從簡單到夏雜
——名副其實的基本不等式

沙國祥

數學中，被冠以“基本”二字的定理、公式、法則屈指可數，不然就對不起這“基本”的意思了.基本不等式b≥0），就是其中之一.我們來看看其“基本”之處究竟在哪兒.

首先，除了基本不等式，還有一些比較重要的不等式，可以由此推演而來.如：

都能用基本不等式加以證明，可見，基本不等式不愧為基本中的基本！

例如，sinθ+cosθ（θ∈R）的最大值是_____.由于sinθ與cosθ之間有基本的平方和關系sin2θ+cos2θ=1，所以，由可得因此.當時，所以sinθ+cosθ可取最大

你看，對sinθ+cosθ（θ∈R）我們一時難以下手，但你必定知道相關的等式sin2θ+cos2θ=1，要充分利用！于是，自然想到將sinθ+cosθ平方，得 （sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，這時，出現了sinθ和cosθ的乘積sinθcosθ，由基本不等式得2sinθcosθ≤sin2θ+cos2θ=1，所以（sinθ+cosθ）2≤2，

其次，基本不等式可直接或經過變形后用于證明不等式或求函數的最值等問題.

我們來看這樣的例子：

對于第（1）問，該函數的定義域為（1，+∞），直接利用基本不等式，可得y≥2，且x=2時，y的最小值為2.

對于第（2）問，該函數的定義域為（1，+∞）.若要利用基本不等式，須將拆成兩部分，使其乘積為定值.向分母靠攏，得

這不就轉化成問題（1）了嗎？

又如，設x為銳角，求

這個不等式的左端很有意思，三種基本三角函數sinx，cosx，tanx齊上陣，如果直接用基本不等式，是得不到結論的（你不妨一試）.我們利用三角公式化簡，設法減少異名三角函數的個數：

再運用基本不等式立得結論.

再次，基本不等式的運用隱身于各種復雜的方程、函數問題的求解中.

例如，已知a＞b≥c≥0，且則a+b+c=___________.

這道題很特別，給出了一個十分復雜的方程，其中有三個未知數，乍看非常嚇人！你可能會有疑問：能夠一石三鳥，求出a，b，c的值嗎？再說，條件給出的是一個方程，哪里有基本不等式的影子呢？

我們退一步來看一個簡單的類似問題（學數學時，我們常常從簡單的問題悟出道理，再將其用于解決復雜的問題）：已知a2+（b-1）2+（c-2）2=0這一個方程，就能夠一舉確定三個未知數a，b，c的值.這個方程好強悍！它有什么特別之處呢？注意：當a，b，c都是實數時，a2≥0，（b-1）2≥0，（c-2）2≥0，所以a2+（b-1）2+（c-2）2≥0，等號當且僅當其中的三個完全平方式都為0時才成立，即當a2+（b-1）2+（c-2）2=0時，必有a=b-1=c-2=0，a=0，b=1，c=2.

等號當且僅當a（a-b）=1，ab=1，a-2c=0時成立，又a＞b≥c≥0，解得a=則

回顧一下，我們利用基本不等式，由簡單到復雜（或有時先化復雜為簡單，再從簡單到復雜），解決了一些比較復雜的不等式、函數問題.好比一條小溪，不斷彎曲流淌，沿途匯入無數小溪、小河，直至變成大河大江，雖浩浩蕩蕩、波浪翻滾，其源頭卻是清晰、簡單的.