浸潤數(shù)學文化 發(fā)展核心素養(yǎng)

王開林

(江蘇省淮安市淮海中學 223300)

1 引言

數(shù)學是一門科學，數(shù)學也是一種文化．數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育，數(shù)學知識的傳授也是一種文化的傳承．數(shù)學教育的目的不僅僅要讓學生理解數(shù)學知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗；還應(yīng)讓學生學會關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)，了解數(shù)學的發(fā)展進程，體會數(shù)學家的創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學的美妙，形成數(shù)學式的理性思維，養(yǎng)成嚴謹求真、實事求是、鍥而不舍的科學精神，自覺接受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學的無窮魅力．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出，數(shù)學文化應(yīng)融入數(shù)學教學活動.在教學活動中，教師應(yīng)當有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學內(nèi)容，將數(shù)學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程，認識數(shù)學在科學技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、應(yīng)用意識和文化素養(yǎng)；將數(shù)學文化融入教學，還有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，有利于學生進一步理解數(shù)學，有利于開拓學生視野、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)．雖然數(shù)學教育界對重視數(shù)學的文化價值已達成共識，但在教學實踐中，相當一部分的一線數(shù)學教師還不能充分認識到數(shù)學文化滲透的重要性，不能深刻理解教學內(nèi)容的文化內(nèi)涵，也往往在技術(shù)操作層面感到茫然，無從入手，不可避免地造成數(shù)學文化在數(shù)學課堂教學中的缺失．筆者在江蘇省中學青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中開設(shè)一節(jié)《函數(shù)的奇偶性》的研究課，在浸潤數(shù)學文化、發(fā)展核心素養(yǎng)方面做了一些嘗試和探索，下面結(jié)合這節(jié)課談?wù)剛€人的認識和體會.

2 教學實錄

2.1 創(chuàng)設(shè)情境、提出問題

展示圖片

師：很高興來到遠近聞名的木瀆中學和同學們一起研究數(shù)學，今天一進校門，我就被校園美景深深的吸引，學校的大門和我們平?？吹矫利惖暮?，六角形的雪花晶體……，都具有一個共同的特征——對稱，對稱是大自然的一種美，數(shù)學中也有對稱美，希望同學們都擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學美的慧眼.我們初中學過哪幾種對稱？

眾生：軸對稱、中心對稱．

師：能不能列舉一些圖象具有對稱性的具體函數(shù)？

生1：f(x)=x-1，f(x)=x，f(x)=x2

類似的，我們借助幾何畫板再畫出一些函數(shù)的圖象，如f(x)=x-2，f(x)=x3，f(x)=x4

評析通過創(chuàng)設(shè)情境讓學生體會到數(shù)學來源于生活，與自然和社會生活密切相聯(lián)．通過聯(lián)系生活實際，注重從學生知識背景中尋找關(guān)聯(lián)點來激發(fā)學生學習興趣，學生在體味數(shù)學的美——對稱美、簡約美、和諧美、奇異美中，接受美的熏陶．

活動1：觀察這些函數(shù)的圖象，請根據(jù)它們的特點給這些函數(shù)分類，并說說你的依據(jù)？

生2：函數(shù)f(x)=x2，f(x)=x-2，f(x)=x4的圖象都關(guān)于y軸對稱；f(x)=x-1，f(x)=x，f(x)=x3的圖象都關(guān)于原點中心對稱．

師：分別給這兩類函數(shù)起個什么名字比較好？

生3：偶函數(shù)，指數(shù)都是偶數(shù)；奇函數(shù)，指數(shù)都是奇數(shù).

師：同學們很了不起，1727年瑞士數(shù)學家歐拉首次提出偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念時，就是根據(jù)指數(shù)的奇偶特點來定義的，有興趣的同學課后可查閱相關(guān)資料做進一步的研究．這樣來定義有他的局限性，后來數(shù)學家們將概念進行了推廣， 才得到了今天奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義．

引出課題：今天我們就一起來研究函數(shù)的奇偶性.

評析數(shù)學家由指數(shù)的奇偶特點來定義概念的思維方式，自然而然，有其合理性．教學中適當穿插數(shù)學史的知識，讓學生了解函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展歷程，認識到人類理解數(shù)學概念具有“漸進性”，感受數(shù)學家研究問題的思維方式，增強學好數(shù)學的自信．

2.2 探究發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)概念

生4：是否可以考慮從代數(shù)的角度來研究．在研究函數(shù)單調(diào)性時，我們就是先從幾個特殊函數(shù)的圖象開始，通過對函數(shù)圖象的觀察，從直觀上體驗到函數(shù)圖象的上升或下降，再進一步從數(shù)的角度給出函數(shù)單調(diào)性定義.我們可以用同樣的方法來研究函數(shù)的奇偶性.

評析在基于學生的認知基礎(chǔ)上，通過緊貼學生最近發(fā)展區(qū)的舉例引起學生的認知沖突，激起學生探究新知的好奇心．教學生學會學習，重要的是對學生學習進行方法引領(lǐng)，讓學生學會研究數(shù)學概念的方式，如從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合，類比學習等，以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學生的概括活動搭建平臺，實現(xiàn)對新概念的意義建構(gòu)．

活動2：怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖象這種對稱性？

師：我們以f(x)=x2為例，它的圖象關(guān)于y軸對稱，怎么樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫？請同學們注意觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？(幾何畫板演示圖象上任意一點在運動，其關(guān)于y軸的對稱點隨之運動)

生5：當自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等.(文字語言)

生6：f(-1.5)=f(1.5)，f(-2.3)=f(2.3)……

師：能用更一般性的式子來表示嗎？

生6：f(-x)=f(x)(符號語言)

師：如圖，推廣到圖象關(guān)于y軸對稱的一般函數(shù)f(x)呢？

生6：對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(-x)=f(x).

追問：若對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么其圖象關(guān)于y軸對稱嗎？

學生在沉思，稍等片刻后．

師：如何說明一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱？

生7：函數(shù)圖象上的任意一點關(guān)于y軸對稱的點也在這個函數(shù)圖像上.

生8：對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，對應(yīng)著圖象上一點P(x,f(x))，點P(x,f(x))關(guān)于y軸對稱的點P1(-x,f(x))，函數(shù)f(x)的圖象上橫坐標為-x的點Q(-x,f(-x))，因為f(-x)=f(x)，所以P1與Q兩點重合，即圖象上任意一點P(x,f(x))關(guān)于y軸對稱的點也在這個函數(shù)圖象上．

評析培養(yǎng)學生主動探究，善于抓住問題的數(shù)學本質(zhì)，并能夠熟練地用準確、簡明、規(guī)范的文字語言、數(shù)學符號語言、圖形語言表述研究對象的特征．讓學生經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程，學生在理解數(shù)學的同時，在思維品質(zhì)、問題解決能力、意志品質(zhì)等方面得到發(fā)展，豐富了學生的文化底蘊．

定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A.如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立.

師：怎么理解這里的的“任意”一詞？改為“存在”是否可以？改為“無數(shù)”呢?

生9：不可以，都不能保證定義域中的每一個x，所有的x，滿足f(-x)=f(x).

活動3：類比偶函數(shù)，你能給出奇函數(shù)的定義嗎，奇函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)？

學生分組討論，合作探究，交流展示.

生10：圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)，對定義域內(nèi)任意的x，都有f(-x)=-f(x)

生11：若對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.

定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A.如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反之也成立.

如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.

師：定義中的“任意”就是“所有”，奇偶性反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)，而單調(diào)性定義中的x是屬于定義域的某一子區(qū)間，單調(diào)性反映的可能是某函數(shù)的局部性質(zhì)，也可能是整體性質(zhì).

師：函數(shù)刻畫的是兩個變量之間的關(guān)系，研究函數(shù)自然要關(guān)心一個變量隨著另一個變量的變化怎樣變化(或者不變)這個特點.當自變量的值增大時，相應(yīng)的函數(shù)值是增大還是減少？——單調(diào)性；當自變量變號，成為相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值怎么變化？也變成相反數(shù)嗎？——函數(shù)的奇偶性.

評析類比學習是一種重要的學習方式，通過類比研究函數(shù)的單調(diào)性去研究奇偶性，類比偶函數(shù)去探究奇函數(shù)．從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，即函數(shù)值隨著自變量的變化規(guī)律，為后面學習函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ)．

練習1對于定義在R上的函數(shù)f(x)，下列判斷正確的是

(1)若f(x)是偶函數(shù)，則f(-2)=f(2)；

(2)若f(-2)=f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

(3)若f(-2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；

(4)若f(-2)=f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).

生12：根據(jù)偶函數(shù)定義得(1)正確；僅有f(-2)=f(2)，不能保證函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，(2)錯誤；要否定函數(shù)具有奇偶性，只需一個反例，(3)正確；

生12：對于第(4)小題，若f(-2)=f(2)=0，則f(-2)=0=-f(2)，f(x)可能是奇函數(shù)；

生13：若f(-2)=f(2)=0，則函數(shù)f(x)的圖象可能關(guān)于原點對稱，f(x)可能是奇函數(shù)，(4)錯誤.

評析這里用一個概念辨析題來進一步鞏固加深學生對新學概念內(nèi)涵與外延的理解，同時也有效地培養(yǎng)學生的思辨能力，這也是學生終生學習，可持續(xù)發(fā)展的重要素質(zhì)．如否定一個命題，只需一個反例即可，而要保證命題正確，則需充分考慮各種情形；再如學會從數(shù)與形兩個角度去分析與判斷、反復求證等．

練習2你能舉出幾個具有奇偶性的函數(shù)例子嗎？

生14：f(x)=2|x|，f(x)=-x3……

在學生舉出的具有奇偶性的函數(shù)例子后面加上定義域x∈[-2,3]予以追問.

生14：不具有奇偶性，圖象不關(guān)于y軸或原點對稱，也不滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，如f(-3)無意義.

活動4：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域具有怎樣的特點？

生15：因為具有奇偶性的函數(shù)的圖象具有對稱性，所以其定義域關(guān)于數(shù)“0”對稱.

生16：因為函數(shù)的奇偶性是考察f(-x)與f(x)的關(guān)系，所以f(-x)與f(x)都有意義，-x與x都應(yīng)在函數(shù)定義域內(nèi)，-x與x是關(guān)于數(shù)“0”對稱，所以定義域關(guān)于數(shù)“0”對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.

評析由于前面概念教學過程中學生充分參與概念建構(gòu)的過程，對奇偶函數(shù)定義域的特點問題解決就水到渠成．課堂上適時的追問引領(lǐng)學生進一步探究問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學生執(zhí)著的刨根究底的科學精神．有助于學生逐步形成精益求精、凡事追求完美的習慣和風格．

2.3 應(yīng)用數(shù)學、深化理解

例1判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù).

(1)f(x)=x2-1；

(3)f(x)=(x-1)2.

師：能不能迅速判斷這幾個函數(shù)的奇偶性？

生17：函數(shù)f(x)=x2-1的圖象是關(guān)于y軸對稱的拋物線，所以是偶函數(shù)；

函數(shù)f(x)=(x-1)2的圖像是關(guān)于x=1對稱的拋物線，既不關(guān)于y軸對稱，也不關(guān)于原點對稱，所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù).

師：剛才同學是根據(jù)這些函數(shù)圖象的對稱性來判斷奇偶性，還可以怎么判斷？

生18：也可以根據(jù)定義.略.

小結(jié)：判斷函數(shù)奇偶性的三個步驟：

一看：看定義域是否關(guān)于數(shù)0對稱，(若不關(guān)于數(shù)0對稱，則非奇非偶).

二驗：驗證f(-x)與f(x)的關(guān)系，(相等還是相反)

三定：定結(jié)論.(四種可能)

生19: 對(3)，可以用定義正面驗證，也可以從反面，舉反例來否定奇偶性.

評析課堂上適時總結(jié)出“一看二驗三定”的三步驟，便于學生理解記憶，使學生喜聞樂見、興趣盎然．

2.4 回顧反思、提升素養(yǎng)

通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？還有哪些疑問？

3 教學思考

通過“函數(shù)的奇偶性”一課的教學實踐，筆者認為在數(shù)學課堂上浸潤數(shù)學文化，發(fā)展核心素養(yǎng)不能僅僅停留在“貼標簽”層面，要結(jié)合具體的教學內(nèi)容，從教學目標的確定、教學過程的實施、到教學評價都要有數(shù)學文化的意識，在充分挖掘教學內(nèi)容的文化內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，找準切入點、關(guān)注生長點，細細浸潤，長期熏陶，逐步提升學生數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學素質(zhì)．

3.1 充分挖掘教學內(nèi)容的文化內(nèi)涵

數(shù)學知識具有豐富而深刻的文化內(nèi)涵，數(shù)學文化是蘊含在數(shù)學知識之中，通過數(shù)學教學內(nèi)容反映出來的．在數(shù)學課堂上浸潤數(shù)學文化，要求數(shù)學教師既要準確理解數(shù)學文化的內(nèi)涵，還要深刻挖掘教學內(nèi)容的文化內(nèi)涵．那么什么是數(shù)學文化？筆者比較認同顧沛的觀點，狹義理解主要指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關(guān)系等．教師在教學設(shè)計時要從顯性和隱性兩個角度去挖掘教學內(nèi)容的文化內(nèi)涵．顯性的如教材內(nèi)容所涉及到的數(shù)學史料、數(shù)學的美、數(shù)學應(yīng)用等．本節(jié)課中函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展史，奇偶函數(shù)圖像的對稱美，數(shù)學圖形文字符號三種語言等都是顯性的文化元素；除了顯性的相關(guān)數(shù)學文化元素，那些源于教材、高于教材的內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想方法、理性思維、情感態(tài)度、問題解決的能力等文化內(nèi)涵更需要教師對教材從文化的視角進行適當?shù)募庸?、設(shè)計和挖掘．本節(jié)課中數(shù)學家研究概念的思維方式，通過類比、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等研究函數(shù)性質(zhì)的的一般方法，善于抓住本質(zhì)、學會表征、思辨能力，刨根究底、嚴謹求真的科學精神等這些學生所看不到的又很有價值的隱性的文化元素，會影響學生一生的發(fā)展，是數(shù)學教育實現(xiàn)立德樹人的目標應(yīng)該著力培養(yǎng)的．

3.2 準確確立教學目標的文化定位

李善良博士提出要讓數(shù)學成為一種文化，這是數(shù)學教育工作者應(yīng)該牢固確立的教學理念，也是數(shù)學課堂的一個教學追求．因此，數(shù)學教學應(yīng)將“讓數(shù)學變得文化些，還數(shù)學以文化之本來面目”作為追求的目標．要實現(xiàn)這樣的目標要求教師教學設(shè)計時就要先確立教學目標的文化定位，在確定教學目標時要設(shè)計數(shù)學文化層面的目標，在教學評價時更要關(guān)注數(shù)學文化浸潤目標的達成與效果．確定數(shù)學文化層面的教學目標要堅持科學性、漸進性和準確性的原則．數(shù)學學科自身特有內(nèi)容抽象、推理嚴謹、結(jié)論明確、應(yīng)用廣泛等特征，這些特征是數(shù)學文化的重要組成部分，決定了數(shù)學思想、理性精神、思維品質(zhì)等的培養(yǎng)應(yīng)該作為主要的數(shù)學文化層面目標．要浸潤數(shù)學文化，必須立足數(shù)學課程，防止矯枉過正，不能把數(shù)學課上成其它的課，充滿文化氣息的數(shù)學課堂還應(yīng)關(guān)注數(shù)學本質(zhì)．學生數(shù)學文化素養(yǎng)的提升是一個循序漸進的過程，數(shù)學文化的浸潤要在潛移默化中得以實現(xiàn)，不能急功近利，是通過教師長期的堅持滲透，要通過耳濡目染、潤物細無聲、水到渠成實現(xiàn)自然生長．文化目標的確定應(yīng)緊扣教學內(nèi)容，符合學生已有的認知基礎(chǔ)，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，還要可測量、可操作．

3.3 注重進行教學過程的文化浸潤

李大潛指出：學好數(shù)學，不等于拼命做題、背公式，而是要著重領(lǐng)會數(shù)學的思想方法和精神實質(zhì)，了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中所起的關(guān)鍵作用，自覺接受數(shù)學文化的熏陶．數(shù)學課堂要注重教學過程中的文化浸潤，從新課的引入、問題情境的創(chuàng)設(shè)到數(shù)學概念的建構(gòu)、例題教學、實際應(yīng)用，每一個教學環(huán)節(jié)都可以適時地結(jié)合具體的教學內(nèi)容進行文化浸潤．數(shù)學文化的價值不僅在于知識本身，也在于它的應(yīng)用價值，數(shù)學應(yīng)用是數(shù)學文化融入數(shù)學課程的結(jié)合點，數(shù)學教學應(yīng)多聯(lián)系實際，關(guān)注數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用；數(shù)學史是數(shù)學文化的一種載體，在數(shù)學課堂上融入數(shù)學史有助于學生理解數(shù)學、感受數(shù)學文化，讓學生從數(shù)學歷史的視角了解古今中外數(shù)學發(fā)展演變的真實過程，追溯數(shù)學問題、思想方法的來龍去脈，學習中外數(shù)學家為探索數(shù)學真理、上下求索、不畏失敗的精神品質(zhì)，體悟數(shù)學文化的博大精深，數(shù)學創(chuàng)造的曲折艱辛；解題教學過程中教學生學會數(shù)學地、理性地、有條理地思考，借助數(shù)學符號、概念與原理，從數(shù)與形兩方面入手思考數(shù)學問題，并且能夠有理、有據(jù)、有事實、有方法、有方向感，思維合乎邏輯，嚴謹周密、有條理，思路清晰．如本節(jié)課中函數(shù)奇偶性的概念的形成本身具有一定人文背景，通過對概念的適當追溯本源，既可以激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，讓學生感受概念中蘊含的豐厚的歷史文化底蘊，還可以讓學生學習數(shù)學家在探求真理過程中思維方式和執(zhí)著的精神；如在上立體幾何起始課時，可以讓學生先觀察荷蘭埃舍爾的《景觀樓》圖片，在培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)的同時，讓學生了解數(shù)學演變發(fā)展過程中繪畫悖論這一奇妙有趣的數(shù)學歷史；再如一曲《悲傷的雙曲線》促進了學生對漸近線的感性認識和本質(zhì)理解，讓學生在數(shù)學課上接受到音樂的熏陶，也使得數(shù)學課堂情趣橫生、引人入勝．

鄭毓信教授提出，我們應(yīng)由“文化自覺”過渡到“文化擔當”，也即應(yīng)當更深入地去思考：什么是教育工作者所應(yīng)自覺承擔的社會責任.數(shù)學文化源遠流長，輻射出歷史的智慧、至美的光華、意趣的高雅、大用的力量，作為數(shù)學教育工作者傳播數(shù)學文化義不容辭，當數(shù)學文化的魅力真正浸潤我們的教材，到達課堂、融入教學時，數(shù)學就會更加平易近人，數(shù)學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數(shù)學、喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學.