核心素養觀下勾股定理教學的幾點建議

孔繁艷

[摘 ?要] 文章基于核心素養背景，提出勾股定理教學的幾點建議：重視數學文化的滲透;重視價值與思想方法回歸;重視創新能力的培養.

[關鍵詞] 核心素養;勾股定理;建議

勾股定理的出現，稱得上是數學發展史上的里程碑. 它隱含著豐富的數學文化和應用價值. 勾股定理作為初中平面幾何中的一個重要定理，值得教師好好研究，即通過教學如何讓學生感受勾股定理的文化價值、實用價值和創新價值. 基于此，本文提出幾點教學建議，供大家參考.

重視數學文化的滲透

在大力提倡核心素養培養、數學傳統文化滲透的教學大背景下，通過勾股定理教學弘揚數學文化勢在必行. 教學中，我們不僅要向學生介紹定理的發展史，而且要通過對勾股定理的多種證明方法的探究，激發學生的學習興趣，激活學生的思維.

對于勾股定理的證明，除了探究課本上的證明外，教師還可以引導學生搜集資料，探究其他證明方法，如鄒元治證明、趙爽證明、美國總統Garfield證明、梅文鼎證明、項明達證明、歐幾里得證明、利用相似三角形的性質證明、辛卜松證明、陳杰證明等，讓學生在不同的證明方法中感受勾股定理的博大精深與多姿多彩的文化價值，與此同時，教師也可以適時引入與勾股定理有關的數學文化題.

素材1： “趙爽弦圖”問題

利用弦圖（圖1）證明勾股定理由我國古代數學家趙爽首創，為緬懷這位偉大的數學家，第24屆國際數學家大會特意把弦圖作為這次大會的會標. 圖1為古代著名“趙爽弦圖”示意圖，其由四個相同的直角三角形組成. 在Rt△ABC中，若直角邊AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是多少？

下面用勾股定理加以解析.

如圖2，標注出D，E，F，G四點.

因為AC=6，BC=5，

所以GD=6，DE=5.

因為FG=DG，所以FD=2DG=12.

在Rt△DEF中，由勾股定理得

EF= = =13.

所以這個風車的外圍周長為4（EF+FG）=4×（13+6）=76.

素材2： “蕩秋千”問題

《直指算法統宗》是我國古代數學名著，由明朝數學家程大位所著. 這本書中有一道與蕩秋千有關的數學問題，其以詞的形式呈現如下：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（每5尺為一步），秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，如果這時秋千的繩索拉得很直，試問它有多長.

下面我們用勾股定理進行分析.

如圖3，設繩索AC=AD=x尺，則AB=（x+1）-5=x-4（尺）.

又BD=10尺，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即繩索的長為14.5尺.

引導學生搜集資料，探析數學大家的足跡. 課堂中進行文化題的賞析，能有效實現數學文化的滲透，比單純課本例題的探究更高效.

重視價值與思想方法回歸

數學知識來源于生活，又服務于生活. 為讓學生認識、感受勾股定理及其實用價值，教師在勾股定理的教學中應重視實用價值的滲透，讓學生學會用勾股定理解決實際問題. 如，可以引導學生利用勾股定理解決以下幾個問題.

問題1：地基挖得合格嗎？

圖4是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，請你幫他看一下挖得是否合格.

問題2 ：木棒能放進木箱嗎？

如圖5，有一根70厘米長的木棒，要放在長、寬、高分別是50厘米、30厘米、40厘米的木箱中，能放進去嗎？

問題3 ：如何彎折鐵絲做風箏？

一根長160厘米的細鐵絲，李昊同學將其剪成三段準備制作成風箏的邊框. 風箏呈等腰三角形形狀（如圖6）. 假設這個等腰三角形底邊上的高AD=40厘米，請問：李昊同學是怎樣彎折鐵絲的？

教師在引導學生利用勾股定理解決上述實際問題時，應隨時啟發學生總結解決問題時用到的基本思想與方法，讓學生用數學思想武裝自己的頭腦.

問題4：受臺風影響的時間有多長？

據某地氣象臺預測，一熱帶風暴中心正從A城正西方向300千米的地方，以每小時26千米的速度向北偏東60°方向飛快移動. 在離風暴中心200千米的范圍內都會受到影響. 請問：A城會受到這次風暴的影響嗎？若不受影響，請說出理由;若受影響，試計算受到風暴影響的時間.

本題的情境來自現實生活，材料既新鮮又新穎，能挑戰學生的思維深度. 要想解決這類問題，就必須尋找合理的數學模型，并加以轉化，這是解題的難點，也是解題的關鍵.

本題可構建直角三角形模型. 如圖7，O為風暴中心，OC為風暴中心的移動方向. 過點A作AD⊥OC于點D，在Rt△OAD中，因為∠AOD=30°，OA=300千米，故AD=150千米<200千米，所以A城將受到這次風暴的影響. 如圖7，設AB=AC=200千米，在Rt△BAD中，由勾股定理，得

BD= = =50 （千米）.

所以，A城遭受風暴影響的時間= ≈10.2（小時）.

問題是數學的心臟，思想是數學的靈魂. 讓學生帶著勾股定理走進實際問題，又在實際問題中感悟數學思想，能大大提高學生的數學素養，讓他們從心底里愛上數學.

重視創新能力的培養

在勾股定理的教學中，所謂創新能力的培養，就是倡導學生靈活應用勾股定理解決一些看似與勾股定理無關的問題，這是應試的需要，更是培養學生綜合素養的需要.

案例1：勾股定理與不等式的證明

已知：a，b，c，d都是正數，求證： + > ?.

分析 ?本題是一個代數問題，從結構特點（即平方關系）考慮，可運用幾何方法（也就是利用勾股定理）來解決.

證明 ?如圖8，構造一個矩形ABCD，其相鄰兩邊的長分別為a+b，c+d. 在Rt△ABE中，可得BE= = = ;在Rt△BCF中，可得BF= = = ;在Rt△DEF中，可得EF= = . 在△BEF中，因為BE+EF >BF，所以 + > .

從本題的解答中可以看出，在不等式的證明中，勾股定理為從“數”向“形”的轉化搭起了“友誼的橋梁”，體現了勾股定理的工具性與實用性. 反之，對于有些幾何問題，也可以通過構造直角三角形運用勾股定理來解決，即用代數方法解決幾何問題.

案例2：勾股定理與拼圖問題

（1）2002年8月20日，國際數學家大會在首都北京隆重召開. 圖9所示的圖形就是這次大會的會標，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形構成，且拼接起來就是一個大正方形. 假如已知這個大正方形的面積是13，而一個直角三角形兩條直角邊的和是5，那么你能計算出中間的小正方形的面積嗎？請試一試！

（2）小麥同學手里有一張長為6.5厘米、寬為2厘米的矩形紙片（如圖10），請你幫助小麥同學把這個矩形分割成6塊，且能拼合成一個正方形.

（要求：先在圖10中畫出分割線，再畫出拼成的正方形，并標明相應數據）

解析 ?（1）設直角三角形的兩條直角邊的長分別為a與b，且a>b，那么小正方形的邊長為a-b. 于是依題意有a+b=5①. 另一方面，根據勾股定理，得a2+b2=13②. ①2-②，得2ab=12. 所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1③.故小正方形的面積為1.

（2）所拼成的正方形的面積為6.5×2=13（平方厘米），故可按照圖9進行制作. 由③得a-b=1④. 將①④聯立成方程組，可以解得a=3，b=2. 根據題意，直角三角形較長的直角邊只能在紙片6.5厘米的長邊上截取，剪去四個直角三角形后，余下部分的面積為13- ×3×2×4=13-12=1（平方厘米），而這正好是中間那個小正方形的面積. 于是，得到如圖11的分割方法（拼合后的圖如圖12）.

說明 ?這類問題經常出現在數學中考命題中，在平時的教學中，教師應引導學生加以研究，這樣不僅能培養學生的創新精神，還能為將來的中考復習打基礎.

勾股定理，屬于我們，也屬于世界，需要我們代代傳承. 在勾股定理的教學中，我們不僅要關注勾股定理本身，更要重視它的文化價值、實用價值和創新價值，處處體現出數學教學之核心素養教學觀.