挖掘考題功能，學會思考類比
——以一道圓錐曲線高考題的探究為例

江蘇省揚州市新華中學 王梅蓉 龔海濱

在一次拓展課課后作業中，同學們仔細研究了下面這個問題：

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

對于第（2）問同學們形成了五種各具特色的解題思路.

一、思路分析

思路1 利用斜率之和為0

當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；當l與x軸垂直時，因為OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；當l與x軸不重合也不垂直時，如圖1，根據圖形的特征，把要證的∠OMA=∠OMB轉化為直線斜率之間的關系kMA+kMB=0.設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系以及斜率公式依靠代數運算即可證得結論.

圖1

思路2 利用角平分線性質

當l與x軸不重合也不垂直時，如圖2，設點O到直線MA，MB的距離分別是d1，d2，直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則MA：y1x+ （2-x1）y-2y1=0，MB：y2x+（2-x2）y-2y2=0.根據角平分線的性質，將要證的∠OMA=∠OMB轉化為證明d1=d2，即證再將直線與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系即可證得結論.

圖2

思路3 利用三角函數值相等

當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），要證∠OMA=∠OMB，只要證tan∠OMA=tan∠OMB，如圖3，過A點作AA′⊥x軸，垂足為A′，過B點作BB′⊥x軸，垂足為B′，又只要證，即證以下同思路2.

圖3

思路4 利用三角形相似

當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），如圖3，過A點作AA′⊥x軸，垂足為A′，過B點作BB′⊥x軸，垂足為B′，要證 ∠OMA=∠OMB，只要證△MA′A∽△MB′B，又只要證即只要證以下同思路2.

思路5 利用向量數量積

當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），運用向量的數量積公式將∠OMA和∠OMB看成是對應的兩向量的夾角，則∠OMA=即證兩邊平方，化簡得以下同思路2.

二、探究解疑

學起于思，思起于疑.常有疑點，常有問題，才能常有思考，常有創新.一道數學題解出答案并不是解題思維活動的結束，而是更深入探究的開始.

問：點M是個特殊點嗎？它的背后是否有一些我們沒有發現的東西呢？

哦，原來點M恰好是橢圓右準線與x軸的交點.于是我們有如下結論：

結論1設AB是過橢圓的焦點F（c，0）（c＞0）的弦，M為橢圓的右準線l與x軸的交點，則MF平分∠AMB.

問：再回顧以上幾種思路，是否可以將其優化呢？

不難發現，我們可以將思路4優化一下，借助于橢圓第二定義來證明三角形相似.

圖4

證明：如圖4，過A，B兩點分別作右準線l的垂線，垂足分別是A1，B1，則從而又因為由 ∠AA1M=∠BB1M=90°，知△AA1M∽△BB1M，從而 ∠A1AM=∠B1BM，所以∠AMF=∠BMF，則MF平分∠AMB.

上述這種解法靈活運用了圓錐曲線的第二定義，取得了簡捷、合理的解題效果.學好數學最重要的法寶就是對數學概念的精通.

“特殊化和類比是獲得發現的偉大源泉”，類比可以引領我們提出新問題、發現新結論、開創新方法.

問：橢圓、雙曲線、拋物線有很多相似的性質，雙曲線和拋物線的焦點弦是否也有同樣的性質呢？

關于雙曲線、拋物線的焦點弦與相應準線同學們可以猜想并證明如下性質：

結論2設AB是過雙曲線的焦點F（c，0）（c＞0）的弦（點A，B都在雙曲線的右支上），M為雙曲線的右準線與x軸的交點，則MF平分∠AMB.

結論3設AB是過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點）的弦，M為拋物線的準線與x軸的交點，則MF平分∠AMB.

問：能將上述結論中的圓錐曲線的焦點一般化嗎？例如，在結論1中，若將F（c，0）變為橢圓內定點P（m，0），則點M的坐標又是什么？MP平分∠AMB仍然成立嗎？

結論4如圖5，設P（m，0）為橢0）內一定點，過點P作直線交橢圓于A，B兩點，若直線與x軸交于點M，則MP平分∠AMB.

將結論4類比到雙曲線、拋物線可以得到同樣的結論：

結論5已知雙曲線過點P（m，0）（m＞a）作直線交雙曲線于A，B兩點（點A，B都在雙曲線的右支上），若直線x=與x軸交于點M，則MP平分∠AMB.

圖5

結論6過拋物線y2=2px（p＞0）的對稱軸上的任意一點P（m，0）（m＞0）的作直線與拋物線交于A，B兩點，點M是點P關于原點的對稱點，則MP平分∠AMB.

通過探究，我們感受到了圓錐曲線的和諧美和統一美，學會了類比、猜想、證明等科學研究的方法.與圓錐曲線有關的問題一般都是非常有趣的，值得研究的，如能深入其中，我們一定會被它形式的美妙、內容的和諧所吸引，流連忘返，美不勝收！

高考題有很強的代表性，我們在研究高考題時要深挖問題的本質，重視和加強對問題的拓展、引申和變式研究，最大可能地讓其功能得到充分的發揮，這才是學習之本.過程往往比結果更為重要，探索問題的意義已經遠遠超過了問題解決的本身.學習數學就應該這樣勇于探索，敢于創新！