古老的
——聲數學音文，化原近創代題（三的）呼喚

江蘇省天一中學 孫承輝

數學文化是貫穿整個高中數學的重要內容.目前，以數學文化為背景的試題越來越頻繁地出現在各類考試中，這些試題構思巧妙、內涵豐富，既考查數學知識和能力，又加深了學生對古今中外數學文明的了解.下面筆者結合自己命制的一道數學文化試題，談談命題的背景及感想.

一、原創題展示

原創題《周易》包括《經》和《傳》兩個部分，《經》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中國古代的二進制計數的思想方法.我們用近代術語解釋為：把陽爻“ ”當作數字“1”，把陰爻“ ”當作數字“0”，則六十四卦所代表的數表示如下：制數；

卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤images/BZ_6_723_1791_764_1852.png000000 0剝images/BZ_6_723_1884_764_1947.png000001 1比images/BZ_6_723_1979_764_2041.png000010 2觀images/BZ_6_723_2073_764_2135.png000011 3

（2）若某卦的符號由四個陽爻和兩個陰爻構成，求所有這些卦表示的十進制數的和；

（3）在由三個陽爻和三個陰爻構成的卦中任取一卦，若三個陽爻兩兩相鄰，則記5分；若只有兩個陽爻相鄰，則記2分；若三個陽爻均不相鄰，則記1分.設任取一卦后的得分為隨機變量X，求X的概率分布和數學期望.

二、題目的解答

本題的解法如下：

●解（1）“否”卦表示的二進制數是000111，相應的十進制數是1×20+1×21+1×22+0×23+0×24+0×25=7；“泰”卦表示的二進制數是111000，相應的十進制數是0×20+0×21+0×22+1×23+1×24+1×25=56.

（2）四個陽爻和兩個陰爻一共可以構成C46C22=15個卦，在對應的15個六位二進制數里，每個數位上的1都出現次，所以，所有這些卦表示的十進制數的和是（20+21+22+23+24+25）×10=630.

（3）三個陽爻和三個陰爻一共可以構成C36=20個卦，其中三個陽爻兩兩相鄰的卦共有4個，只有兩個陽爻相鄰的卦有A24=12個，三個陽爻彼此不相鄰的卦有C34=4個卦.所以，隨機變量X的概率分布列為

概率分布表為

X 1 2 5 P 1 5 35 15

三、題目的命制背景

命制這道試題時，筆者正在閱讀易中天的著作《中國人的智慧》，書里介紹了《周易》與二進制之間的關系.德國數學家萊布尼茲曾在一份手稿中這樣寫到：“1與0，一切數字的神奇淵源.這是造物的秘密美妙的典范，因為，一切無非都來自上帝.”因此，筆者以六十四卦和二進制計數為背景進行命題.

考慮到學生對《周易》和二進制不一定很了解，所以題干對兩者進行了闡述.《周易》中的卦是由陽爻“ ”和陰爻“ ”構成的，二進制的思想是將陽爻“ ”當作數字“1”，把陰爻“ ”當作數字“0”.六十四卦中的每一卦含有六個爻，所以與一個六位二進制數一一對應，也就與十進制下0～63的每個自然數一一對應.為了便于學生理解，題目以表格的形式，給出了四個特殊的卦（坤、剝、比和觀）的卦號與相應的二進制數、十進制數之間的互相轉化.

第一小題主要考查學生對題意的理解程度.“否極泰來”是學生們非常熟悉的成語，但對其蘊含的否卦和泰卦是哪種形式可能不甚了解，所以該小題給出了它們的卦號，要求先轉化為二進制數，再轉化為十進制數.只要理解了題干的意思，這一小題是非常容易解答的.同時，這小題也讓學生更加深刻地理解為什么“否極”就能“泰來”.

第二小題研究由四個陽爻和兩個陰爻構成的卦，也就是把四個相同的1和兩個相同的0排成一排，根據排列組合的知識，共有種情況.如果把這些情況一一列舉出來，再求它們的和，運算量顯然較大.因此，可以先考慮六位二進制數的每個數位上1出現的次數，例如，這樣的二進制數，已填的1表示十進制數1×22，其余空位上應該再填三個相同的1和兩個相同的0，共有種情況，所以，上圖中已填的1所表示的總和為22×10.以此類推，所有15個卦表示的十進制數的和是（20+21+22+23+24+25）×10=630.這一小題告訴我們，遇到復雜問題時，不妨從特殊情況入手，找一找解題的規律，必要時可以分類討論，將問題分解成若干個小目標后逐個擊破.

第三小題在第二小題的基礎上，將兩組相同元素的排列問題變成概率分布問題.該小題是將三個相同的1和三個相同的0排成一排.對于三個1兩兩相鄰，可以采用捆綁法，相當于捆綁后的1與三個相同的0排列，共有4種情況；對于只有兩個1相鄰，可以采用插空法，三個0形成了4個空，將兩個相鄰的1和另一個不相鄰的1插到這4個空，共有A24=12種情況；對于三個1均不相鄰，只需將這三個1插到三個0形成的4個空，共有C34=4種情況.然后，根據以上的結果即可求出隨機變量X的概率分布.這一小題難度適中，主要運用簡單的排列組合知識解決概率分布問題.

總體來說，這道題可以考查學生的閱讀理解能力，要求學生讀懂題中的數學文化背景，同時運用類比推理解決二進制與十進制問題，以及運用排列組合解決簡單的計數問題，從而體現能力立意.

四、題目的文化背景拓展

“易有太極，始生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦.”兩儀指的是陰陽，一陰一陽謂之道.陰陽相生相克，也可以相互轉化，例如，同樣是山，山之北稱陰，山之南稱陽；水則相反，水之北稱陽，水之南稱陰，江陰就是在長江的南面.單純的陰或單純的陽不可能存在，物理中也有這種現象，比如一個磁體無論多么小都有兩個磁極（N極和S極）.

《周易》用上述兩儀即陽爻“ ”和陰爻“ ”建立起了符號系統，然后生成了四象、八卦和六十四卦.它用最簡單、最樸素的符號推演形成了一套理論，這與公理化體系何其相似！經歷了漫漫歷史長河，六十四卦里的一些詞語早已融入到我們的日常生活，除了題目中的成語“否極泰來”，還有“三陽開泰”、“革故鼎新”、“天行健，君子以自強不息”（乾卦）、“地勢坤，君子以厚德載物”（坤卦），等等.又如，“窮則變，變則通，通則久.”因時因地而思變化，《周易》的變易思想可謂創新思想的源頭活水.

題目中提到《周易》所蘊含的二進制，是由德國數理哲學大師萊布尼茨于1679年發明的，他曾驚嘆：“易圖是流行于宇宙間的科學中最古老的紀念物.”二進制也是現代計算機內信息的表示原理.20世紀30年代，“計算機之父”馮·諾依曼提出采用二進制作為計算機的制數基礎.從二進制的原理來看，它只有1和0兩個狀態，能夠表示開關的接通和斷開、電位電平的高低、邏輯代碼的真和假等，而且二進制的運算法則少，運算簡單，例如十進制乘法九九口訣有45條公式，而二進制乘法只有四條公式，這些優點使計算機運算器的結構得以大大簡化.

由此可見，古老的《周易》跨越時空，與二進制攜手為現代文明賦予了新的意義.因此，我們在學習數學時，既要了解數學的知識、思想、方法，也要了解它們的形成和發展，更要了解它們在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義.