導函數為指（對）數、三角函數等形式的分類討論

南京市教學研究室 龍艷文

導數這一章節的重點問題為利用導數研究函數的單調性和極（最）值問題.導函數為指（對）數、三角函數等形式，且無法直接求出零點和單調性時，需要對導函數進行二次求導，從而需要對二次求導的導函數進行分類討論.我們通過對一組問題的歸類研究，從各種復雜的分類中找出共同規律，提煉出有章可循的分類途徑和方法，從而構建導函數為指（對）數、三角函數等形式的分類討論的解題思維模式結構圖.

一、解題思維模式形成

例1設函數f（x）=ex-1-x-ax2.若x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：由f（x）=ex-1-x-ax2，

得f（0）=0，f′（x）=ex-1-2ax.

令G（x）=f′（x）=ex-1-2ax，

則G（0）=0，G′（x）=ex-2a.

優先判斷f（0）=0，求導f（x），令G（x）=ex-1-2ax，要判斷G（x）的零點，需判斷G（x）特殊點的正負和單調性

令H（x）=G′（x）=ex-2a，

則H（0）=1-2a，H（x）在（0，+∞）上單調遞增.

求導G（x），令H（x）=ex-2a，要判斷H（x）的零點，需判斷H（x）特殊點的正負和單調性

① 當1-2a≥0，即a≤時，

所以x∈（0，+∞）時，H（x）＞0，即G′（x）＞0，

所以函數G（x）在（0，+∞）上單調遞增.

因為x∈（0，+∞）時，G（x）＞G（0）=0，即f′（x）＞0，

所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

當x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，

所以當a≤時，滿足條件.

由H（0）≥0和H（x）遞增，結合H（x）圖象，判斷G（x）遞增.再由G（0）=0，判斷G（x）在（0，+∞）上恒正

② 當1-2a＜0，即a＞時，

令H（x）=0，得x=ln2a.

所以當x∈（0，ln2a）時，H（x）＜0，即G′（x）＜0，

所以函數G（x）在（0，ln2a）上單調遞減.

因為x∈（0，ln2a）時，G（x）＜G（0）=0，即f′（x）＜0，

所以函數f（x）在（0，ln2a）上單調遞減，

當x∈（0，ln2a）時，f（x）＜f（0）=0，

所以當a時，不滿足條件.

由H（0）＜0和H（x）遞增，結合H（x）圖象，判斷G（x）在（0，ln2a）上單調減.再由G（0）=0，判斷G（x）在（0，ln2a）上恒負，故f（x）在（0，ln2a）上單調遞減.

綜上，a的取值范圍（-∞，].

二、解題思維模式構建

三、解題思維模式應用

例2（2019全國Ⅰ卷文科）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x.若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解：設F（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-x-ax.

由x∈[0，π]時f（x）≥ax恒成立，即F（x）=2sinx

xcosx-x-ax≥0恒成立，

則F′（x）=cosx+xsinx-1-a，

且F（0）=0，F（π）=-aπ.

令G（x）=F′（x）=cosx+xsinx-1-a，

則G（0）=-a，G（π）=-2-a，且G′（x）=xcosx.

優先判斷F（0）=0，求導F（x），令G（x）=cosx+xsinx-1-a，要判斷G（x）的零點，需判斷G（x）特殊點的正負和單調性

調遞增；

調遞減；

① 當a≤-2時，G（π）≥0.

當x∈（0，π）時，G（x）＞0，則F（x）在（0，π）上單調

遞增.

所以F（x）min=F（0）=0.

所以當a≤-2時，F（x）≥0對x∈[0，π]恒成立.由G（π）≥0和G（x）單調性，判斷G（x）無零點，從而G（x）恒正

②當-2＜a≤0時，

G（0）=-a≥0，G（π）=-2-a＜0，

存在x0∈（，π），使得G（x0）=0.

當x∈（0，x0）時，G（x）＞0，所以F（x）在（0，x0）上

單調遞增；

當x∈（x0，π）時，G（x）＜0，所以F（x）在（x0，π）上

單調遞減.

因為F（0）=0，所以F（π）=-aπ≥0，則a≤0.

所以當-2＜a≤0時，F（x）≥0對x∈[0，π]恒成立.

由G（0）≥0，G（π）＜0和G（x）單調性，判斷G（x）存在零點，從而判斷零點兩側G（x）的正負

當x∈（0，x1）時，G（x）＜0，所以F（x）在（0，x1）上單調遞減.

因為F（0）=0，所以x∈（0，x1）時，F（x）＜0，

由G（0）＜0，和G（x）單調性，判斷G（x）存在零點，從而判斷零點兩側G（x）的正負

當x∈（0，π）時，G（x）≤0，則F（x）在（0，π）上單調遞減.

因為F（0）=0，所以x∈（0，π）時，F（x）＜0.

綜上，a≤0.

注：利用F（π）=-aπ≥0，得a≤0，可減少分類討論.

四、解題思維模式練習

1.已知函數f（x）=-2xlnx+x2-2ax+2a-1.若x≥1時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

2.設函數f（x）=xex-asinxcosx（a∈R）.

（2）是否存在實數a，使得函數f（x）在區間）上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

3.（2019全國Ⅱ卷理科）已知函數f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a.

4.已知函數f（x）=cosx+ax2-1，a∈R.若對于任意的實數x，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

1.a≤0.2.（1）a的取值范圍是（-∞，1]；（2）不存在實數a，使得函數f（x）在區間]上有兩個零點.3.（1）略；（2）