習題設計漸臻數學猜想能力培養

周偉杰

摘要：猜想—驗證—應用是當前小學數學課堂教學的主流模式，可這種隨處可見的“猜想課堂”因為依托基礎薄弱、數理邏輯違和、視域局限狹窄、表達方式單一等問題，影響了學生猜想能力培養的正面展開。本文以翔實的習題課例研究為載體，圍繞數學猜想內容的設計、數學猜想時機的選擇、數學猜想方法地展開這三個方面展開論述，進一步闡明了數學猜想能力培養的重要性。

關鍵詞：習題設計? ?數學猜想能力? ?培養

猜想，是一種不確定的預見，更是一種想象。數學猜想則是數學思維不斷發展的媒介，是學生數學學習的基本能力之一。在當前的數學課堂教學中，因為存在猜想依托基礎薄弱、數理邏輯違和、視域局限狹窄、表達方式單一等諸多問題，影響了學生數學猜想能力培養的正面展開。因此，要想實現“猜想課堂”，教師必須以學生的思維操作為基礎，以實際應用的分析與驗證嘗試為動力，以“猜想—驗證—應用”的科學認知定位為目標，從多層面、多角度激發學生的創新能力和探究潛能。

一、基點：數學猜想內容的設計

教會學生猜想的第一步是設計數學猜想的內容，因為一個優質猜想內容的設計，能讓學生在動態聯系的過程中，有意識地對知識的真偽先判斷再選擇、先猜想再驗證，通過多種感官的參與，獲得自身需求的最大化。在課堂教學中，教師應合理選擇和運用相關的教學素材，通過多種教學方法，設計新穎、實效的猜想內容，這也是豐盈“猜想課堂”的重要方式之一。

1.因“境”而生的數學猜想

在設計猜想內容時，教師必須兼顧數學教學資源的科學性，通過多種情境創設的載體作用，為猜想氛圍提供充足的時間和空間，促進學生預見性思考的形成。

案例一：植樹問題

片段呈現：

教師說：“植樹節到了，希望小學給五（2）班布置了綠化植樹的任務，校門口到食堂的路程長30米，要求五（2）班的學生在路的左側每隔6米植一棵樹，猜一猜，他們班一共植了幾棵樹？

學生1說：“5棵。”

學生2說：“我覺得是6棵。”

教師問：“還有其他不同的想法嗎？”

學生3說：“我覺得可能是4棵。”

教師問：“這么多的猜測到底誰的想法是正確的呢？大家能用自己喜歡的方法證明一下嗎？”

本課教學旨在通過猜測、驗證（操作），讓學生理解植樹問題的三種關系，并運用這種關系模型解決日常生活中的其他問題。因此，在本課教學中，教師融入了新穎的生活情境，為學生提供了猜想的平臺，讓學生在相互爭論中認識到數學驗證的必要性，提高了學生的自主參與度，并感受了數學問題隱藏的趣味性。

2.因“疑”而生的數學猜想

問題是數學學習的起因，是知識獲取的經過，更是知識運用的最終結果。教師利用問題引起學生猜測的本能，不僅能引導學生快速、準確地接受知識，還能在解決問題的過程中，促使學生形成猜想意識，提高學生積極思考問題的能力。

案例二：三角形的分類練習

教師出示課件，如圖1所示：

圖1

教師問：“有3個三角形被紙遮住了一部分，你能快速判斷出那是什么三角形嗎？”

學生1說：“A是鈍角三角形，B是鈍角三角形，C是直角三角形。”

教師問：“你們都是這樣想的嗎？”

學生2說：“我覺得B也可能是直角三角形。”

教師問：“哦，說說你的想法？”

學生2說：“因為有一個角是直角的三角形是直角三角形，如果我們看到的這個角剛好是直角三角形中兩個銳角中的一個，那它不就是直角三角形嗎？”

教師問 ：“其他同學有什么想說的嗎？”

學生3說：“我贊同他的想法。這個可能是存在的，而且我想補充，這個三角形也可能是鈍角三角形。”

教師問：“通過這個的練習，你們有什么話想說？”

學生1說：“只看到一個銳角，并不一定是銳角三角形。”

學生2說：“判斷一個三角形的類型最好要確定兩個角。”

小學生的思維活動是獨特又具有個性化的，經常會有許多奇思妙想，但有時他們的猜想往往缺乏理論依據，這就需要教師隨時調整問題，引導學生根據提供的練習素材，通過想象和對比，運用一些數學解題方法，對新情況、新問題做出具有一定方向的、有理有據的猜想。本案例教學旨在通過三角形分類的練習，進一步理解各種三角形的特征，培養學生的邏輯推理能力。在本教學案例中，教師利用三個被遮住一部分的三角形讓學生進行辨析。為了讓學生學會全面地思考問題，教師通過“你們對他的想法有什么想說的”這一問題，將學生的猜想引到合理的方向，規避學生不切實際的猜想，達成練習的最終目標。

二、焦點：數學猜想時機的選擇

數學學習最初級的思維過程是指學生能最簡單地分析、推理、探究一些數學表象，然后捕捉新知識的生長點，這樣的能力可以廣義地稱之為猜想。猜想不是一種臆想，它除了以一定素材為載體，還需要以時機上的合理安排為依托，通過追溯學生猜想背后的想法，探究活動開展的立體面。

1.因操作萌發的數學猜想

天性好玩的小學生和抽象的數學學習之間存在很大的差異性，為了減少這樣的差異性，在數學練習過程中，教師應給學生提供大量實踐操作的機會，有目的、有組織地讓學生觀察和操作，檢驗猜測的科學性。這樣一來，不僅可以滿足學生的好奇心，還可以引導學生在觀察操作中進行合理猜想。

案例三：長方形和正方形的認識

片段呈現：

教師問：“同學們，你們猜一猜長方形的四條邊之間有什么關系？”

學生1說：“上下兩條邊長一些，左右兩條邊短一些。”

學生2說：“上下兩條邊一樣長，左右兩條邊一樣長。”

教師說：“我們來驗證一下這些猜想正確嗎？你們有什么好方法能證明嗎？請小組之間交流一下，選擇最恰當的方法來驗證自己的猜想。”

學生3說：“我們組的結論是四條邊兩兩相等。我們選擇了用直尺測量，結果發現兩條長邊是10厘米，是相等的。兩條短邊是7厘米，也是相等的。”

學生4說：“我們想到折一折的方法，把長方形上下對折，結果發現上下兩條邊完全重合，說明上下兩條邊一樣長。接著，又左右對折，發現也是重合的，證明兩條短邊一樣長。”

教師說：“通過量一量、折一折，我們驗證了長方形的對邊相等。看來猜測固然重要，但驗證也很重要。”

科學研究證明，教師應允許學生借用自己的經驗基礎進行大膽的假說創造。在數學課堂教學中，教師必須深入思考如何開發學生的猜想能力。在本教學案例中，學生在教師的引導下進行了多種合理猜想，接著以小組合作交流的方式進行了實踐活動（操作驗證），通過尺子量、圖形對折的方法，讓每個學生都調動多種感官參與學習活動。在整個探究過程中，學生不僅享受了學習的快樂，還探究了新知。

2.因聯想激發的數學猜想

猜想是一種創造新思維，每個人都有猜想的潛力，為了充分發揮學生的潛在能力，教師必須培養學生從數學角度觀察和思考遇到的問題，并運用所學知識解釋數量關系與空間形式的能力。因此，教師要采取多種教學方法激活學生學習的內驅力，挖掘學生的潛能，以相應的習題為載體，不斷強化學生的思維習慣，促使學生迸發出創新的火花。

案例四：四邊形的分類綜合練習

片段呈現：

教師問：“信封里是一個四邊形，猜一猜可能是什么形狀？（露出一個銳角）”

教師問：“你能猜出它是哪種四邊形嗎？會是長方形和正方形嗎？為什么？（露出一個直角）”

教師問：“它會是什么形狀呢？可能是平行四邊形嗎？如果露出的這個角是鈍角呢？”

教師問：“我們繼續猜，我這里的一個平面圖形可以剪成高相等的一個直角三角形和一個直角梯形，你們猜一猜，這個平面圖形原來是什么形狀？”

在本教學案例中，教師以“猜圖形”的游戲情境作為習題呈現的載體，通過層層遞進的問題情境進行串聯，讓學生自覺聯系原有的知識儲備，合理猜測不同四邊形的特征。學生在加深理解四邊形知識的同時，也掌握了利用“遷移”的方法、“遷移”的思考方式來解決問題。

三、落點：數學猜想方法的展開

在數學教學中，教師反對將簡單、有限的知識聚合視為學生學習的終極目標，而是提倡通過漸進式的處理方式，培養學生的猜想能力，教會學生正確的猜想方法，并結合數學習題讓學生從多角度汲取知識，發展數學思維，同時運用學到的知識解決實際問題。

1.因練習衍生的數學猜想

少鋪墊，少過程，是當前教材呈現出的軟肋之處，這會讓學生覺得數學知識如嚼“頑石”，難以理解。因此，教師要從練習課的題源入手，進行二度開發，降低學生的學習難度，并借助新舊知識間的矛盾沖突，形成多次鋪墊，創設“豐厚”的內隱，讓學生在此基礎上學會正確的猜想。

圖2

筆者設計了一道練習題，如圖2所示，以5個裝有糖果的禮盒為學習的媒介，教師借用建構主義的教學觀分層展開，設計了框架式的題組，猜一猜每個禮盒里有多少顆糖果，以幫助學生正確地展開猜想。

在第一層練習時，教師先讓學生無序地猜測每個盒子中糖果的顆數，并試著讓學生列出相應的乘法算式。在廣泛獲取信息的基礎上，學生通過討論、歸納發現了規律：雖然猜的顆數不一樣，但都有5個幾，就可以用乘法算式5×（）來表示。緊接著，教師確定每盒的顆數是7，如果有9盒、20盒、100盒……n盒，進而引導學生試著列出相應的乘法算式。在比較、歸結中，學生會發現雖然盒數都不一樣，都是表示有幾個7，就可以寫成7×（）。這樣一來，既拓寬了學生思維活動的空間，又溝通了相同加數與相同加數的個數知識間的聯系，將無形的數學思想方法以問題解決的方式加以鞏固，引領學生進行深刻地反思與提煉，感悟數學思想方法的價值性。

2.因總結拓延的數學猜想

數學思想方法是對數學知識的本質認識，雖隱于知識之中，卻無時無刻不主導著學生知識的形成與發展。可是，無形的數學思想方法最容易被教師忽視、隱藏，久而久之，就影響了學生知識的全面獲得。因此，在平常的數學教學中，教師要將猜想不斷延伸，深層次地挖掘教學素材背后的隱性思想方法，引領學生進行深刻的反思與提煉，感悟猜想方法的價值。如在教授新內容后，教師可以讓學生猜一猜以后可能學習什么內容，也可以猜想今天學習的內容有什么作用。這樣一來，不僅能激發學生對后面知識的學習興趣，還能讓學生的數學知識更具系統性和完整性。

教學過程是一個不斷變化的過程，正是因為有這樣或那樣的不確定，才使得知識獲得的過程更具生動性。猜想是數學思維和數學活動的重要方法，為了最大限度地發揮猜想的價值，教師要從實際出發，把控和創造各種猜想因素和時機，靈活運用科學的教學方法，引導學生進行合理有效的猜想，并在完整驗證的過程中，實現認知水平的提升和思維的飛躍。

參考文獻：

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（作者單位：浙江省天臺縣坦頭鎮中心小學）