單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

蘇州市吳江盛澤中學(xué) 吳敏強(qiáng)

我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，老師一定告訴過你：

對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增；如果在某區(qū)間上f′（x）＜0，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

對(duì)于這個(gè)結(jié)論，你也一定背得滾瓜爛熟了，那么我想問一句，這是為什么呢？

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的判斷我們手邊的方法有：

1.畫出函數(shù)圖象，直觀判斷；

2.利用函數(shù)單調(diào)性的定義.

我們先來回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù).如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù).

在之前的文章中我們提到過，這個(gè)定義是可以修正改進(jìn)的，如下：

然后，我們?cè)賮砜纯磳?dǎo)數(shù)是怎么回事？導(dǎo)數(shù)的定義如下：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），當(dāng)Δx→0時(shí)，比值則稱f（x）在x=x0處可導(dǎo)，并稱A為f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù).

對(duì)于一個(gè)結(jié)論，想要認(rèn)識(shí)清楚，原命題研究完后，研究其逆命題、否命題，對(duì)辨析概念效果甚佳.

原命題：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增；

逆命題：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么f（x）在該區(qū)間上f′（x）＞0.

逆命題是真命題還是假命題呢？答案：假命題.

反例：f（x）=x3，在定義域R上單調(diào)遞增，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2，很顯然當(dāng)x∈R，f′（x）≥0恒成立，可見上述逆命題是不正確的.那教科書的描述錯(cuò)了嗎？沒有，教科書沒錯(cuò)，只是f′（x）＞0并不是y=f（x）單調(diào)遞增的充要條件，而僅僅是充分條件而已.

那好，現(xiàn)在我們對(duì)它進(jìn)行修正，我想你一定會(huì)這樣做，把等號(hào)加上去.

命題1：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）≥0，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增.

上述命題比之前的原命題更加完備，但還是存在缺陷，下面我用具體函數(shù)來說明，如圖1：

圖1

大家可以很容易通過計(jì)算得到上述分段函數(shù)分別在區(qū)間[0，2），（2，4）和（4，+∞）上是可導(dǎo)的，且在各區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0恒成立，而圖象中間一段是水平線，所以整個(gè)圖象并不是單調(diào)遞增的.這說明什么？

問題還是出在f′（x）=0的那些點(diǎn)上，上述函數(shù)f′（x）=0的點(diǎn)是連續(xù)的，形成了區(qū)間，于是就有了一段不增的函數(shù)段，換言之，f′（x）=0不能形成區(qū)間！

命題2：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）≥0，且f′（x）=0的點(diǎn)不能形成區(qū)間，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增.這個(gè)命題是充要的！

這個(gè)等號(hào)是很重要的.

最后看一個(gè)習(xí)題，來體會(huì)下等號(hào)的重要性.

解答：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以f′（x）=x2+2bx+（b+2）≥0在R上恒成立，且f′（x）=0的點(diǎn)不能形成區(qū)間，故4b2-4（b+2）≤0，解得-1≤b≤2.

可見這個(gè)等號(hào)是需要的.

對(duì)于概念的理解我們不能知其然不知其所以然，更不能局限于死記硬背，我們要有打破砂鍋問到底的精神！數(shù)學(xué)，讓我們無(wú)所畏懼！