求幾何最值，看轉化策略

張照國

在全國各地近幾年的中考中，平面幾何最值問題經常受到命題者關注。幾何中的最值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量發生變化，或幾何元素的某些幾何性質或位置關系發生變化，其中每個確定量（如線段長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或者最小值。由于這類問題具有極強的探索性，且目標不一定明確。此類問題的頻繁出現，讓很多同學束手無策，望而生畏。其實解最值問題的關鍵是結合題意，借助相關的概念、圖形的性質，將最值問題轉化或化歸為相應的數學模型進行理解與分析，一般都能找到相關的解決辦法。求幾何最值常見的基本方法：1.特殊位置與極端位置法;2.幾何定理（公理）法;3.數形結合法等。現結合近年中考試題特點進行剖析，希望能給大家一些啟示與幫助。

4.用轉化，化立體為平面

例4 圓錐底面半徑為10cm，高為10 cm，

（1）求圓錐的表面積;

（2）若一只螞蟻從底面一點A出發繞圓錐一周回到SA上一點M處，且SM=3AM，求它所走的最短距離。

思路點撥：利用底面半徑、高及母線組成的直角三角形構造勾股定理求出母線長，進而借助扇形面積公式求出表面積;螞蟻在圓錐表面上行走一圈，而圓錐側面展開后為扇形，故可在展開圖（扇形）上求點A到M的最短距離（即AM的長）。

注：對于立體圖形中要計算圓錐曲面上兩點之間的最短距離，一般把立體的圓錐的側面展開成扇形，轉化為平面圖形借助線段公理計算。將立體圖形轉化為平面圖形是初中階段常用的基本方法與思想。

5.引參數，化幾何為代數

例6 如圖，在△ABC中∠B=90?，AB=12cm，BC=24cm，動點P從A開始沿AB邊以2cm/s的速度向B運動，動點Q從B開始沿BC邊以4cm/s的速度向C運動，如果P、Q分別從A、B同時出發。如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動.當t為何值時， △PBQ的面積S最大，最大值是多少？

思路點撥：設時間為t，則PA=2x，BQ=4x，建立S，x的關系式，運用代數的方法求S的最大值.

注：數形結合法解幾何最值問題，即適當地選取變量，建立幾何元素之間的函數、方程、不等式等關系，再運用相應的代數知識方法求解。常見的解題途徑是：（1）利用一元二次方程必定有解的代數模型，運用判別式求幾何最值;（2）構造二次函數求幾何最值。