AA′|=dA，

而dA=x1+1，于是|AF|=dA=x1+1.

同理，|BF|=|BB′|=dB=x2+1，

于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.

由此可見，只要求出點A，B的橫坐標之和x1+x2，就可以求出|AB|=8．

在解后反思中，除了提煉具體方法與數學思想，還應該從創新的視角啟發學生變式思考：你能根據題目的題設與結論構造不同的命題嗎？

在本題的系統中，已知條件有：拋物線y2=4x及其焦點F，斜率為1的直線l，直線l經過點F．結論是|AB|=8.

學生們獨立思考與相互交流后，分別得到如下命題：

(1)直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，與拋物線相交于A，B兩點，且|AB|=8.求直線l的斜率．(答案：±1)

(2)斜率為1的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，且|AB|=8.求證直線l經過點(1，0)．

(3)斜率為1的直線l經過拋物線y2=2px的焦點F，與該拋物線相交于A，B兩點，且|AB|=8. 求p的值. (答案：p=±2)

高考試題鏈接

(2018年全國高考Ⅱ卷，文科第20題，理科第19題) 設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)(略)

數學命題有四種形式，即原命題、逆命題、否命題和逆否命題．根據命題的等效原理可知，原命題和其逆否命題同真同假，而否命題與逆命題是相互等效的，但原命題和其逆命題之間的真假無必然的聯系，因此可以通過逆向變式思考構造逆命題并論證其真偽，由此培養學生的數學理性思維．

一個命題的題設和結論都可能包含若干要素，只要部分或整體地交換這些要素，便可構造出原命題的變式命題，我們把它稱為原來命題的一個“逆向”命題．

學生常習慣于正向思考，而不善于反向考察．通過對原命題的變式思考來構造新的逆向命題，既可檢驗學生對已有的概念和命題是否真正的理解和掌握，又能促使他們發現一些有意義的新的數學命題，從而培養學生的邏輯推理素養、創新意識和創新能力．

2 通過類比與歸納構造新的命題

例2(高中數學人教A版教科書，選修2-1，第73頁習題A組，第6題)如圖2，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

圖2

本題的解答并不復雜，且有多種解法，但要啟發學生對不同的解法進行思考與辨析，感悟它們共同的本質：

即切入點可以不同，但最后都是借助代數方法，通過計算A，B兩點的坐標滿足x1x2+y1y2=0，得到幾何結論：OA⊥OB.讓學生體會解析幾何的學科特色——代數運算表其外，幾何性質蘊其中.

拋物線的頂點對弦AB的張角竟然是直角！這是偶然的嗎？對此我們還有什么想法嗎？

生1：拋物線的頂點只對這一條弦的張角是直角嗎?也就是說還有其它的弦也具有這樣的性質嗎？

生2：由拋物線的對稱性可知，直線AB關于x軸的對稱直線y=-x+2被該拋物線所截得的弦A1B1也具有這樣的性質——OA1⊥OB1.

生3：這樣的弦有多少條? 它們有什么共性嗎?

生4：凡是過定點(2，0)的弦都具有這樣的性質.

即：過定點(2，0)的直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，O是拋物線的頂點，則OA⊥OB．(證略)

生5：這個命題的逆命題也成立，所以可統一概括為：直線l與拋物線y2=2x相交于點A，B；O是拋物線的頂點，則OA⊥OB的充要條件是直線l過定點(2，0)．

師：在科學研究中“有目的地提出問題往往比解決問題更重要”．我們能從這個問題出發，再發現一些新的問題嗎？

生： ……

師：或者說題設中的某些數字可以改變嗎？能將上述特殊情形下的結論推廣到更一般情形嗎？

生6：(命題3)直線l與拋物線y2=2px相交于點A，B；O是拋物線的頂點，則OA⊥OB的充要條件是直線l恒過定點(2p，0)．

師：由特殊到一般是認識事物(數學)規律的重要思維方法，只有將問題中的具體數字變為字母后，才能更深刻地揭示拋物線的這一性質．

當然，猜想不等于證明，在數學的探索性活動中，不能把“結論”僅停止于猜想階段，如有可能要給出它的邏輯證明或特例否定．

高考試題鏈接

(2017年全國高考Ⅲ卷理科第20題)已知拋物線C：y2=2x，過點(2，0)的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標原點O在圓M上；

(2)設圓M過點P(4，-2)，求直線l與圓M的方程.

類比與歸納是構造新的問題命題的重要思維方法．所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的一種推理方法．所謂歸納就是從“考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合．” (波利亞語)拉普拉斯指出“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比．”“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進．”(康德)無論是在初等數學、高等數學，還是其他領域，不通過類比與歸納這樣的思維活動而做出發現，是不可想象的．

3 通過開放性設計構造新的命題

例3(高中數學人教A版教科書，選修2-1，第81頁復習參考題B組，第7題)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑畫圓，借助信息技術工具，觀察它與拋物線準線l的關系，你能得到什么結論？

圖3

本題結論：以AB為直徑圓與該拋物線的準線l相切(如圖3).

我們知道，圓的直徑是圓的一條特殊的弦，如果將本題中的焦點弦AB看成是圓的一般弦，結論如何呢？即經過A，B兩點的圓還與該拋物線的準線相切嗎？何時相切呢？

顯然，以焦點弦AB為直徑的圓一定與該拋物線的準線l相切，那么是否就這一種情況呢？對這個問題的深入探究是非常必要的.

高考試題鏈接

(2018年全國高考Ⅱ卷，文科第20題，理科第19題) 設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

解(Ⅰ)l的方程為y=x-1．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得AB的中點坐標為(3，2)，

所以AB的垂直平分線方程為y= -x+5．

如圖4，設所求圓的圓心坐標為O1(a，b)，則

即所求圓的圓心為O1(3，2) 或O1(11，-6)，

對應的半徑為r=a+1=4或r=a+1=12.

圖4

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

從構成數學命題系統的四要素(條件、依據、方法、結論)出發，數學開放題可定性地分成四類：尋求條件——條件開放題；尋求解題依據或方法——策略開放題；尋求結論——結論開放題；如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題．通過把一些教科書上的典型問題進行開放性再設計，是構造新的數學命題的一種重要方法．

教科書是幾代數學人集體智慧的結晶，具有很強的學術性、指導性、規范性.在平時教學中要用好教科書，到了高三復習階段，也要回歸教科書，教師在深入研究的基礎上充分感悟教科書的編寫意圖，積極開發教科書的潛在功能，創設問題鏈情境，通過改變問題的某一“屬性”，探索問題的引申、推廣、拓展、變通，扎實做好高考復習中的變式研究，努力從課本走向高考．這不僅能使學生跳出“題海”，又能鞏固基礎知識，掌握數學思想方法，深化數學的本質內涵，更為重要的是能激發學生的問題意識，培養學生的數學素養．