挖掘數學文化 踐行學科育人

嚴必友

(南京市教學研究室 210013)

今年6月，我有幸參加了江蘇省中小學教研室李善良博士主持的課程教學改革重大研究項目“高中數學文化教育研究”的中期評估，受益良多.該項目以高中數學教材中文化元素的挖掘、梳理、整合、滲透為重點，建構起高中數學教學的文化連廊，使學生在數學學習中感受到沿途美麗的風景，發現數學知識是立體的、生動的、相互聯系的，體會到數學文化的無窮魅力，促進了思維發展和智慧涵養.

在當前的數學教學中，存在著較為嚴重的重結論、輕過程，重技能、輕思維的現象，教師往往過于注重知識本身的教學，挖得很深，講得很難，而缺乏對知識意義、價值以及和相關知識、生活經驗內在聯系的挖掘，導致學生的數學學習是片段的、孤立的、膚淺的、枯燥的.

著名數學家柯朗《數學是什么》的序言中寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機.數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練.數學研究已出現一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系.教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎.”

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“要強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透.”“不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”.

狹義的數學文化是指數學的語言、觀點、方法、思想、精神，以及它們的形成和發展過程；廣義的數學文化除上述內容之外，還包含數學史、數學家、數學美和數學教育等.

數學作為一種文化現象早已成為人們的共識，它以其獨特的符號、語言、思維和邏輯結構浸潤著人的思想和心靈，影響著人的言行、思維方式、處事方式和價值觀念，成為人們認識世界、探索世界、描述世界的重要工具.因此，挖掘數學文化，以數學文化滋養學生，既是培育核心素養的時代任務，也是落實學科育人的本質追求.

1 在先賢的智慧中了解文化

恩格斯說：“數學像所有別的科學一樣，起因于人們的需要.”數學發展的歷程體現了人類探索世界、認識世界的歷程.在此過程中，許多先賢用他們的勤勞和智慧不斷探索著現實世界事物運動變化的客觀規律以及內在的聯系、結構，豐富、完善著數學這座神奇的大廈.數學教材是課程的載體，其背后蘊含著豐富的史料，這些史料具有極其重要的育人價值，能夠讓學生了解到數學知識、概念形成的時代背景和歷史條件，認識到它們與社會生產實踐的關系，與人類認識發展的關系.

德國哲學家海德格爾的“顯隱”說告訴我們：任何事物都是集背后無窮多未顯現的東西于當前的一個聚焦點.在數學教學中，教師的眼中不僅要有概念、公式、定理，還要有與它們相關聯的其它知識和內容，以及它們之間的關系和內在邏輯.能否挖掘出這些聯系和邏輯，體現出教師專業素養的深度和高度.

比如，高一年級學習集合的時候，學生往往覺得抽象難懂，教師可以穿插對集合論產生、發展和完善的歷程進行介紹，以增長見識，激發興趣.十七世紀，牛頓和萊布尼茨創立了微積分，在此后的一百多年中這一嶄新學科獲得了飛速發展并結出了豐碩成果.十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動.正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端.到1874年康托爾開始一般性地提出“集合”的概念：把若干確定的有區別的事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素.在建立集合概念的基礎上，康托爾又開始向“無窮”邁進.在數學發展的歷程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光盡可能回避這一概念.但試圖把握無窮的康托爾卻勇敢地把無窮集這一詞匯引入數學，從而開辟出一個奇妙的新世界.他從本質上揭示了無窮的特性，并滲透到所有的數學分支，從根本上改變了數學的結構，促進了數學的許多新的分支的建立和發展，極大地推進了數學的發展進程.

通過這一段數學史料的學習，學生不僅加深了對“集合”概念的理解，把握實數集與數軸上的點的對應關系，認識到“集合”的產生在數學發展史上的重要作用，而且能夠激發學生學習數學的興趣，探究數學知識形成的過程，在數學知識體系中的地位，與相關知識的聯系，從而起到數學文化育人的效果.

再如，在學習算法初步時，教師可以對我國古代燦爛的算法文化特別是《九章算術》進行介紹.《九章算術》的內容十分豐富，全書收集的246個問題都是與生產、生活實踐有著緊密聯系的應用問題，每道題有問、答、術，依據性質和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股共九章，充分體現出我國古代勞動人民的聰明智慧，激發學生的民族自豪感，引導他們在生產、生活實踐中學會用數學的眼光看待世界，用數學的思維分析世界，打通數學知識與日常生活的聯系，使數學知識得以“活化”.

2 在數學的內在規律、邏輯中感受文化

楊振寧教授在“美在科學與藝術中的異同”一文中寫道：“所有物理學研究的最后結果就是一組數學方程式.包括牛頓的運動方程式、麥克斯韋方程式，以及愛因斯坦的狹義和廣義相對論方程式、狄拉克方程式和海森伯方程式.”因為數學是“上帝描述世界的語言”，是揭示事物之間聯系和事物運動變化規律、模型的工具.

數學學科具有極強的概括性、邏輯性和簡潔性，在溝通聯系、揭示規律、提煉模型等方面有著獨特的功能.這次新課改提出要讓學生學會“用數學的語言表達世界”，就是要培養對事物的內在規律的概括能力，用簡潔、優美的數學關系式表達出來.教學中，教師要引導學生努力探尋數學概念之間的內在聯系，從而建立結構化的知識體系.同時，要努力幫助學生在學科符號與日常生活之間建立有機的聯系，逐步理解符號內在的意義，體驗符號背后的思想觀念.

學生在學習“等差數列”的過程中，往往會覺得概念多、關系多、運算復雜，從而產生畏難情緒.其實，等差數列的教學中有著十分豐富的文化要素，教師要善于挖掘、提煉，讓學生感受、領悟.首先，等差數列在學生的日常學習和生活中存在著大量的案例，是每個人都觸手可及的.通過這些案例的學習，讓學生感受到等差數列就在他們的學習、生活實際中；其次，等差數列其實就是一次函數當自變量依次取正整數值時的一列函數值，是一條直線上均勻分布的一列點的縱坐標.因此，可以用學過的一次函數來解釋和解決等差數列的有關問題；再者，等差數列中的幾個量a1,an,d,n,Sn之間存在著密切的聯系：

其實，數學教材的每一章內容和每一個概念都是一個完整的體系和結構，都可以用幾個基本量和關系式將其中的內在聯系提煉出來，這就是數學的內在規律和邏輯.只有讓學生領會、掌握這些規律和邏輯，才能把握內在的本質，體會到數學的簡潔和美感.

3 在真實的思考、創造中體驗文化

清華大學心理學院院長彭凱平教授指出：“真正的求知需要心理的參與：思考，想象，描述，溝通，交流，感染，體會.”“思維的過程就是將知識打上自己的烙印.用心理學的觀點，是將概念依照自己的思路納入到自己的概念系統之中.”學生的數學學習需要真實的思維參與，在參與中體驗，在體驗中感悟，在感悟中提高認識.因此，教師要積極引導學生在數學學習過程中的心理參與和思維參與，充分體會到數學概念的形成和發展的歷程.

如：“復數”的引入實現了中學階段數系的最后一次擴充.但是，復數的進化是數學史中比較奇特的一章，那就是它完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性.數學與測量或實用計算之間的關系使實數具有某種實在感.可是，復數的情形卻不一樣，誰也不知道復數會帶來怎樣的實際用途，這是在嶄新的方向上走出的一步，提出了純理論的創造.

教學過程中，教師從學生已有的知識基礎出發，再現歷史上數學家卡當的問題.一方面讓學生回憶、歸納數的概念的發展和數系擴充的過程，感悟數的概念產生于實際需求與數學內部的矛盾，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系，體會學習新知的必要性和合理性.另一方面，讓學生理解復數的有關概念，掌握復數相等的充要條件，為今后的學習奠定基礎.教學過程中讓學生經歷與數學家一起發現問題、思考問題、解決問題的過程，感受到數學家就在自己的身邊，數學家并不神秘，他們也曾有解不開的難題，小小的“i”硬是經過了兩個世紀的努力才被人們接受；數學發現并不神秘，數學家們通常是在別人習以為常的現象中發現新問題并窮追不舍；數學并不神秘，只要我們“更新觀念”，跳出原有的舊框框，一片更為廣闊的數學天地便會展現在面前……數學的文化內涵在歷史的脈絡中體現得淋漓至盡，學生感受的是思維的發展歷程和濃濃的數學文化氣息.

再如，在“圓錐曲線的統一定義”教學中，應引導學生從不同曲線的不同的“比值”和圖形里探尋相互之間的聯系、共同的結構和本質特征，體驗數學文化里“從混沌中看到秩序，從矛盾中看到統一”的辯證統一思想.

前面已經學習了橢圓、雙曲線、拋物線，并且將它們稱為圓錐曲線.其中：橢圓的離心率01.那么是否有離心率為1的曲線呢?它是拋物線嗎?

學生猜想有可能是，但觀察到橢圓和雙曲線的離心率是焦距與長軸(實軸)長的比值，拋物線中不存在類似的量，從而產生了疑惑，怎么辦？

引導學生回顧拋物線的定義：平面內到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡.距離“相等”的時候這樣的軌跡是拋物線，那么“不相等”時軌跡是什么樣的曲線呢?距離相等就是距離之比為1.

給出兩組數據:

教師：這個猜想正確嗎？

引導學生回顧橢圓方程建立的過程：

PF1+PF2=2a，

(引導學生觀察式子中是否有動點到點和直線的距離)

同理在雙曲線中也是如此.

明確F點為焦點，直線l稱為準線，常數是離心率.

由此，圓錐曲線的統一定義就順利生成.

在此過程中，學生從不同的曲線中探尋共同的結構，揭示出三種圓錐曲線的本質特征，得到它們的統一定義，體驗到數學概念的相容性.這些文化要素能夠對學生的觀念和思維產生陶冶和浸潤，拓寬視野，激發思維.其實這也是數學研究中的重要思想.我們對許多公式和原理的學習中，一定要弄清楚它們的適用范圍，同時還要探究能否在更大的結構中具有合理性.

4 在尊重規律、嚴謹治學、示范引領中浸潤文化

數學文化對學生的教育、影響還體現在教師日常的教學過程的每一個細節中.要尊重學生的主體地位和認知規律，尊重學科的本質和內在規律，在嚴謹的治學、科學的思維、高屋建瓴的洞察、循循善誘的點撥和個性化的關照中浸潤學生的思想和心靈.

葉瀾教授說：“有文化意義的課堂，一定是充滿生命激情、生命動感的課堂.課堂要凸現學生的主體地位，尊重學生的生命價值，發揮學生的主動性，賦予課堂教學以生命的意義，讓課堂充滿生命的活力.”柳宗元在《種樹郭橐駝列傳》一文中概述的郭橐駝的種樹之道是“順木之天，以致其性”，只要順應樹木自然生長的規律，充分發展它的習性，就能使樹木活得久而且長得快.

人的學習從本質上來說都是自我學習.教師的主要任務是引導、啟發和協作.教師要從學生的實際出發，精心確立目標，創設情境，選擇問題，使學生在問題的引導下進入學習活動.南京市玄武區建構的“五度”數學課堂就很好地彰顯出教學的文化力量，“坡度、角度、精度、自由度、溫度”都指向學生，體現出“以學生為本”的教學理念.“坡度”是指教學的起點和進程要適合學生的學習實際和思維水平；“角度”是指教師要站在學生的立場，用學生的視角觀察問題、分析問題；“精度”是指精準把握學生的起點、需要和困難，并給予精準的幫助和指導；“自由度”是指敢于放手，善于引導，讓學生打開思維，放飛想象，自由表達；“溫度”是指對學生耐心的啟發、熱情的鼓勵和殷切的期待.

教學文化體現在師生在教學活動中所體現出來的思想意識、思維方式以及學習方式等.課堂上，教師應讓學生經歷學科活動全過程，在活動過程中學會思考、發現，形成相應的思維方式，深入理解數學概念以及相互之間的聯系.在數學概念教學中，讓學生經歷概念形成的過程，理解概念與相關內容、生活經驗的聯系，在知識體系中的位置；在習題教學中，讓學生學會判斷、識別、比較、選擇，掌握一類問題的結構和基本規律，并學會在新情境下的遷移和創造.

5 結語

美國數學史家M.克萊因曾經說過:“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關.這種關系在我們這個時代尤為明顯”.“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家都十分有用”.數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量.

學生是有血有肉的人，教學的目的就是播種、浸潤、啟迪、喚醒，激發和引導學生的自我成長之路.

課程改革走進“核心素養”時代，數學教學必須改變簡單的知識學習、技能訓練的做法，關注學生的情緒、態度、價值觀和適應當下與未來發展所必需的學科素養和關鍵能力的培養.在此過程中，數學文化將會發揮極其重要的作用，它能使數學教學超越現實的功利，使學生打開視野，敞開心扉，在數學的世界里徜徉、吮吸，感受到數學的內容、結構、邏輯以及它的嚴謹、深刻和優美，獲得持續生長的力量，為他們的終身發展奠基.