解析幾何中含定比分點問題的解法分析

南京市第九中學 張榮彬

已知P，A，B是直線上的三個點，若則稱P為有向線段AB的定比分點.

在解析幾何中，同學們經常會遇到含定比分點的問題.此類問題的表面特征常常是帶有向量的等式，因此解決的方法就是“去向量化”，將問題轉化為幾何或代數（坐標）的形式來解決.

一、解法展示

例1已知曲線E：ax2+by2=1（a＞0，b＞0），經過點M（m，0）的直線l與曲線E交于點A，B，且

分析先看第（1）問：

思路1：因A，B兩點均在圓上，故A，B兩點的坐標均滿足圓的方程，于是有消去y1解得x1=回代得所以

思路2：由題意可知，直線l與x軸不垂直，所以可設直線l的方程為y=k（x-1），聯立方程組消去y得 （1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，由韋達定理得將x2=3-2x1代入得x1+x2=3-x1=消去x1可解得

思路3：因AB是圓E的一條弦，如圖1，可使用垂徑定理，取AB的中點D，則OD⊥AB.設OD=d，MA=t，則MB=2t，DM=因OM=1，OB=2.所以

圖1

設l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，則解得

再看第（2）問：

仿（1）的思路2將直線y=k（x-1）與橢圓的方程聯立消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，同樣可解；

能否用幾何的方法將本題用（1）中的思路3完成？橢圓中可沒有垂徑定理啊，失望之余突然又看到希望：原來點M（1，0）恰好是橢圓的右焦點，如圖2.設橢圓的右準線為s，過A，B分別向s作垂線，垂足分別是A1，B1，設AM=t，則BM=2t，因橢圓的離心率由橢圓的第二定義得AA1=2t，BB1=4t，再過點A作AD⊥BB1于D，則BD=2t，在Rt△ABD中，tan∠ABD=于是

圖2

二、方法歸納

求解含定比分點的問題，主要就是使用上述例1中的三種方法：

1.通過定比分點發現幾何關系，利用平面幾何或圓錐曲線的有關知識完成；關系2，.

利將用定曲比線分上點點轉的化坐為標相滿關足點曲間線的方坐程標，列出3方.程將組相求關解點；所在直線與曲線的方程聯立，借其助轉韋化達思定路理消可元用完圖成3.所示的流程圖表示.

圖3

由于題目條件呈現的方式不同，在遵循以上解題思想的基礎上，對于方法的選擇及某些細節的處理上會有所變化.

三、變式應用

例2如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內的一點.設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且求直線AB的斜率.

圖4

分析因為橢圓的離心率為，所以，即

因此橢圓的方程可化為5x2+9y2=5a2，則A（-a，0）.設B（x1，y1），C（x2，y2）.則由得（x1+a，y1）=，所以.因為點B和點C都在橢圓5x2+9y2=5a2上，所以算可得直線AB的斜率

本題的求解也可從向量關系中獲取AB∥OC，OC=2AB的信息，通過設斜率，求弦長來完成，顯然其計算量較大.

四、反饋拓展

以向量為載體的定比分點問題面廣量大，題型也靈活多變，有時定點未知，有時比值未知，有時會出現多個定比的現象，其解決方法大同小異，為了讓同學們能更好地把握，需要再次強化：

方法1是幾何法.從向量關系中可讀出特殊的點，特殊的比值，此法簡捷，為第一選擇；

方法2是設點法.根據向量等式寫出兩點坐標關系（橫和縱）?分別代入曲線方程?解方程組求出點的坐標，如例1和例2.在使用這個方法時同學們往往會畏懼求解二元二次方程組，事實上這個方程組往往較容易轉化為一元一次方程求解，要掌握其中的玄機；

方法3是設k法.設出直線方程?將直線與曲線方程聯立?使用韋達定理?利用由向量翻譯出來的坐標關系（橫或縱）?消元解出k.

有時，題目中出現的定比關系是“假”的，僅僅是表面的外衣，可以直接無視；有時題中并沒有出現上面所說的定比分點問題，但根據解題需要也可以把它轉換到這個解題套路中來，從而不斷擴大自己成熟的解題領域.計