輕松搞定用基本不等式求最值

江蘇省常州市第一中學(xué) 何 華

教材上直接給出定義：

這樣簡單的一個不等式，我們應(yīng)該如何提煉出其中的奧妙呢？應(yīng)用基本不等式可以來求某些函數(shù)的最值，那么在什么情況下會讓你想起用，并能正確使用呢？下面結(jié)合具體的題目來聊聊咱們?nèi)绾屋p松搞定.

題13）的最大值為____.

題2若則a+b的最小值是_______.

題3在如圖1所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為__________m.

圖1

題4若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+則cosC的最小值是_____.

莞然一笑見“正數(shù)”

應(yīng)用基本不等式求最值，要注意滿足條件（1）：“一正數(shù)”，即在使用基本不等式時，各項必須為正數(shù)或0.

題1中因為-6≤a≤3，故有3-a≥0，a+6≥0；題2中由于真數(shù)大于0有從而得到a＞0，b＞0；題3中正數(shù)條件是顯然的；題4需要用正弦定理與余弦定理化角為邊，正數(shù)條件也就顯然了（此時的心態(tài)是：我一見你就笑，你那正數(shù)條件太美妙，有你的出現(xiàn)，咱就聯(lián)想基本不等式）.沒有正數(shù)條件的，簡單，咱就轉(zhuǎn)化呀，化負(fù)為正唄！當(dāng)然，咱也要防止如下“腹黑”題的出現(xiàn).

“腹黑”題1求函數(shù)的值域.

●解當(dāng)x＞0時2，當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時等號成立.當(dāng)x＜0時，化負(fù)為正，-2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-1時等號成立.所以函數(shù)的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）.此題“黑”在x正負(fù)未定.

會心一笑尋“定值”

應(yīng)用基本不等式求最值，要注意滿足條件（2）：“二定值”，即使用基本不等式進(jìn)行放縮，最后所得到的值必須是一個定值.

題1中（3-a）+（a+6）=9，和為定值；題2中可變形得3a+4b=ab，則所以積為定值；題3中設(shè)矩形的另一邊長為y，則，所以x+y=40，和為定值；題4要進(jìn)行轉(zhuǎn)化得，有積為定值.看到有定值條件的，咱就要會心一笑了，這定值條件太美妙，有你的出現(xiàn)，基本不等式.應(yīng)用基本不等式解題方法多樣，技巧強(qiáng).有些還需要將所給表達(dá)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃闻c轉(zhuǎn)化，然后才能使用基本不等式來求最值.

“腹黑”題2已知x＜2，求f（x）=的最值.

分析由x＜2，可得分母2x-4=2（x-2）＜0（一笑），分子上也可以配方得到（x-2）2+1，再對函數(shù)式進(jìn)行分離可得，出現(xiàn)積為定值（二笑）.

●解當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時等號成立，故有最大值-1，沒有最小值.

回眸一笑驗“相等”

應(yīng)用基本不等式求最值，要注意條件（3）：“三相等”，即使用基本不等式時，等號必須能夠取到.如果a，b是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）.

“腹黑”題3求函數(shù)的最小值.

分析直接用基本不等式時，等號成立的條件為，即x2=-3，無解，所以等號不可能成立（此時的心態(tài)是：我回眸一笑，哼，想“黑”我，沒門！），故不能直接用基本不等式求最小值，需另辟蹊徑.當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)或不存在時，就不能使用基本不等式求出最值，而是根據(jù)變量的范圍用函數(shù)的單調(diào)性或用導(dǎo)數(shù)法求解.

●解令則2），易證函數(shù)在t∈[2，+∞）上是增函數(shù)，所以t=2時，即x=0時

“腹黑”題4若正數(shù)x，y滿足2x+y=1，求的最小值.

錯解因為1所以故的最小值

●分

●析這里，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時等號成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，這兩個式子不可能同時成立，因此不是最小值（此時的心態(tài)是：我回眸一笑，想“黑”我，還是沒門！）.一道題，多次利用基本不等式，要檢驗等號成立的條件是否相同，否則等號不成立.

正解，當(dāng)且僅等號成立.又2x+y=1，聯(lián)立可解得故的最小值為

好了，前面的三個條件可以簡稱為：一正二定三相等.上面的三笑，你了解了嗎？咱們再來完整回顧一下解答過程.

題1：因為-6≤a≤3，所以y=，當(dāng)且僅當(dāng)3-a=a+6，即時等號成立，故答案為.

題2：由，得3a+4b=ab，則所以（a+b）·當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故其最小值是

題3：由圖形關(guān)系可知三角形相似，設(shè)矩形的另一邊長為y，則所以x+y=40，又有當(dāng)且僅當(dāng)x故=矩y形時面等積號最成大立時，x則x的+值x為=2400.，即x=20，

題4：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則由正弦定理得故當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.