“教什么”和“怎么教”是課堂教學落實核心素養(yǎng)的關鍵維度
——以“直線與圓的位置關系”為例①

胡云飛

(江蘇省溧陽市教師發(fā)展中心 213300)

高中數(shù)學課程標準(2017年版)的重點是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，高中數(shù)學教學應以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向.

近期，本市組織了高中青年教師優(yōu)質課評比活動，上課課題是“直線與圓的位置關系”.活動過程中暴露出教師對課程標準理解不到位，教學目標不準確，教學設計不科學等問題.這些問題，也是當前課程改革中存在的突出問題.作為優(yōu)質課評比的總結，在賽課結束以后，本市組織了一次青年教師研修活動，優(yōu)質課評比的前兩名教師仍然以本課題另選授課班級進行了課堂教學展示.為了更好地通過課堂教學實例來表達對課程標準和核心素養(yǎng)的理解，筆者也與這兩位老師進行了同課異構教學展示活動，活動促進了青年教師對新課標和核心素養(yǎng)的認識.本文以“直線與圓的位置關系”為例，就課堂教學中落實核心素養(yǎng)的實踐與思考與同仁交流.

1 內(nèi)容分析

“直線與圓的位置關系”是初中和高中都有的教學內(nèi)容.初中已經(jīng)學習了直線和圓的三種位置關系的相關概念，會通過圓心到直線的距離d與圓的半徑r的數(shù)量關系來判斷直線與圓的位置關系(建立在給出d與r的數(shù)值或能用幾何方法判斷的情況下)．那么，高中的“直線與圓的位置關系”又學習什么？《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.[1]高中的學習突出了“方程”，也就是突出“代數(shù)方法解決幾何問題”的方法.“數(shù)形結合”是“平面解析幾何初步”這一章重要的數(shù)學思想，在研究幾何圖形的性質時，既要體現(xiàn)“形”的直觀性，還要體現(xiàn)“數(shù)”的嚴謹性.直線和圓是重要的基本圖形，學生已經(jīng)知道從“形”的角度分析它們的位置關系，如何從“數(shù)”的角度刻畫它們之間的位置關系就顯得十分必要和重要.教材采用通過方程組求交點的方法，也采用比較d與r大小關系來判斷的方法．因此，直線與圓的位置關系的教學目標，不能僅僅是會判斷直線與圓的位置關系，而是“代數(shù)方法解決幾何問題”的解析法的體驗、感悟與生成.

2 課堂實錄

問題1.最近學的什么內(nèi)容啊？

學生搶答：圓，圓的方程.

問題2.為什么要學習圓的方程？

學生回答不上來.

師：那我們把這個問題放一放？防止待會忘掉，把這個問題寫在這兒(教師把這個問題寫在黑板右側上方).

問題3.在平面解析幾何里面，我們只是研究了圓嗎？

學生搶答：還有直線.

問題4.我們研究了直線的哪些方面？

學生搶答(搶答的人數(shù)變少了)：直線的方程，直線的位置關系.

問題5.我們是怎么研究直線的位置關系的？

學生不再搶答，大部分學生面面相覷，少部分學生小聲嘀咕，教師指定學生回答，第一個學生回答不出，第二個學生小心翼翼地回答出了問題.

生1：……

生2：建立直角坐標系，通過直線的方程來研究.

多數(shù)學生恍然大悟，教師進行肯定.

問題6.在平面解析幾何里，我們在研究了直線以后，又出現(xiàn)了一種幾何圖形：圓.我們也把圓放到了直角坐標系里，得到了圓的方程.接下來，我們該研究什么呢？

學生不再搶答，思考后小聲交流，等待一些時間后教師點有回答欲望的學生回答.

生3：直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系.

師追問：你為什么這么認為呢？

生3：我們前面學習直線的時候就是這樣做的.

師：很好！我們前面研究直線的時候就是先建立坐標系產(chǎn)生直線的方程，然后研究了直線與直線的位置關系.數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學，你講的都是我們接下來要研究的，我們就選直線與圓的位置關系吧.

問題7.判斷圖中直線與圓的位置關系.(幾何畫板顯示圖1，只有圖形，沒有坐標系，也沒有方程，看上去是相切的，實際上是相離的.)

圖1

生4：相切.

師：你怎么知道相切的呢？

生4：看出來的.

師：你教教我怎么看.

生4：一個交點么！

師：哦，看交點個數(shù).

學生開始小聲交流討論.

師：有問題嗎？

生5：我感覺通過眼睛看的方式來確定它們的位置關系不大靠得住.

師：不大靠得住？

生5：因為眼睛不是顯微鏡，老師你能不能把圖再放大一些.

教師慢慢把圖放大.

學生一片嘩然：相離，相離！

師：看來就這樣看看還真靠不住，有沒有靠得住的辦法啊？大家思考一下.

學生思考后開始小聲交流，教師指定一個有表達欲望的學生回答.

生6：我們可以算出圓心到直線的距離，再跟圓的半徑進行比較.

學生表示贊同.

師：這真是一個好辦法，算出的數(shù)值是精確的！大家會算嗎？

學生爭說：要直線和圓的方程！

師：沒方程啊！

學生爭說：建立坐標系！

師：你打算怎么建坐標系呢？

生7：以這個圓的圓心為原點，向右為橫軸，向上為縱軸.

師：好的，這樣一來我們就可以確定直線和圓的方程了，我們通過幾何畫板顯示出來.(教師點擊顯示直線與圓的方程)

師：接下來請大家給出嚴格的判斷過程.

學生書寫，交流，展示(包括點評，教師的點評就是小結三種位置關系，黑板板書，通過板書呈現(xiàn)出如下表格.)

相離相切相交無公共點有且只有一個公共點有兩個公共點d>rd=rd

問題8.我們通過建立坐標系，確定直線和圓的方程，求出圓心到直線的距離并與圓半徑比較大小的方法判斷直線與圓是相離的位置關系.你還有其他方法來判斷它倆是相離的嗎？

學生思考并小聲交流后，有一些學生有了想法，教師讓學生回答.

生8：有了直線和圓的方程以后，我們還可以聯(lián)立方程組，判斷方程組的解的個數(shù)來確定直線與圓的交點個數(shù)，從而判斷直線與圓的位置關系.

師：為什么方程組的解是交點的坐標呢？

生8：既然是交點，就是既在直線上又在圓上，應該同時滿足兩個方程.前面求直線的交點也是這樣做的.

師：很好，我把這位同學的想法寫了出來，大家看.(幾何畫板展示預設的解題過程)

學生看了一會就開始小聲交流.

師：有問題嗎？

生9：如果只是判斷位置關系的話，我感覺不必把方程組解出來，只要判斷消元以后的那個一元二次方程的根的情況就可以了，用判別式來判斷.

師：可以嗎？

學生：可以！

(注：這個地方備課的時候預設了兩種情況，一種是學生能回答出來，還有一種是學生回答不出來，如果回答不出來就把這個問題放一放，通過下一個問題的解答再回頭來看.)

活動過程：學生試解，教師巡視，要求速度快的同學一題多解；學生陳述解決問題的思路；教師板演解題過程；教師題后小結.(學生大多數(shù)使用的是d與r的大小關系，有少數(shù)學生使用了方程組的方法，兩種方法都板演，解題結束以后進行題后反思，提煉方法原理，并對兩種不同方法進行對比.)

問題9-2.求弦長AB.(注：課堂預設了“求交點坐標”，目的是引導學生感悟通過方程組來求交點從而判斷直線與圓的位置關系.因為學生在前面已經(jīng)想到了用方程組來解決位置關系，此處在幾何畫板上呈現(xiàn)題目的時候隱藏了“求交點坐標”，直接求弦長了.)

活動過程：學生試解，教師巡視，要求速度快的同學一題多解；展示學生的解題并組織學生點評.部分學生使用了“垂徑定理”和“勾股定理”，有少數(shù)學生使用了方程組的方法.兩種方法并舉.

(課堂預設了第3個小問題：問題9-3.自點P(2，1)作圓O的切線PA，求切線PA的方程.用意是強化解析法解決直線與圓的位置關系的問題，特別是待定系數(shù)法求直線方程時點斜式方程的缺陷，培養(yǎng)學生思維的嚴密性.因為借班上課，師生之間教與學的習慣比較生疏，課堂留下的時間不多，所以幾何畫板上沒有顯示這個問題，留下的時間進行下一個問題，也就是課堂小結環(huán)節(jié)，課堂小結是課堂教學不可缺少的環(huán)節(jié).)

問題10.說一下這一節(jié)課的主要收獲和感悟吧.

待學生思考片刻后指定學生回答，學生比較順利地概括了課堂的主要知識，隨著學生的陳述教師點擊顯示幾何畫板上的預設內(nèi)容，有先后次序地呈現(xiàn)：

相離相切相交無公共點有且只有一個公共點有兩個公共點d>rd=rd

師：也就是說我們有兩種方法來判斷直線與圓的位置關系，一種是通過比較d與r的大小關系，另一種是通過判斷方程組的解的個數(shù)，前一種利用了幾何關系，后一種則是“代數(shù)方法解決幾何問題”，當然前一種方法里面求d與r仍然是代數(shù)方法，因此，“代數(shù)方法解決幾何問題”是解析幾何的本質，我們整個這一章都貫穿著這種思想.

師：我們現(xiàn)在來回答前面遺留的問題吧，來，還在黑板這兒.(黑板右上角問題2.為什么要學習圓的方程？)

生：通過圓的方程來解決直線與圓的位置關系的問題.

師：用代數(shù)方法解決幾何問題，這正是我們解析幾何的本質.再聯(lián)想前面我們研究的直線，我們可以發(fā)現(xiàn)解析幾何研究問題的一般方法：建立坐標系，將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法解決幾何問題.(幾何畫板上展示下圖)

師：“通過比較d與r的大小關系”與“通過判斷方程組的解的個數(shù)”這兩種方法里面你喜歡哪一種？

學生搶答：第一種！第二種太繁了！

師(微笑說)：那我如果改動一下這個圓的方程，你再看看呢？(把圓的方程改成了x2+2y2=4)

大部分學生在思考的時候，已經(jīng)有學生在插嘴了：這已經(jīng)不是圓的方程了！

師：既然不是圓了，那么“通過比較d與r的大小關系”的方法還行嗎？

學生搖頭.

師：下課時間要到了，這個問題我們在解析幾何的后續(xù)學習中會碰到，就留給我們以后去研究了.

(花絮：筆者下課后準備離開的時候，有3位學生追上來跟老師討論這個遺留問題，認為不管是不是圓都可以“通過判斷方程組的解的個數(shù)”來解決.這種解析幾何觀念的形成是本課的重要目標，本課顯然是達成了.)

3 “教什么”和“怎么教”是課堂教學落實核心素養(yǎng)的關鍵維度

課堂教學的設計與實施，不外乎教學目標的設定和教學過程的實施，也就是“教什么”和“怎么教”的問題.這是課堂教學落實核心素養(yǎng)的關鍵維度，促進核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學應該從這兩個方面去思考.

3.1 教什么：追求高位的教學目標

課堂教學的目標，既有顯性的知識目標，也有隱性的能力和素養(yǎng)目標，教師常常忽視隱性的目標。數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，教師在制定教學目標時要充分關注數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成.[1]教學目標，不能僅僅停留在知識技能層面，更要關注數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展．“直線與圓的位置關系”對高中學生來說，就知識而言不是新的東西，它的教學價值在于解析幾何“解析法”的體驗.本節(jié)課，就知識而言是位置關系，就方法而言是“解析法”，就素養(yǎng)而言是解析幾何思想意識的形成.解析幾何的意識，不能等到未來“圓錐曲線”這一章再來形成，而是在直線與圓的研究中形成并升華，為后續(xù)的直線和圓錐曲線的位置關系的學習奠定基礎.因此，這一堂課的教學目標不應該定位在位置關系的知識再現(xiàn)，而應該定位在解決問題的方法提升，解析幾何思想意識的形成.

需要注意的是，顯性目標是知識層面的，隱性目標是素養(yǎng)層面的，知識是冰山一角，素養(yǎng)才是冰山淹沒在水下的部分，知識的暫缺可以彌補，素養(yǎng)的缺少會阻止能力的提升.要處理好“知識”、“能力”和“素養(yǎng)”之間的關系，讓知識的獲取在能力提升和素養(yǎng)發(fā)展的過程中自然生成.高立意的課堂不是僅僅瞄準知識的，一定是透過知識瞄準了能力和素養(yǎng).

就學科教學而言，發(fā)展學生核心素養(yǎng)的基礎目標是改善學生的思維品質，提高學生的學習能力，讓學生學會學習.發(fā)展學生核心素養(yǎng)的根據(jù)地是課堂，課堂教學應從“知識”核心向“素養(yǎng)”核心轉移.[2]

核心素養(yǎng)要求下的課堂教學，要追求高位的教學目標，既要有知識目標也要有素養(yǎng)目標，要站在課程目標和章節(jié)目標的高度來確定課堂教學目標.

3.2 怎么教：追求高效的教學過程

教學目標確定以后就是教學過程的實施了.在教學活動中，教師應準確把握課程目標、課程內(nèi)容、學業(yè)質量的要求，合理設計教學目標，并通過相應的教學實施，在學生掌握知識技能的同時，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升及水平的達成.[1]核心素養(yǎng)目標的達成，是基于學生學習能力的提升，這種能力，不是通過知識記憶和技能訓練能達成的.素養(yǎng)的達成，在于學生在學習過程中，是否真實地進入學習狀態(tài)，是否深入地進行思維活動.因此，教學過程對學生核心素養(yǎng)的發(fā)展起到極其重要的作用.在課堂教學過程中，教師不能成為“講師”，不能采取簡單易操作的“我講你聽”的教學方式，這一種教學方式會因為學生缺乏自主構建與深入的過程，缺少必需的思維參與，不利于數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展.

“直線與圓的位置關系”的教學過程中，教師要通過引導，使學生經(jīng)歷下列過程：首先建立坐標系，將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)語言描述幾何要素及其相互關系；進而，將幾何問題轉化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結論的幾何含義，最終解決幾何問題.通過上述活動，使學生感受到解析法研究問題的一般程序.[3]本課的導入并沒有用復雜的情境，在前課學習的基礎上進行回顧，這種回顧是整章知識的建構：通過直線學習的一般方法，類比產(chǎn)生圓的學習的一般過程，讓學生自己發(fā)現(xiàn)研究“直線與圓的位置關系”的新問題，進而在位置關系的判斷中，從直觀到嚴謹，產(chǎn)生建立坐標系的坐標法思想，并逐步從部分代數(shù)化到全部代數(shù)化.這樣，解析幾何的“創(chuàng)造”過程就自然呈現(xiàn)，學生在這個過程中發(fā)現(xiàn)、探究，知識的得來會更深刻，能力的提升會更真實，素養(yǎng)的發(fā)展會更自然.課堂教學選取了基于學生主動探究的“問題解決教學”，注重引導學生“發(fā)現(xiàn)問題，提出問題”“分析問題，解決問題”，“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的課程目標得到了充分的體現(xiàn).

高品位的課堂教學，要追求高效的教學過程，課堂教學中教師要精于設計問題，通過“問題解決教學”組織學生探究，通過對問題的探究在解決問題的過程中獲得新知，獲得感受，獲得解決問題的方法和思想，從而獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展，獲得能力的提升.[2]

4 結束語

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出：在問題解決的過程中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.[1]核心素養(yǎng)目標下，教師不僅僅要關注學生知識的掌握，更要關注學生素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學教育應該是指向“人的發(fā)展”的教育，站在“立德樹人”的高度，以課堂為主陣地，通過發(fā)展學生核心素養(yǎng)來達到數(shù)學育人的目的，這是當前數(shù)學教學改革的需要.