一個“奇怪”解法引發的探究

江蘇省天一中學 查曉東

無錫市第六高級中學 張 鋼

前段時間，筆者在期末復習課上選擇了一道經典模擬題作為典型例題，旨在引導同學們在處理解析幾何問題時，關注參數選擇的合理性.而所謂的“合理”也往往是仁者見仁智者見智的，恰恰就有一位同學給出了一種“奇怪”的解法.細細琢磨發現，其解法從理論上看切實可行，只是莫名其妙的產生了“增解”.筆者通過一番探究，解釋了“增解”產生的原因，并由此得到了一個不錯的結論，現與同學們分享.

一、探究起源

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的右頂點和上頂點分別為A，B，線段AB的中點為M，且

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知a=2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥DC.

記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值.

圖1

1.常規視角

解析：（1）

（視角1：“設點”）設C（x0，y0），則CD代入橢圓方程整理得

2x2-2（x0+2y0）x+（x0+2y0）2-4=0，又x20+4y20=4，可得x2-（x0+2y0）x+2x0y0=0，

（視角2：“設線”）設CD將代入橢圓方程整理得

x2-2mx+2m2-2=0?x1+x2=2m，x1x2=2m2-2.

將x1=2m-x2代入得到（定值）.

【評注】視角1巧妙地利用點在橢圓上，將x20+4y20=4作為整體，視角2則巧妙地利用x1與x2的關系進行替換，根據分母的結構進行配湊，應該說這兩種方法是參數的“合理”選擇.然而，一個學生給出了如下解法：

2.“奇怪”視角

解析：（2）假設直線AD，BC的方程分別為y=k1（x-2），y=k2x+1，D（x1，y1），C（x2，y2），

將AD方程代入橢圓方程得x2+4k21（x-2）2=4?（1+4k21）x2-16k21x+16k21-4=0，解得

將BC方程代入橢圓方程得x2+4（k2x+1）2=4?（1+4k22）x2+8k2x=0，解得

所以32k21k22+16k1k2（k1-k2）+4k2-4k1-2=0?（4k1k2-1）[4k1k2+2（k1-k2）+1]=0，

所以4k1k2-1=0或4k1k2+2（k1-k2）+1=0.

【評注】上述解法看似十分“暴力”，其實根據“設而且求”的思想將C，D兩點的坐標分別用k1，k2來表示，最后利用來找到k1，k2的關系，也應該算是一種“合理”的解法.只是為何產生4k1k2+2（k1-k2）+1=0這個“增解”，著實費了一番功夫.

經過思考，筆者發現-32k21k22-32k21k2-8k21+8k22-8k2+2=-2[4k1k2+2（k1-k2）+1]·[4k1k2+2（k1+k2）-1]，這樣就不難解釋為什么4k1k2+2（k1-k2）+1≠0了，換言之，上述解法進行了不等價變形.至此，學生提出的疑惑得以解決.然而，筆者卻意猶未盡，進一步探究發現當4k1k2+2（k1-k2）+1=0時，C，D兩點重合，相信這絕非偶然，因此筆者給出了如下結論.

二、探究結果

考慮到：橢圓上任意一點P與橢圓長軸的兩個端點A，B（點P異于A，B）有kAP·kBP為定值，當A，B為短軸的兩個端點時，結論也成立.我們可以聯想，當A與B，一個為長軸端點，另一個為短軸端點時，是否會有類似的結論呢？

結論：如圖2，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，P為橢圓上任意異于A，B的一點，設直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，則

證明：設P（x0，y0），則

將a2y20=a2b2-b2x20代入，

圖2

【評注】類似地，我們還可以得到：①當A，B分別為橢圓的左頂點與下頂點時，有相同的結論；②當A，B分別為橢圓的右頂點與下頂點（或者A，B分別為橢圓的左頂點與上頂點）時，有

雙曲線中是否存在類似的結論呢？有興趣的同學可以嘗試探究.

三、結語

古云“學而不思則罔，思而不學則殆”，同學們要學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界.在筆者看來，同學們解題不僅需要“仰視”，也需要“俯視”.

1.解題視角替代不了解題經驗

本文中談及的例題恰恰是站在“參數的合理選擇”的視角來總結處理解析幾何問題的方法.然而，要真正駕馭這些方法，同學們除了對方法有深層次的理解，還需要有大量的解題經驗，以及各種解題視角下的不斷嘗試、失敗、再嘗試.正所謂“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”，講的就是“仰視”的道理.

2.解題反思豐富解題經驗

本文“奇怪”視角中談及的“增解”產生的原因說明：在解題過程中，同學們需要時刻關注代數式結構轉換的等價性.必要的解題回顧與反思也就是“俯視”，不僅能加深同學們對問題的本質及其解法的進一步理解，同時也能夠培養同學們解題的科學與嚴謹.