西南聯大數學名師許寶騄的數學貢獻①

劉冰楠

(云南師范大學數學學院 650500)

在西南聯大這片熱土上，曾出現過很多辛勤職教的老前輩，他們揮灑汗水，在極度艱苦的條件下，為我國培育出眾多英才，許寶騄便是其中一位.許先生對我國概率論和數理統計學的學科發展做出了突出貢獻，是我國概率統計研究的現代學者中達到世界先進水平并有廣泛國際影響的第一人，在矩陣論和積分變換方面也有精深的研究.許先生才華出眾，與華羅庚、陳省身兩位先生共被譽為“西南聯大數學三杰”，他所追求的最高學術標準的科學精神，值得當今學者繼承和發揚.2019年恰逢西南聯合大學在昆明建校八十一周年，我們懷著無比崇敬的心情，緬懷其學術業績、學習其治學風范.僅以此文紀念曾在這片園地辛勤耕耘的先人，激勵后輩，發揚西南聯大精神.

1 生平簡介

許寶騄(Pao-Lu Hsu，1910.9.1—1970.12.18)，字閑若，筆名班成，我國著名數學家，數理統計、概率論奠基人，中國科學院院士，曾任第四屆全國政協委員.許寶騄出身于杭州的名門世家，祖父許祐身曾任蘇州府知府，父親許引之曾任兩浙鹽運使，兄弟姐妹七人，排行第七，兩位兄長許寶駒、許寶骙均學有所長，頗多建樹.許先生1910年9月1日生于北京，兩歲隨父遷至天津，8歲舉家遷回杭州.幼年時期，其父聘請家庭教師為其講授《四書》、《五經》、歷史及古典文學，為其奠定了深厚的文學基礎.1924年，其父病逝，全家遷回天津，翌年移居北京，考入北京匯文中學學習.中學期間，常與其表姐夫徐傳元(畢業于美國麻省理工學院)探討數學問題，并得到啟迪.中學時期即可用法語書寫短文.1928年考入燕京大學化學系，1930年轉入清華大學數學系，1933年獲理學學士學位.畢業后被錄取赴英國留學，但由于體重太輕不合格未能出國，調養一年后，正值美國哈佛大學教授W.F.Osgood在北京大學講學，故許寶騄到北京大學數學系為其當助教.在其講學的兩年中，許寶騄一直是他的助教，奧斯古德在他后來出版的書中，還提到許寶騄對他的諸多幫助，流露了其對許先生的贊賞與深厚的友情.1935年，許寶騄與江澤涵合作發表了關于“臨界點”的論文，初步顯露了他的數學才能.

1936年，許寶騄再次考取了赴英留學的機會，被派往University College London，在高爾頓實驗室和統計系學習數理統計.當時的統計系人才濟濟，由R.A.Fisher接替K.Pearson任實驗室主任，美國多元分析專家H.Hotelling，S.S.Wiks，頻率曲線專家C.C.Craig，概率專家W.Feller等都在該系學習工作過，并對許寶騄的學術思想和研究方向產生了一定的影響.在此學習的四年間，許先生以他堅實的數學基礎與能力，結合英國先進的統計思想，迅速發表了一系列重要論文.1938年獲得哲學博士學位，1940年獲科學博士學位.1940年年底，許先生在抗日戰爭的烽火中毅然回國，任國立西南聯合大學數學系教授，講授概率論、數理統計等課程.1945年應邀赴美國加利福尼亞大學伯克利分校、哥倫比亞大學和北卡羅萊納大學講學.許先生在美國教了兩年左右的書，給人留下了深刻的印象，現在伯克利大學、斯坦福大學的統計系，都掛有許先生的相片以示紀念[1].1947年夏，許先生返回北京，自此一直在北京大學任教.1948年當選中央研究院首批院士，1955年當選中國科學院首批學部委員.1950年以后，許先生長期患病，但仍以頑強的毅力堅持帶領青年學者開展科研工作.1970年12月18日病逝于北京大學住所，享年60歲.

1979年，為紀念許先生誕辰70周年，著名的《The Annals of Statistics》約請三位世界著名的專家撰文介紹其生平及在學術上的重要貢獻.1981年，中國科學出版社出版了《許寶騄文集》，由中國科學院院士江澤涵和段學復為此文集作序，高度評價了許先生的一生，文集中收錄許先生的論文19篇.1983年1月，《許寶騄全集》英文版《PAO-LU HSU COLLETED PAPERS》由K.L.Chung負責編輯，西德Springer-Verlag出版發行，該英文版共589頁，收集數學論文41篇(40篇正文，1篇附錄)，其中解放后發表的中文論文均被翻譯成英文.能在Springer出版社出版論文集的中國數學家，至今屈指可數.1997年，美國出版了《Leading Personalities in Statistical Science from the Seventeenth Century to the Present》一書，該書介紹了包括牛頓、高斯、拉普拉斯、費雪爾、奈曼、柯爾莫果洛夫等著名科學家在內的114位重要人物的傳記，而許寶騄先生是唯一入選的中國學者.

2 許寶騄的數學教育思想

2.1 著述立說，傳播現代數學知識

許先生具備典型的中國學者的風度，一貫以高標準嚴格要求自己，是為青年學者學術風范之楷模，更給國際同行留下了深刻的印象.許先生在學術上十分注重論文的質量，他曾說：“一篇文章的價值不是在它發表時得到了承認，而是在后來不斷被別人引用的時候才得到了證實.”“我不希望自己的文章登在有名的雜志上因而出了名；我希望一本雜志因為刊登了我的文章而出了名.”[2]正是因為許先生對學術追求的高質量，使得他發表的許多論文在其特定的領域內產生了深遠的影響.

在多元統計分析和統計推導方面，許先生發展了矩陣變換的技巧，推導樣本協方差矩陣的分布與某些行列式方程的根的分布，推進了矩陣論在數理統計學中的應用.他對Gauss-Markov模型中的方差的最優估計的研究是后人關于方差分量和方差的最佳二次估計的眾多研究的起點.他揭示了線性假設的似然比檢驗的第一個優良性質，推動了人們對所有相似檢驗進行研究.在概率論方面，得到了樣本方差的分布的漸近展開以及中心極限定理中誤差大小的階的精確估計.與H.Robbins合作提出的“完全收斂”則是強大數律的有趣加強，是后來一系列有關強收斂速度的研究的起點.許先生在矩陣偶于某些變換下的分類、馬氏過程轉移函數的可微性、次序統計量的極限分布及部分平衡不完全區組設計等方面均有出色的工作[3].

許先生主持翻譯、校閱了辛欽的《數學分析簡明教程》、史捷班諾夫的《微分方程教程》和格涅堅科的《概率論教程》等俄文教材，幫助教師學習俄語，精讀俄文原版《數學分析八講》等教材，這些工作對解放初期中國數學教材建設及人才培養具有重要意義.

許先生發表學術論文40篇[4]，其中“變敘的項的極限分布”和“部分平衡不完全區組設計”這兩篇文章，是許寶騄先生所主持的討論班的成果，以其筆名“班成”的名義發表.許先生1970年逝世后，后人在其主持的討論班(1964年冬至1965年春)上得到大部分結果，發表了“隨機矩陣的重合性質”一文；1990年，許寶騄先生逝世20周年，《應用概率統計》刊載了其研究成果“有限狀態馬爾可夫鏈的某些研究”.

許先生關于數理統計學的第一篇論文發表于1938年，文中討論了所謂的Behrens-Fisher問題.其中，對于σ1，σ2不一定相等的情況，給出了相應的統計量，找到了統計量的密度函數的級數展開式，并用它研究否定域的功效.此項工作被著名統計學家H.Scheffe(1970)稱為“數學嚴格的典范”.這種方法被學者們稱為“許方法”，時至今日，仍是解決這一問題的最實用的方法.此后，許先生發表了多篇多元統計分析理論發展的前沿論文，并得到同行的認可.

2.2 主持討論班，重視學科發展

許先生不僅具有高深的學術造詣和杰出的學術成就，而且為建設和發展中國的概率統計學科做出了卓越貢獻.他所從事的概率統計，在我國第一個科學規劃中被列為數學學科的重點方向之一[5].許先生作為全國公認的概率統計學科帶頭人，為了推動理論聯系實際的工作，于1956年在北京大學成立了全國第一個概率論與數理統計教研室，并擔任教研室主任.他主持制定了概率統計專門化的培養計劃和教學大綱，充分體現了重視基本知識、加強基礎訓練、著重基本能力培養的精神，至今仍具有指導意義[6].

1956年在教育部的統一安排下，許多高校的教師和學生云集北大，在許先生的主持下從事概率統計的學習與研究.此時的教師團隊除北大原有的教師外，從中國科學院數學研究所、中山大學等高校調集了一批教師，加強專門課程的教學力量，這一舉措，對我國概率統計隊伍的建設和發展起到了奠基性的作用.培養的這批學生成為國內第一屆概率論與數理統計專門化的學生，他們中的許多人長期活躍在教學科研第一線，成為概率統計學科的骨干力量.在許先生的倡議下，當時從蘇聯、東歐邀請了一些概率統計專家來華進行學術交流，同時選派一些優秀青年學者去國外學習，以此加強國內外學術交流，促進我國概率統計學科的發展.為了促進學術交流，許先生爭取為青年學者提供發表文章的機會，曾發起籌辦全國性的概率統計學術期刊，并表示愿意資助一部分經費，但由于種種原因當時未能實現，直至1983年后才逐步實現.

許先生特別重視青年教師及學生的獨立科研能力的培養，并通過討論班的形式進行科研能手的培養.他主持了富氏變換、極限定理、馬氏過程、試驗設計、次序統計量等討論班，討論班的成員不僅有北大的教師和學生，還有其他各院校的師生以及中國科學院數學研究所的同志.其中，馬氏過程討論班的內容涉及極限定理、馬氏過程、多元分析、實驗設計、次序統計量、過程統計、判決函數和組合數學等多個專題[7].在討論班上，“他常有精彩的插話，介紹所討論專題的歷史、現狀，指出難點，使青年受益不小.”[8]當一個專題報告結束之后，成員間進行討論交流，報告人根據反饋將報告內容進行重新整理，提出新的方法和進一步研究的方向.通過討論班的學習，學生都能在不同程度上較自己原有水平有所提高.許先生循循善誘地鼓勵青年學者敢于發表自己的意見，并激勵其進行科學實踐，告誡學生不要眼高手低最終導致一事無成.許先生把大批青年學者引向科學研究的前線，成為其科研引路人.

江澤涵先生回憶西南聯大時期寫道：“好多位杰出有為的年輕數學教授從國外返回，如陳省身1937年從法國返回、華羅庚1938年和許寶騄1940年從英國返回.各種討論班在數學系建立.聯大培養數學人才方面的成績歷來都有好評，我認為上述的交流確是獲得成績的一個不可忽視的原因.因為有了交流，才打破了近親繁殖、因循守舊，才鼓勵了獨立思考、創新精神，因而使基礎知識扎實、寬廣.我自己也受了這些交流的好處.”[9]可見，討論班對西南聯大人才的培養起到了重要的作用.

2.3 主張“良工示人以樸”

“許先生在教學中特別強調要直觀地理解數學，主張要把數學定理及其證明的‘原始思想’告知學生，使學生認識到追求簡單規律的重要性，并以此作為研究數學的目標和興趣出發點.”[10]許先生主張的“良工示人以樸”的教學觀點，至今仍有重要的現實意義，即Mathematics is for simplicity——數學教學要追求簡易，重視直觀.

“直觀”原指借助于視覺器官直接觀察，以此獲得感性經驗.數學直觀不同于一般教育學加上數學例子的問題，也不局限于教學的直觀性，而是數學教學所特有的.數學教師對所教內容進行嚴謹的文字語言描述，簡明的符號語言表達，形象的圖形語言呈現，建立數學內部與外部聯系的類比等，都是數學直觀的體現.1988年7月27日—8月3日在匈牙利首都布達佩斯舉行的“第六屆國際數學教育會議”將“數學直觀”作為分組課題之一進行深入探討.使學生學會用直觀、聯想的方法理解數學，從直觀上領悟數學命題的來龍去脈，主動發現問題，達到真正領會，在一定程度上有助于學生創造力的培養.美學專家認為，簡單性是美的標志，數學的簡單性意味著“規律性、協調性和形式上的統一性.阿達瑪發展了龐加萊的數學發明心理學，闡明了美的意識與人腦創造性思維活動的深刻聯系.追求簡單性的意愿有利于激發創造發明的心智能力.”[10]“數學中的美是數學真理的光輝，對美的追求是科學創造的內驅力之一.”[11]徐利治先生回憶起西南聯大求學歲月時講道，許先生開設微分幾何課程，“第一次上課就對我們說，微分幾何不過是微積分的一種應用而已，而主要工具是泰勒級數展開，再用一點兒初級代數計算.”[10]體現了許先生“良工示人以樸”的教學觀點.許先生的課堂，將思想與形式完美地結合，每每吸引眾多學子.他的學生回憶說：“許先生堅持深入淺出，毫不回避困難.沉著、明確而又默默地獻身于學術的最高目標和最高水平，這種精神吸引了我們.”[12]

在證明方法上，許先生追求初等的證明，他認為初等的方法比艱深的方法在數學教學中更有意義.故在選擇證明方法時，力求簡潔，將問題剖析清楚后(分析問題時，強調要有一種“內視”的能力)，問題解決便水到渠成.同時重視特例分析、數學概括和抽象方法，以此培養學生“不怕計算”和“樂于計算”的習慣，從計算中發現規律并提煉一般性公式，使學生學會從特殊到一般的方法.

在教學和科研中，許先生十分注重對青年學者進行抽象的訓練.他說：“數學中的抽象能力是重要的，一些問題經過抽象之后，不僅問題簡單明了，而且它的實質也更清楚了.”[13]表面上看起來毫不相干的內容，經過抽象后得到本質是一樣的.回顧歐拉、高斯、龐加萊等大數學家的工作，他們都一致重視抽象、計算、觀察、歸納和分析等的重要作用.數學所研究的對象是形式化了的思想材料，顯示出某種程度的抽象性，數學中的概念、原理、方法、規律等也都是抽象的結果.抽象的知識對以形象思維為主、抽象思維較弱的學生來講，帶來了較大的挑戰，如何在具體內容與抽象之間架設一座橋梁，成為數學教學的重要環節.數學直觀可以很好地解決這一問題.鑒于“數學是由于現實世界的實際需要而形成的，只有密切聯系實際的數學才能使學生將所學的知識與現實結合，數學教育一旦脫離了豐富多彩而又錯綜復雜的背景材料，就將成為無源之水，無本之木.”[14]學生對所學內容的認識、理解及抽象概括其本質，是抽象思維的出發點，從此出發，而后離開它，擺脫它.再一次體現“良工示人以樸”在教學中起到的重要作用.

3 許寶騄與西南聯大

1940年的中國正經歷劫難，人民處于水深火熱之中，為了民族解放許先生毅然回國，到“白晝則群蠅密集，黃昏則一燈如豆”的昆明鄉下西南聯大數學系任教.當時的他雖然很年輕，但卻已經很有名氣，并努力為數學新生代的成長儲備力量.許先生在西南聯大任教時期，不僅生活艱苦，資料也很貧乏.“他吃著‘滲泥砂而煮不熟的黑米飯’和‘無油的清水茶’，偶爾‘打牙祭’，沒有鍋釜，用臉盆代替，盛了雞豚煮食，算是珍饈，許先生喜稱‘吃臉盆’.白天要‘跑空襲’，晚上在斗室的油燈下從事科研工作.”[15]就是在如此惡劣的環境下，許先生仍堅持完成其科學論著，并于1941年在英美等國的學術刊物上一連發表5篇數學研究論文，令人肅然起敬.

數學系當時資料的匱乏程度，從楊武之先生的描述中可見一般：“九年之間連英美各方贈送者在內，不過兩百本耳，其中且多不適用者，雜志則英美出版者較多，1940年以后便難續到.”[16]鑒于條件的限制，許先生曾手抄過E.C.Titchmarsh的整本《函數論》，授課則大多自編講義，課程講義大多以討論班上的講稿為藍本整理而成，其講稿對當今數學教學工作仍有很大的參考價值.如《馬氏過程》、《點集拓撲》、《多元分析》和《抽樣論》等都是經過精心選材整理而成，并具有鮮明的特點.其中，《抽樣論》經孫山澤的整理，由北京大學出版社于1982年出版，并榮獲國家教委優秀教材獎.許先生憑借頑強的毅力進行科學研究及教學工作.

許先生工作嚴謹，備課極為認真，講授條理清晰.在西南聯大理學院算學系工作的五年間，為大學生開設了諸多專業課程，包括專業必修課程和專業選修課程.其課表如表1所示：

表1 許寶騄在西南聯大理學院算學系的課表

注：該課程表根據《國立西南聯合大學校史——1937至1946年的北大、清華、南開》(北京大學出版社，1996年)等文獻整理而成. 高等微積分甲組為工學院設，乙組為理學院設. 數理統計甲乙課程必須同選，其預修課程為高等微積分.

由表1可見，許先生在西南聯大所講授的必修課有初等微積分Ⅲ、近世代數、微分幾何等.其中，初等微積分所用教材一般選用W. F. Osgood的Introduction to the Calculus(1922)，Smith、Granville&Lonely的Differential and Integral Calculus或R.Courant的Differential and Integral Calculus.近世代數所用教科書一般選用B.L.vander Waerden的Moderne Algebra.微分幾何選用Graustein的Differential Geometry或V.Veblen and J.H.C.Whitehead的The Foundation of Differential Geometry.許先生為本科生和研究生開設的選修課程，包括數理統計、傅立葉級數與積分、微積分Ⅳ、高級算論等.其中，為分析學方向本科四年級與研究生開設的選修課程有傅立葉級數與積分；為概率論方向三、四年級學生及研究生開設的選修課有數理統計(甲乙)，且其先修課程為高等微積分(必修課)，也由許先生講授.“許先生開設的數理統計課程，國內尚屬首次系統講授.”[17]

許先生很關心新一代學者的成長，每當青年學者取得科研成果時，他總是十分高興并認真指導，連標點符號也不放過，努力把青年學者帶到科研前線，在戰亂中譜寫教書育人的動人樂章.他的學生中有鐘開萊、冷生明、王壽仁(1)改革開放后，王壽仁先生招收了第一批碩士研究生(3人)，馬志明院士便是其中一位.許寶騄先生開創了中國的概率統計學科，并為概率統計的傳承做出奠基性工作.等，都在各自的領域發揮了重要作用.許先生在西南聯大時期，在統計學多元分析數學理論方面做出了若干處于世界前沿的工作.在1941—1945年教育部舉辦的第五屆學術評議活動中，許先生的數理統計研究榮獲教育部二等獎.1942年6月3日，當時的新中國數學會舉行茶會，慶祝西南聯大理學院教授華羅庚、許寶騄榮獲自然科學類學術獎金.

老舍1941年來昆明時曾見到許先生，并給他留下了深刻印象，說他“年輕，瘦瘦的，絕頂聰明.”[18]徐利治先生回憶起1941—1945年在西南聯大數學系學習的歲月，恰逢“數學三杰”在此工作，名師們對其數學治學經驗產生了重要影響，徐先生總結為六點：“一是培養興趣，二是追求簡易，三是重視直觀，四是學會抽象，五是不怕計算，六是喜愛文學.”[10]這些經驗，正是西南聯大數學名師留給后輩的寶貴財富.

4 結語

許寶騄一生心系教學與科研，嚴謹治學，誨人不倦，在艱苦條件下仍能堅持不懈地追求科學，為中華民族人才的培養做出了卓越貢獻.許先生的數學貢獻屬于世界級的，為表彰許先生為數學發展做出的卓越貢獻，1984年以他的名字設立了統計數學獎(注：該獎于1984年由國內外學者鐘開萊、鄭清水、徐利治發起，鼓勵不超過35歲的青年數學工作者，為推進統計數學的發展做出了貢獻.作為Neyman最杰出的一位中國學生，許先生得

到其高度贊賞，在Neyman眼中，“許先生和Wald是在同一個水平上——他們是新成長一代中兩位卓越的數理統計學家.”[1]許先生為人謙和，談吐高雅，淡泊名利，敬業教書，對學術高標準、嚴要求的科研精神感染了一代學子.他十分關心數學的普及工作，《數學通報》中的一些題目常引起他很大的興趣.許先生終生未娶，把一生全部獻給祖國的科研和教育事業，為祖國的科學發展奮斗到生命最后一息.這種獻身祖國、獻身科學的精神值得后輩學者永遠學習.2019年恰逢西南聯大在昆明建校81周年，僅以此文表示對他的深切緬懷.