高考題怎樣改編（三）
——導數篇

蘇 玖

一、真題展現

（2019全國Ⅰ卷理科第13題）曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為________.

二、思維延伸

本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，切點處的導數值為切線的斜率，能求嗎？

改編1 已知曲線y=（x2+ax+1）ex在點（0，f（0））處的切線y=kx+b過點（1，-1），則a+b的值為_______.

本題利用待定系數法求解a，b，k的值，但也有僅僅找出制約關系.如果曲線上兩點處的兩條切線存在某種位置關系的條件，也可以改編為取值范圍問題.

改編2 已知a，b為常數，若函數f（x）=asinx+bcosx的圖象上存在兩點A，B，使得在A，B兩點處的切線互相垂直，求a+b的取值范圍.

本題關鍵就是通過兩條切線互相垂直建立a2+b2=1，在此條件下研究含有a，b的函數式的取值范圍或最值問題.當然也可以通過一條切線和一條法線與坐標軸相交產生新的目標函數，于是有：

改編3 已知函數f（x）=lnx的圖象對應曲線C，過C上任意一點A作切線l，再過點A作與l垂直的直線m，設l，m與x軸的交點分別為M，N，求線段MN中點的橫坐標的最大值.

本題通過切線與法線與x軸相交產生線段中點，又是利用導數求極值的方法研究中點橫坐標的最小值，在求解過程中，要利用幾何直觀發現極值點.以上都是兩條直線產生新的目標函數，但也可以由一條切線與兩條直線相交，研究三角形的面積等.

改編4 已知函數f（x）=x+的圖象為曲線C，在點T（x0，f（x0））處的切線l與y軸的交點為A，與直線y=x的交點為B，O為坐標原點，求△AOB的面積.

前面幾道題都是過曲線上某一點處作切線，也可以過不是曲線上的點作切線.

改編5 已知函數f（x）= （x+1）ex的圖象為曲線C，求過點（1，0）作曲線C的切線方程.

這道題就是通過切線過已知點，建立方程，求得兩解，從而產生兩條切線，有沒有可能產生三條切線的呢？

改編6 已知b＞a＞0，函數f（x）=x3-3x對應曲線C，過點（a，b）作曲線C的切線l，試探求有三條切線的充要條件.

三、點撥解析

真題解析：因為y=3（x2+x）ex，所以y′=3ex（x2+3x+1），

因此，當x=0時，y′=3，于是y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線斜率k=3，所以，切線方程為y=3x.

改編1解析：因為f′（x）=（x2+（a+2）x+a+1）ex，f（0）=1，于是f′（0）=a+1，因此，切線方程為y-1=（a+1）x.又因為，切線過點（1，-1），于是，-1-1=a+1，即a=-3，即切線方程為y=-2x+1，因此，b=1，所以a+b=-2.

改編2解析：因此f（x）圖象上任意一點的切線的斜率取值范圍為.設A處的切線斜率為k1（k1≠0），因為兩點處的切線互相垂直，因此，B處的切線斜率為于是有且所以,即a2+b2=1.利用基本不等式，得因此，所以，a+b的取值范圍為

運算策略很多，如利用三角換元法求a+b的取值范圍.設a=sinθ，則b=cosθ，于是，）因此，a+b的取值范圍為還可以利用直線與圓的位置關系求解，設a+b=t，圓心O到直線a+b-t=0的距離為所以.當然還可以利用方程思想結合判別式求解等等.

改編3解析：設切點A（x0，lnx0），因此切線l的方程為y-lnx0，直線m的方程為y-lnx0=-x0（x-x0），令y=0，分別得xM=x0-設線段MN中點為T，即有令函數于是，），因此，當0＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x＞e，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，所以，當x=e時，g（x）有最大值故線段MN中點的橫坐標的最大值為

改編4解析：因為于是，在T點處的切線方程為.令x=0，得；令y=x，得x=2x0，即因此，點B到y軸的距離為所以，

改編5解析：設切點為T（x0，y0），因為f′（x）=（x+2）ex，于是切線斜率為f′（x0）=因此切線方程為y-（x0+1）ex0=（x0+2）ex0（x-x0）.又因為，切線過點（1，0），因此有解之得，所以，切線方程為y=或

改編6解析：設切點為T（x0，x30-3x0），因為f′（x）=3x2-3，于是，在T點處的切線方程為y-x30+3x0=（3x20-3）（x-x0）.又因為過點（a，b），因此，2x30-3ax20+3a+b=0.因為切線有三條，于是切點有三個，即上述方程有三個解，令g（x）=2x3-3ax2+3a+b有三個不同零點.

g′（x）=6x2-6ax，令g′（x）=0，得x1=0，x2=a，列表討論，g（x）的極大值為g（0），g（x）的極小值為g（a）.g（x）有三個零點的充要條件為g（0）＞0且g（a）＜0，即3a+b＞0且-a3+3a+b＜0，所以-3a＜b＜a3-3a，故充要條件為-3a＜b＜a3-3a.

本題是研究過某一點作函數圖象的切線條數，問題轉化為求新函數的零點個數，即利用導數求出極大值M和極小值m.三個零點的充要條件為M與m異號；兩個零點的充要條件為M與m之積為零；一個零點的充要條件為M小于零或m大于零.

四、回顧悟道

本組高考改編題是從一道簡單的求切線方程出發，進行不斷的改編：

一是變更題干，在函數解析式和切線方程中設置參數，利用待定系數法求解；

二是變換函數圖象上兩條切線的位置關系，如平行、垂直、傾斜角互補等，尋找解析式中的參數等式關系，然后再變更待求目標，如二元函數式的取值范圍、最值等問題；

三是要區分在曲線上某一點處的切線和過某一點的切線，探求過某一點作曲線的切線條數；

四是研究由曲線上切線所形成的相關圖形的面積等最值問題，通過曲線上某一點處切線與法線（與切線垂直的直線）所產生新的問題.

五、小試牛刀

（2019年全國Ⅱ卷文科第10題）曲線y=2sinx+cosx在點（π，-1）處的切線方程為（ ）

A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0

（改編1）_______

（改編2）______

（改編3）_________

（改編4）________

改編意圖：可以改編函數的解析式，如正（或余）弦函數與x一次函數的線性組合、對數函數的復合形式、指數函數的復合形式等等，也可以由已知切線方程求解析式中的待定系數，還可以求兩條曲線的公切線方程，還可以研究曲線的一條切線與過切點的法線與x（或y）軸交點的中點問題等等.

（改編1）曲線y=2cosx-x在點（0，2）處的切線方程為______.

（改編2）已知曲線y=aex-2xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y=-x+b，則（ ）

A.a=e，b=-2 B.a=e，b=2 C.a=e-1，b=-2 D.a=e-1，b=2

（改編3）已知函數f（x）=ex的圖象對應曲線C，過C上任意一點A作切線l，再過點A作與l垂直的直線m，設l，m與y軸的交點分別為M，N，求線段MN中點的縱坐標的最大值.

（改編4）求曲線C1：y=lnx和曲線C2：y=xlnx的公切線方程.

解析

原題解析：求出原函數的導函數，得到函數在x=π時的導數，再由直線方程點斜式得答案.

由y=2sinx+cosx，得y′=2cosx-sinx，因此y′|x=π=2cosπ-sinπ=-2，所以曲線y=2sinx+cosx在點（π，-1）處的切線方程為y+1=-2（x-π），即2x+y-2π+1=0.

故選C.

改編1：由題意，可知：y′=-2sinx-1，因為y′|x=0=-2×0-1=-1.

曲線y=2cosx-x在點（0，2）處的切線方程：y-2=-x，

整理，得：x+y-2=0.故答案為：x+y-2=0.

改編2：y=aex-2xlnx的導數為y′=aex-2lnx-2，則在（1，ae）處的切線方程為y=（ae-2）x+2，由在點（1，ae）處的切線方程為y=-x+b，可得ae-2=-1，b=2，解得a=e-1.

故選D.

改編3：設A（x0，ex0），f′（x）=ex，于是切線l的方程為y=ex0x+ex0-ex0x0，直線m的方程為令x=0，依次得因此，線段MN的中點T的縱坐標為.令其導數為列表討論知，當x=1時，h（x）有最大值為），所以，線段MN中點的縱坐標的最大值為

改編4：設C1上切點為A（x1，lnx1），C2上切點為B（x2，x2lnx2）.對于C1，因為因此在A點處的切線方程為對于C2，因為y′=1+lnx，因此在B點處的切線方程為lB：y=（1+lnx2）x-x2.兩條曲線的公切線實質就是lA與lB重合，其充要條件為且lnx1-1=-x2，消去得，，即ex2-1-lnx2-1=0.令h（x）=ex-1-lnx-1（x＞0），則再令則，因此k（x）在 （0，+∞）上單調遞增.由于k（1）=0，因此，當0＜x＜1時，k（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上單調遞減；當x＞1時，k（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在 （1，+∞）上單調遞增，所以，當x=1時，h（x）有最小值0，即y=h（x）有唯一零點x=1，即x2=1，所以，x1=1.故公切線方程為y=x-1.

解題回顧求曲線上某點處的切線方程，先求函數導數，利用某點處導數的幾何意義就是切線斜率，然后代入直線的點斜式方程，即可得到切線方程.