對(duì)一道動(dòng)態(tài)幾何問題的突破與探究

韓曉東

[摘 ?要] 動(dòng)態(tài)幾何是幾何研究的重要內(nèi)容之一，需要學(xué)生探索圖形中的變化，分析相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 以其為基礎(chǔ)命制的考題也是中考常見的壓軸題，文章以一道中考動(dòng)態(tài)幾何題為例，開展思路突破、立意探索，并適度拓展，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)點(diǎn);幾何;面積;模型

真題呈現(xiàn)，思路突破

1. 真題呈現(xiàn)

（2019年蘇州中考）已知矩形ABCD中，AB=5 cm，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且AP=2 ?cm. 如圖1，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)C）. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APM的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)關(guān)系如圖2.

（1）直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為______cm/s，BC的長度為______cm.

（2）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上，按原來的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng). 同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為v（cm/s）. 已知兩動(dòng)點(diǎn)M，N經(jīng)過時(shí)間x（s）在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），動(dòng)點(diǎn)M，N相遇后立即停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)△APM與△DPN的面積為S1（cm2），S2（cm2）.

①求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度v（cm/s）的取值范圍.

②試探究S1·S2是否存在最大值，如果存在，求出S1·S2的最大值并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

2. 思路突破

本考題屬于動(dòng)態(tài)幾何問題，題干給出了對(duì)應(yīng)的圖形特性以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，第（1）問要求直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度和矩形邊BC的長，雖然不需要計(jì)算過程，但其分析思路具有一定的代表性：首先需要把握動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡——A→B→C，然后結(jié)合圖2的S-t圖像分析. 考慮到動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中△APM的面積S會(huì)變化，因此可以采用構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)面積模型的方式，即繪制如圖4所示的模型圖.

【第一步：分析面積模型】

當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，可建立模型S△APM= AM·h1（其中h1為定點(diǎn)P到底邊AM上的高），因?yàn)閔1為定值，所以此時(shí)S是關(guān)于AM的一次函數(shù). 此階段，隨著時(shí)間的增加，AM的長增大，則△APM的面積呈增加趨勢.

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，可建立面積模型S△APM= AP·h2（h2為動(dòng)點(diǎn)M到底邊AP上的高），因?yàn)锳P為定值，所以此時(shí)S是關(guān)于h2的一次函數(shù). 此階段，隨著時(shí)間的增加，h2的長度減小，即△APM的面積呈減小趨勢.

綜合可知，動(dòng)點(diǎn)M沿著軌跡A→B→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APM的面積先增加后減小，且在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處取得最大值.

【第二步：數(shù)形綜合分析】

對(duì)于第（1）問，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡可知△APM的面積隨點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的變化趨勢，再結(jié)合圖2的函數(shù)圖像變化趨勢可確定時(shí)間與點(diǎn)M位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M位于起點(diǎn)A處;當(dāng)t=2.5時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)B處;當(dāng)t=7.5時(shí)，點(diǎn)M位于終點(diǎn)C處. 結(jié)合公式“路程=速度×?xí)r間”可知AB=vM·2.5，BC=vM·5. 已知AB=5 cm，所以vM=2 cm/s，BC=10 cm.？搖即答案為2，10.

第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上增加了動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程，并且利用動(dòng)點(diǎn)構(gòu)建了面積S1和S2. 其中第①問求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度v的取值范圍，而動(dòng)點(diǎn)N和動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡屬于數(shù)學(xué)上的相遇問題，需要明確兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程，即AB+BC+CD=20 cm. 相遇問題的運(yùn)動(dòng)模型為：總路程=兩動(dòng)點(diǎn)的速度之和×相遇時(shí)間，只需要據(jù)此構(gòu)建表達(dá)式即可，即（2+v）×x=20，變形可得2+v= . 題干指明兩動(dòng)點(diǎn)在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），從而可得到時(shí)間x的取值范圍為2.5≤x<7.5. 對(duì)于函數(shù)y= ，其為反比例函數(shù)，已知x的取值范圍，可利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求y的范圍，即 < ≤8，于是有

第（2）問的第②小問探求S1·S2是否存在最大值，屬于經(jīng)典的幾何存在性問題，可整體采用“先假設(shè)，后論證”的策略. 具體處理時(shí)，應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合的分析方法，即首先構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)面積模型，然后利用面積公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行分析. 如圖5，圖中的兩塊陰影三角形就分別代表△APM和△DPN，過點(diǎn)M作AC的垂線，垂足為H，則圖中△APM的面積可表示為S1= MH·AP=-2x+15，由于△DPN為一般三角形，難以直接構(gòu)建，則可以建立S2=（S1+S2）-S1的關(guān)系，S1+S2表示陰影圖形總的面積，求其面積可以采用面積割補(bǔ)的方式，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的組合. S1+S2=S矩形ABCD-S△PAD-S△DCM-S△ABM，代入面積公式可解得S1+S2=15，所以S2=2x. 所以S1·S2=（-2x+15）·2x=-4x- 2+ （其中2.5≤x<7.5），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x= 時(shí)，S1·S2可取得最大值，且最大值為 .

考題點(diǎn)評(píng)，立意探究

本題屬于中學(xué)數(shù)學(xué)常見的動(dòng)點(diǎn)幾何問題，涉及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)分析、線段求值和幾何存在性分析，可以充分考查學(xué)生的幾何知識(shí)和綜合分析能力. 本考題以動(dòng)點(diǎn)作為變化起點(diǎn)，構(gòu)建了相應(yīng)的圖形形狀變化、面積變化，實(shí)現(xiàn)了位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是代數(shù)與幾何兩大知識(shí)內(nèi)容的融合. 試題整體遵循數(shù)學(xué)探究思路，呈現(xiàn)如圖6所示的思路結(jié)構(gòu).

題干首先給出矩形ABCD的特征，以及動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和參數(shù)，然后提出相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)問題和幾何面積問題，需要研究因動(dòng)點(diǎn)引起的特殊位置和特殊形狀. 后續(xù)需要建立相應(yīng)的幾何模型，然后基于模型轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)問題，通過代數(shù)分析實(shí)現(xiàn)求解. 在解題探索過程中需要關(guān)注以下幾點(diǎn).

1. 把握動(dòng)態(tài)條件

上述真題將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、圖形變化和函數(shù)圖像三者相結(jié)合，具有極強(qiáng)的綜合性，動(dòng)態(tài)形成的起點(diǎn)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因此在問題分析時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確把握動(dòng)態(tài)形成的條件——?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡、運(yùn)動(dòng)參數(shù)、限制條件. 其中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡直接決定了后續(xù)幾何圖形的形狀變化，而運(yùn)動(dòng)參數(shù)細(xì)化了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也是幾何線段長形成的關(guān)鍵.

2. 構(gòu)建動(dòng)態(tài)中的模型

動(dòng)態(tài)幾何問題突破的關(guān)鍵是構(gòu)建幾何圖形與代數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)量運(yùn)算來分析幾何變化，而運(yùn)動(dòng)模型是兩者關(guān)系構(gòu)建的橋梁，即解題時(shí)需要在動(dòng)態(tài)變化中構(gòu)建模型，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問題的參數(shù)化. 例如上述真題在分析時(shí)分別利用運(yùn)動(dòng)公式和面積公式構(gòu)建了相應(yīng)的模型，然后利用相應(yīng)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了解題突破.

3. 采用合理的策略

相對(duì)而言，動(dòng)態(tài)問題的解題難度較大，對(duì)學(xué)生的解題思維要求較高，解題突破時(shí)需要學(xué)生采用合理的解題策略來降低思維難度. 對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何問題，一般采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，善用“動(dòng)”中取“靜”的轉(zhuǎn)化策略，準(zhǔn)確把握其中的“不變量”和“不變關(guān)系”，利用其中的“不變”來構(gòu)建代數(shù)式.

深度探究，應(yīng)用拓展

上述真題的問題核心是第（2）問探究兩個(gè)三角形面積之積的最大值，從代數(shù)幾何問題來看，需要利用面積公式，將問題轉(zhuǎn)化為分析代數(shù)式，而解題的難度在于對(duì)一般三角形的面積轉(zhuǎn)化. 上述采用的是幾何問題常用的面積割補(bǔ)法，即通過作輔助線的方式將一般圖形分割為幾個(gè)規(guī)則的特殊圖形，則原圖形的面積就為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積組合，后續(xù)只需要代入規(guī)則圖形的面積公式求解即可. 該方法可以有效降低思維難度，且在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，下面結(jié)合實(shí)例探究其在函數(shù)問題中的應(yīng)用.

試題？搖（2018年資陽中考）如圖7，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，6），B（6，0），C（-2，0）三點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（1）求拋物線的解析式;

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？

解析？搖 第（1）問只需結(jié)合拋物線上A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法即可獲得其解析式. 即把A（0，6），B（6，0），C（-2，0）的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，可求得拋物線的解析式為y=- x2+2x+6.

第（2）問分析幾何面積的最大值，△PAB為一般三角形，無法利用函數(shù)上的點(diǎn)來構(gòu)建面積模型，所以采用面積割補(bǔ)的方式求解. 過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交AB于點(diǎn)N，再過點(diǎn)A作PM的垂線，垂足G，如圖8所示. 則S△PAB=S△PAN+S△PBN= PN·AG+ PN·BM= PN·OB，設(shè)Pt，- t2+2t+6，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長，代入公式即可求得S△PAB=

- （t-3）2+ ，所以當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值，且最大值為 .

上題屬于二次函數(shù)問題中的面積割補(bǔ)法應(yīng)用，通過作輔助線，能將一般的三角形割補(bǔ)為面積易得的特殊三角形，從而構(gòu)建相應(yīng)的面積模型，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)獲得相應(yīng)三角形的面積最大值. 與動(dòng)態(tài)幾何問題相比，其特殊之處在于需要充分利用拋物線上已知點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣利于后續(xù)線段長的代入.

寫在最后

動(dòng)態(tài)幾何問題作為中考較為常見的問題類型，圖形結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，設(shè)問也更為靈活，對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)突破考題提出了較高的思維要求，這是素質(zhì)教育的必然趨勢，也應(yīng)成為課堂教學(xué)的目標(biāo)，包括提升學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維，提升學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)過程的能力，提升學(xué)生利用知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展.