關于“最短距離”的問題探究

林印

人教八（上）數學《軸對稱》章末介紹了最短距離的探究，學生在應用過程中常常不知所措，無從下手，筆者從如下幾個方面歸類分析，希望給大家幫助。

一、基礎知識

1.兩點之間線段最短；

2.垂線段最短

3.三角形任意兩邊之差小于第三邊

二、基本模型

1.已知點A和點B分居直線兩側，在直線上找一點P，使PA+PB和最小

如圖1，根據“兩點之間線段最短”，連接AB交已知直線于點P，此時PA+PB和最小.

2.已知點A和點B分居直線同側，在直線上找一點P，使PA+PB和最小

如圖2先作點B（或點A）關于已知直線的對稱點 （點 ），再連接 （或 ）交已知直線于點P，此時 和最小。

3.已知點A和點B居直線同側，在直線上找一點P，使PA-PB差最大

如圖3作直線AB交已知直線于點P，此時PA-PB=AB差最大。理由：在已知直線上任取不同于點P的點 ，連接 和 ，根據“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可得 ，即PA-PB=AB差最大

4.已知點A和點B分居直線兩側，在直線上找一點P，使PA-PB差最大

如圖4先作點B關于已知直線的對稱點 ，再作直線 交已知直線于點P，此時 差最大。理由：在已知直線上任取不同于點P的點 ，連接 和 ，根據“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可得 ，即PA-PB=AB差最大

三、應用舉例

1.兩定一動模型

題目中出現兩定點，找一動點符合某要求時，往往先選一定點作關于動點所在直線的對稱點，再連接另一定點和此對稱點與這條直線的交點，該交點為所求。

例1，如圖5， 垂足為M、N，MN=12m，AM=5m，BN=4m，P是EF上任意一點，求PA+PB的最小值

解：如圖6作點A關于直線EF的對稱點 ，連接 ，此時 最小。過點 作 交BN延長線于點C，易知 ， ， ，在 中，由勾股定理可得 ，即PA+PB的最小值為15m。

2.一定兩動模型

（1）題目中出現一個定點，兩個動點時，且定點在練動點所在直線間時，通常先過定點分別作出關于兩動點所在直線的對稱點，再連接兩對稱點與直線相交得到的點即為所求。

例2，如圖7，點P為 內一點， ， ，點E、F分別是OA、OB上兩動點，求 周長的最小值

解：如圖8，分別作出點P關于OA、OB的對稱點 、 ，連接 交OA于點E，交OB于點F，此時 的周長等于 最小。連接 、 、 ，由對稱知， ， ， ，又因為 ，所以 ，所以 是等邊三角形，所以 ，故 的周長等于 最小值是5cm。

（2）題目中出現一個定點，兩個動點，且定點和一動點在同一直線上時，常先找定點關于另一動點所在直線的對稱點，再過對稱點作一動點所在直線的垂線，垂足和交點為所求。

例3，如圖9，在△ABC中，AB=AC=5，D為BC的中點，AD=4，P為AD上任意一點，E為AC上任意一點，求PC+PE的最小值

分析：AB=AC，D為BC中點，則AD垂直平分BC，PC=PB，PC+PE=PB+PE，當點B、P、E三點在同一直線上時PB+PE=BE最小，又由“垂線段最短”知，當 時，BE最短。

解：作 ，垂足為E，交AD于點P，

點D為BC中點

在Rt 中，AD=4，AB=5

，

故PC+PE的最小值是4.8。

（3）題目中出現一個定點，兩個動點，且定點在兩動點所在直線一旁時，往往直接過定點作較遠動點所在直線的垂線，交較近動點所在直線，垂足的對稱點和交點為所求。

例4，BD平分 點E、F分別為BC、BD上動點，AB=8， 的面積為20，求EF+CF的最小值

分析：因為BD平分 ，所以直線AB上總有一點 與點E對稱， ，所以 ，當 、F、C三點在同一直線上時， 最短，而

直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短，所以，當 時，垂足 的關于直線BD的對稱點E和交點F為所求。

解：如圖12，作 于點 ，交BD于點F，作點 關于直線BD的對稱點E ，點E一定在直線BC上，此時， 最短。因為 ，AB=8，所以 ，故EF+CF的最小值為5

3.兩定兩動模型

題目中出現兩定點，找兩動點符合三線段和最小時，經常先分別作出兩定點關于兩動點所在直線的對稱點，再連接兩對稱點，交兩動點所在直線形成的交點為所求的點。

例5，如13， ， ，點E、F分別為OA、OB上的兩動點，求CF+EF+DE的最小值

解：作點C關于直線OB的對稱點 ，作點D關于直線OA的對稱點，連接 分別交OA于點E，交OB于點F，此時 的值最小。由對稱知 ，所以 。在 中 ，因此CF+EF+DE的最小值為13。

課本習題“將軍飲馬”，以及“桌球問題”等都屬于此類。

當然，最短距離問題千變萬化，解決思路各有千秋，具體題目還需仔細分析，認真作答，筆者在此僅作拋磚引玉之淺論，望大家海涵。

如何在高中英語教學中滲透傳統文化

湖北省天門杭州華泰中學 徐彩云

十八大以來，習近平總書記多次強調中華傳統文化的歷史影響和重要意義，每一次講話都飽含著中華文化的深厚底蘊。教育部考試中心主任姜鋼在《中國高等教育雜志》刊登的文章《堅持以立德樹人為核心深化高考考試內容改革》透露，在高考命題工作中更加注重“四個加強”：加強社會主義核心價值觀的考查；加強依法治國理念的考查；加強中國優秀傳統文化的考查；加強創新能力的考查。

反觀近年全國卷真題，2013年I卷的“中國畫”、2013年II卷的“中國結”和2015年II卷的“重陽節”、 2018年I卷給新西蘭朋友介紹中國的作客禮儀均考查了“中國優秀傳統文化”這個話題；其中2015年II卷的“重陽節去敬老院”還考查“社會主義核心價值觀（孝敬老人）”這個話題。隨著對新課標理念及相關高考命題意見的深入落實，優秀的中華傳統文化加速融入高考考查范圍，并必將成為今后高考考查的新考點和新常態，使命題呈現出“卷有詩書氣自華”的勃勃生機。

鑒于此，在日常的高中英語教學中，教師應該有意識地有效地滲透中華傳統文化的教育，這樣不僅能有效激發學生的興趣，喚起學生的共鳴，還能更好地為教學服務。下面舉幾例說明。

案例一： 新課標人教版選修六Unit 4的話題是Poems，而詩歌在中華傳統文化中是最為璀璨的一部分。結合最近的火熱的文化節目《經典詠流傳》，選取其中鄉村教師梁俊老師帶著孩子們吟唱《苔》的視頻片斷作為課文的導入，樸實無華的畫面配著孩子們天籟般的聲音引起了學生們的強烈共鳴。這時老師不失時機地提問： “Do you like this song ？”“Do you know it is adapted from a famous Chinese poem by Yuan Mei ？”“Do you think that Chinese poems are so beautiful and emotional ？”“What do you think of while listening to this poem song？” 通過這一系列的追問，讓學生們油然而生對于燦爛的中華詩詞的熱愛，接著趁熱打鐵地告訴學生們，“There are also many fantastic English poems ，and if you like ，you can translate Chinese poems into English ，which will also be wonderful. Now let's learn some styles of English poems and try to learn how to create English poems of our own .”通過這一系列的對話活動，學生們學習English poems 的興頭十足，于是自然而然地進入了積極求知的狀態、通過一系列地閱讀活動，當學生了解了幾種簡單英文詩的格律之后，可以鼓勵他們創作自己的英文詩，尤其是引導學生將自己喜歡的中國古典詩詞用英文詩的格律翻譯出來。這樣既促進了英語的教學，又滲透了中華傳統文化的教育和傳播。

案例二：新課標人教版必修一Unit I 的話題是Cultural relics.其中Reading 環節介紹的是沙皇俄國的稀世珍寶Amber Room 的傳奇故事。前不久紅遍大江南北的央視文化大片《國家寶藏》生動傳神地演繹了中國上下五千年極具代表性的一系列國寶的前世今生。因此我們可以以此為切入點進行Reading部分的導入。王凱是青年學生熟悉喜愛的演員，他講述的“各種釉彩大瓶”的故事風趣幽默。教師選取其中的一段視頻首先讓學生觀看。然后告訴學生：“Wang Kai is acting as a national treasure keeper， who is telling us the Previous and Present life of the national treasure .Now there is a Russian treasure called Amber Room ，Which has similar legend .Do you want to learn about its story？ Now let's come to the reading passage.”整個閱讀過程以了解寶藏的前世今生為主線，對文本進行了充分的梳理。最后設計一個Discussion and debate 環節，以《絲路山水圖》在祖國積貧積弱時流失海外如今又奇跡般地回歸祖國的故事為楔子引導學生辯論。“Are you for or against the idea that we should bring back our lost national treasures with large amounts of money？”通過這個活動，激發學生的民族自豪感和保護傳承祖國優秀傳統文化的決心。

當然，傳統文化的滲透，應采取靈活多樣的形式，除視頻外，還可通過音頻、圖像、英語演講、英語話劇表演等方式，讓學生在欣賞中領悟傳統文化的魅力。

美國語言學家薩皮爾說過：“語言的背景是有東西的，語言不能離開文化而存在。”習近平總書記要求新時代的我們講好中國故事。而高中英語教學擔負著以英語為橋梁，讓學生放眼世界，同時讓世界了解中國和中國優秀傳統文化的責任。高中英語教師應結合具體的教學內容，采取合理的教學策略，將傳統文化有機地融合到英語教學中，促進英語課堂高效進行，更好地為高考服務。更重要的是，提升學生跨文化交際的能力，講好中國故事。