加強數學實驗　促進深度學習

摘要：深度學習關注學生全身心積極參與、體驗成功、獲得發展。數學實驗調動學生各方面的經驗，促進學生手腦并用展開探索發現過程，是促進小學生數學深度學習的有效方式。數學實驗教學要增強趣味性、凸顯挑戰性，通過具體的活動引發學生的高階思維并持續加以運用，引導學生對實驗過程和所獲得成果的反思，在數學思想感悟和理性精神培育上也能獲得發展。

關鍵詞：數學實驗;深度學習

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）11A-0060-05

20世紀70年代，深度學習的概念引入教育領域，之后，相關研究成果不斷豐富。對小學數學來說，這樣的界定較為貼切：所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[1]。數學實驗這個概念進入小學數學的時間也不長，但小學數學歷來重視動手操作，鼓勵學生手腦并用、學用結合，這些學習方式是數學實驗的雛形。現在，一般認為，數學實驗是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知和非認知因素參與下進行的一種發現數學規律、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動[2]。

數學實驗是小學生學習數學的重要方式，也是促進小學生數學深度學習的重要路徑。通過數學實驗，在教師的引導下，學生全身心深度參與具有探索性、挑戰性、開放性的學習活動，在解決問題的過程中形成高階思維技能、數學思維方法，獲得數學活動經驗，通過積極反思、自我評價將這些技能、方法、經驗內化為自身的素養，提升能力，提振信心，獲得發展。

一、數學實驗引導學生全面投入，在情智互促中積極參與

人的深度學習是一種整體的學習狀態，是學習者全身心投入的過程……它既是一個信息加工的過程，同時還是一個充滿著情感、意志、精神、興趣的過程[3]。數學實驗正是這樣的一個過程，它通常以一個具有趣味性或挑戰性的問題為起點，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，情感與智慧相互促進，全身心地投入數學學習活動，深度參與有意義的學習過程。

1.增強數學學習的趣味性，促進思考

興趣是最好的老師，想讓學生全身心投入學習，在學習起始階段，想方設法激發學生的興趣是一種十分有效的策略。當然，興趣不僅應在學習起始階段發揮作用，它應貫穿于學習過程始終。同時，學習過程也應不斷強化并努力將其提升為持久的興趣、長遠的意志。數學實驗的材料直觀形象、可操作，能刺激學生的感官，誘發學生興趣和思考，基于這些材料提出恰當的問題，使學生不由自主地參與觀察、猜想、操作等活動，樂此不疲地展開數學思考。

比如四年級第一次學習“可能性”，教師出示兩個不透明口袋，告訴學生，每個口袋里都放著兩個球，形狀、大小、材質都一樣;指名一位男生、一位女生為代表，各用一個口袋做摸球游戲;每人每次從各自的口袋中任意摸一個球，摸出后放回，每人摸10次，誰摸到紅球次數多，誰就獲勝。游戲開始，學生注意力高度集中，男、女生都希望己方的代表能摸出紅球。5次后，有的男生開始說，“不公平，我們口袋里都是黃球”，后來這種聲音越來越多。游戲結束，男生、女生都迫不及待地說自己的猜想，“男生的口袋都是黃球，不可能摸出紅球”“女生口袋都是紅球，一定摸出紅球”。教師打開口袋，驗證了學生的猜想并提出問題：“口袋里怎樣放球，才是公平的？”學生們說：“放一個紅球、一個黃球。”于是，教師讓學生們進行小組摸球實驗，每組的口袋放一個紅球一個黃球，記錄10次任意摸球的結果。摸球結束，各小組展示自己的實驗記錄，說發現、談體會，“我們組10次摸球，5次紅球、5次黃球”“我們組6次紅球、4次黃球”“都是第一次摸球，5個組中有3個組是紅球，2個組是黃球”“這個組中間連續4次摸到紅球”……最后總結：“口袋里1個紅球1個黃球，任意摸1個，可能摸到紅球也可能摸到黃球，不能確定。”

可能性是概率知識的初步，是一個比較抽象的概念。摸球實驗（包括開始的演示游戲和后來分組實驗）創設了一個有趣的問題情境，將可能性的知識隱含其中。學生因好勝而投入，因好奇而思考，因體驗而感悟，情智互促，最后所交流的內容很好地反映出他們已經初步建構起對可能性的認知與理解。

2.凸顯數學學習的挑戰性，增強信心

正如蘇霍姆林斯基所說，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。對學生而言，發現、研究、探索的過程，就是一種不斷接受數學學習的挑戰的過程。通過數學實驗探索規律、驗證猜想、獲得發現，都是能體驗“跳一跳，摘到桃”的興奮感，獲得對學習本身的好感、對自我發展的滿足感，以及因教師、同伴贊賞而獲得的自豪感。

比如一年級教學“9+4”時，教師展示情景圖“盒子里有9個桃（盒子有10格，1格空著），盒子外面有4個桃”，啟發學生提出問題“一共有幾個桃”，并列出算式9+4。之前，學生能計算10以內的加法，這個題對學生來說有一定的挑戰性。教師引導學生通過數學實驗發現算法：發給每個學生一張畫有10格（2×5格）的紙和一些圓片;學生用圓片代替桃子，像情景圖那樣放好;然后思考“怎樣才能知道一共幾個桃？”并進行操作。有的學生這樣“數”：把格子里、外的桃合并起來，數出共13個;有的學生這樣“數”：盒子里有9個，盒子外從10開始數，10、11、12、13，共13個;有的學生“移”：把盒子外的1個移到格子里，湊滿10個，10和3合起來是13……通過交流，學生都“喜歡”第三種方法，并根據操作過程抽象出算法：把4分成1和3，9+1=10，10+3=13。

進位加算法的核心是“湊十”，算理的核心則是對位值制“十位上的1表示1個十，也是10個一”的理解。題目本身的情景提供了一個典型的實驗場景，具有暗示與啟發性。學生通過操作、思考，主動發現了算法，并從不同算法中比較出相對更優的方法。師生互動、生生互動中的相互欣賞、表揚、鼓勵，這些都不斷強化了學生的自信心。

二、數學實驗促進學生思維進階，在深度認知中體驗學習成功

數學教育要重點培養學生學科核心素養，包括學生的價值觀、必備品格和關鍵能力，而思維能力又是關鍵能力的核心。深度學習不能脫離學科內容而展開，更為重要的是，深度學習應確保學生能夠徹底地理解內容知識并能夠識別何時、如何和為什么運用這些內容知識去解決新的問題……其中，如何、為何與何時運用知識，表現為批判性、創造性、合作性地運用知識解決問題，體現了布魯姆教育目標分類學中的高階思維技能[4]。學習心理研究的成果表明，成功感是學生內部學習動機的重要因素。奧蘇伯爾認為，“成就動機是學習動機的核心”，并將成就動機區分為認知的內驅力、自我提高的內驅力和附屬的內驅力[5]。數學實驗作為小學生學習數學的一種方式，使學生有機會充分參與數學知識的發生和發展過程。在這樣的過程中，學生能運用與發展高階思維，在問題解決中主動建構新的認知結構，實現深度認知，體驗學習成功。

1.任務驅動，引發高階思維

高階思維是發生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力。一些旨在讓學生解決具有開放性、挑戰性任務的數學實驗，能讓學生在相關的觀察、操作、試驗、調整過程中保持注意力高度集中，展開如分析、綜合、評價和創造的高階思維活動。

比如，五年級學習“多邊形的面積”后，學生完成“動手做”的任務：畫一條線段把平行四邊形分成完全一樣的兩個部分。學生首先想到并畫出平行四邊形的對角線、對邊中點的連線。接著，教師提高任務要求，“仔細觀察，發現什么規律？還有其他畫法嗎？”有的學生發現這四條線段都經過同一個點（教師指出：這是平行四邊形的中心），并提問：“會不會經過這個中心的直線都符合要求？”教師讓學生試畫并把分成的兩個圖形剪下來比較，發現完全一樣。教師繼續讓學生完成任務：（1）用剛才的辦法把長方形、正方形、正六邊形分成完全一樣的兩個部分。（2）想辦法把下面的組合圖形（見圖1）分成面積相等的兩部分。學生很快解決了任務（1），對于任務（2），在教師指導下進行審題、討論，反復試驗、調整，也找到了方法，并總結出了相應的策略。

上述“動手做”的學習任務，具有開放性和挑戰性。具體的材料、簡潔的圖形，有利于誘發學生在觀察、操作中開展比較、分析、綜合、概括等思維活動，在不斷提出問題、解決問題的過程中，發現規律、提煉策略，促進思維進階。

2.自主探索，運用高階思維

如果說，任務驅動的數學實驗更多是在教師主導下的學生所進行的，那么自主探索的數學實驗更多是學生主體參與開展的。自主探索的數學實驗，是小學生主動發現和提出問題，自主設計并實施數學實驗，通過猜測、驗證，憑借數學直覺創造性地解決問題。在自主探索的數學實驗過程中，學生主動運用高階思維，高階思維的能力能得到鞏固和加強。

比如，六年級總復習“圖形的認識”中有這樣一個題：把下面的正六邊形分割成6個完全一樣的圖形。學生們嘗試、交流，找到了兩種分法：畫出對邊中點的連線，或者是對角線。教師用課件呈現了這兩幅圖（圖2、圖3），讓學生觀察，相互討論能否有新的想法。稍后，一個學生舉手發言：“對角線”的圖，6個正三角形，“合”成3個平行四邊形，每個平行四邊形用另外的方法二等分。受到啟發的其他同學紛紛動筆，又找到了2種分法（圖4、圖5）。教師問：“圖3、4、5有聯系，圖2、3之間的聯系能看出來、想出來嗎？”教室里安靜了一兩分鐘，有人發言：“把對稱軸“轉”一下。”教師取出六邊形教具和三根小棒，讓學生在黑板上，先擺出圖2的樣子，再將小棒同時“轉”動，到圖3的樣子。反復幾次，學生恍然大悟：同時“轉”三根小棒后停下來，得到6個四邊形，是完全一樣的。也就是說，有無數種的分法。教師用課件動畫演示，停留后出現圖6。

上述過程中，學生首先通過自主的動筆試驗得到基本方法，對圖形關系有了初步感悟，接著通過仔細觀察、相互啟發，由基本方法“變式”出新的方法，展現了一定的分析、綜合與評價能力，最后通過展開空間想象、運用運動變化的思維對兩種基本方法的聯系進行深度發現，得到一般性的方法。這個過程中，學生借助實驗的手段，對直覺思維的成果進行直觀驗證，具有創造的成分。

三、數學實驗推動學生自我反思，在感悟內化中實現全面發展

以加德納的多元智力理論為指導的全新的個性化的教學理念和最優的教與學的方式為我國素質教育的有效實施提供了良好的思路[6]，多元智力理論認為人具有“自我反省智力”，即個人認識、洞察和反省自身的能力。自我反省智力是學生實現深度學習的心理基礎。小學數學中，這種自我反省智力，更多地表現為學生對學習的自我反思。有效的自我反思是建立在學生對所要反思的活動、事件、認知過程等有充分體驗的基礎上的，有了這個基礎，學生不僅反思認識了什么，也反思是怎么認識的，同時強化伴隨學習過程所產生的積極情感體驗、態度養成，實現知識、能力與品格的深度協調與全面發展。

1.充分積累、感悟數學思想

小學生獲得基本的數學思想主要靠感悟。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，學生在積極參與教學活動過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。數學實驗課的開展使學生的認知方式有所改變，學生需要參與教學活動，親身體驗數學知識發生、發展的過程，每個學生都可以自由地、大膽地猜想和實驗驗證，享受數學發現的喜悅、感知數學思想形成的生動歷程[7]。小學生解決數學問題、感悟數學思想，既能加深對知識技能的理解和掌握，也能促進對數學知識、數學學習的正確認識。

比如，轉化是一種重要的數學思想。小學數學中，多次讓學生運用轉化的方法解決問題、發現規律，逐步把握各種轉化方法的本質，感悟轉化思想。其中，又有多次是通過動手實驗的方式進行的，并且每次實驗都會引導學生回顧反思，突出對轉化的認識，如五年級“多邊形的面積”教學中平行四邊形、三角形、梯形等的面積計算方法。學生面對新的問題，將平行四邊形沿著高剪開拼成長方形、將兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形、將兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，觀察實驗現象，思考轉化前后圖形的聯系，推理得到新的面積計算公式。之后，教師都會引導學生回顧：“剛才是怎樣得到平行四邊形（三角形、梯形）的面積計算公式的？有哪些體會？”經過連續多次的活動參與和體會交流，到梯形面積的學習結束后，學生對轉化思想的感悟達到一個新的高度，不僅初步體會到什么是轉化，如何根據問題選擇適當的轉化方法，還將三種面積公式都置于轉化思想的統領之下，增進對數學知識和數學學習的認識。

2.深度品味、升華理性精神

學生通過數學學習實現全面發展，與數學課程的學科特點、育人價值、基本任務相關。數學課程能使學生掌握必要的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展。其中，“情感、態度、價值觀的培養”是一個潛移默化的過程，即由理性思維逐步過渡到理性精神[8]。數學實驗幫助學生豐富感性經驗、強化直接經驗，充分調動人的各種感官發揮作用，刺激大腦活動，引發學生的創新思考，對具體的數學知識、對普遍的數學學習產生深刻的、積極的認知并經歷情感體驗。

比如，五年級教學“小數的意義”，讓學生通過小組合作實驗的方式，依次探索三個問題：①一棵小樹高0.7米，給你一根長1米的紙條，怎樣表示出小樹的長度？②如何在紙條上繼續表示出0.73米的長度？③0.736米呢？對第一個問題，學生同桌合作，把紙條平均分成10份，1份是1分米，7份是7分米，是1米的7/10，是0.7米。教師順勢讓學生認識0.1米到0.9米每個長度，并解釋意義。接著學生探索第二個問題，把紙條上0.7米到0.8米之間再平均分成分10份，相當于把1米平均分成100份，1份是1厘米，73份是73厘米，是1米的73/100，是0.73米。同樣的，教師也順勢讓學生認識并解釋如0.05米、0.74米等的意義。對第三個問題，有學生繼續動筆，有學生則直接開講，最后達成共識：0.73米和0.74米之間再平均分成10份，相當于把1米平均分成1000份，1份是1毫米，736份是736毫米，是1米的736/1000，是0.736米。經歷了這一探索過程，學生對于小數的多元表征（比如：聯系人民幣的進率解釋小數，把正方形10等分、100等分、1000等分來表示小數，把正方體10等分、100等分、1000等分來表示小數）、小數意義的歸納等感覺輕松、愉悅。更可貴的，最后教師問：“通過本課的學習，你有什么收獲、體會？”學生答：“小數就是‘1不斷平均分得到的;小數和分母是10的分數意義一樣;只要需要，我們可以得到小數部分位數更多的小數……這樣的認識，如果沒有充分參與實驗、操作、觀察、思考、交流，是很難獲得的;而這樣的認識，恰恰是思維由感性到理性、由具體到抽象的過渡。經常經歷此類活動，學生的理性精神將逐步得以發展。

總之，通過加強數學實驗促進學生的深度學習，使教學過程中教師的主導作用與學生主體作用的發揮更加協調統一，讓學生的學習更加注重手腦并用，更加凸顯已有經驗的激活與新經驗的積累，促進學生整個人（包括情感與理智）積極投入學習，去嘗試著發現得出新結論、學習難度較高的新技能、感悟更為一般性的新思想觀念，獲得學習成功的體驗，實現品格與能力、情感與智慧的全面發展。

參考文獻：

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[2]董林偉，石樹偉.數學實驗工具：助力初中生數學學習的應然選擇[J].數學通報， 2018（11）：1.

[3]吳永軍.關于深度學習的再認識[J].課程·教材·教法， 2019（2）：54.

[4]張良.深度教學“深”在哪里？[J].課程·教材·教法， 2019（7）：35-36.

[5]皮連生.學與教的心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2009：278.

[6] 鐘啟泉，崔允漷，張華.為了中華民族的復興，為了每位學生的發展[M].上海：華東師范大學出版社， 2001：246.

[7]董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社， 2013：53.

[8]鄭毓信.“數學深度教學”十講之一——從“數學教育目標”講起[J].小學數學教師， 2019（7/8）：10.

責任編輯：李韋

Mathematic Experiment and Deep Learning

LI Xin

（Wujiang Luxiang Experimental Primary School， Suzhou 215200， China）

Abstract： Deep learning pays attention to students wholehearted and active participation， experiencing success， and attaining development. Mathematics experiment can activate students all-round experience and promote their exploration and discovery with their hands and brains， which is an effective way to facilitate students deep learning in mathematics. Mathematics experimental teaching should strengthen interest and play up challenges. Besides， teachers may conduct concrete activities to trigger students advanced thinking continuously. Meanwhile， teachers should guide students to reflect on the experimental process and the achievements for their development in perceiving mathematics ideas and reasoning spirit cultivation.

Key words： mathematics experiment; deep learning

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度課題葉圣陶教育思想研究專項“小學數學實驗教學中兒童思維外顯化的實踐研究”（ YZ-c/2018/45）的研究成果。

收稿日期：2019-09-01

作者簡介：李新，蘇州市吳江鱸鄉實驗小學（江蘇蘇州，215200）校長，江蘇省特級教師，中小學高級教師。