說說含參函數那些事

姜麗娟

[摘 ?要] 在含參函數問題的解決過程中，我們需要將建模思想提升至更高的層面，需要學生對比含參函數問題的特征與共性，注重歸納與總結、對比與分析，以此提升建模思想的領悟深度和寬度，促進學生數學思想的漸進提升.

[關鍵詞] 函數;初中數學;思維;建模

初中數學的學習以探究規律和掌握方法為主要任務，善于總結、勤于反思是學習數學的重要方法. 教師的任務是引導學生分析題目的特征，看透問題的本質，從而學會解決問題的方法. 函數是初中數學的重要內容，在中考中的比分較重，也是令很多學生“望而生畏”的難點. 函數問題因其多變、抽象而顯得深奧，如在教學實踐中，教師常常發現二次函數中的含參函數正確率較低，多數學生找不到該類問題的思維方向. 其實，含參函數也有一定的常規思路，下面筆者就初中階段常見的含參函數類型及其基本思路談幾點不成熟的看法，權當拋磚引玉，給各位同仁作為參考.

化多為少，多參變一參

多參函數，就是函數解析式中包含多個參數，顯然參數的數量越多越不利于問題的解決，因此“消參”是解決多參函數的重要策略. 在實際問題中，通常可以根據所給條件找到兩個參數之間的關系，將其中一個參數用另一個參數來表示，從而化多為少，使多參變為一參.

例1 ?在平面直角坐標系xOy中，點A（1，-1）在拋物線y=x2+mx+n（m>0）上.

（1）若m-n=4，求m，n的值;

（2）若該拋物線與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點C，求tan∠OBC的取值范圍.

分析 ?（1）此問為基礎問題，將A（1，-1）代入解析式可得關于m，n的二元一次方程，再與m-n=4聯立，即可求出m，n的值.

（2）此問是函數與幾何問題相結合的問題，首先可以根據條件畫出草圖（如圖1），根據草圖可以將tan∠OBC表示出來，即tan∠OBC= = = ，然后將A（1，-1）代入拋物線解析式可得1+m+n=-1，所以m=-2-n. 由此可以消去一個參數，即可以得到 = = + . 由m>0可知n<-2，所以- < <0. 所以0

變式 ?在平面直角坐標系xOy中，點A（1，-1）在拋物線y=x2+mx+n（m>0）上. 將拋物線平移，平移后的新拋物線仍經過點A，且點A的對應點A1的坐標為（1-a，2m-1）. 當a≥- 時，求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標.

分析 ?因為點A（1，-1）在拋物線上，所以可得n=-2-m，所以y=x2+mx+n=x2+mx-2-m=x+ 2- -2-m. 由A（1，-1）平移后的對應點為A1（1-a，2m-1）可知拋物線向左平移了a個單位長度，向上平移了2m個單位長度，因此平移后的拋物線的解析式為y=x+ +a2- -2-m+2m，整理后可得y=x+ +a2- -2+m. 因為平移后的拋物線也經過點A（1，-1），所以1+ +a2- -2+m=-1，即1+ +a2= -12. 所以1+ +a= -1或1+ +a=- +1. 所以a=-2（舍去）或a=-m. 所以平移后的拋物線的解析式為y=x- 2- -2+m. 設p=- -2+m=- （m-2）2-1，因為a≥- ，又m>0，所以0

函數中含有多個參數是無法直接解決問題的，在初中階段，多參函數問題的難度通常不會太大，并且可以籠統地認為多參便是消參的提示，看到多個參數就可以利用題目中給出的有效信息進行轉化、消參，使得多個參數最后消成一個參數，讓問題變得清晰，降低問題難度，從而進一步解決問題.

化虛為實，抽象變直觀

抽象是函數的一大特征，也是很多學生感到函數問題難度較大的原因之一，對于初中生而言，函數的概念確實比較抽象，但圖像是函數的重要屬性，它可以讓抽象的函數變得直觀，讓條件與問題變得明顯，能化虛為實.

例2 ?在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a（a≠0）經過A（-1，0）.

（1）求拋物線的對稱軸;

（2）已知B（0，4），C（5，4），且拋物線與線段BC恰有一個公共點，求a的取值范圍.

分析 ?（1）將點A（-1，0）代入解析式，可得a-b-3a=0，所以b=-2a. 所以拋物線的對稱軸為直線x=- =1.

（2）需要結合圖像進行分析. 由于不知道拋物線的開口方向，因此需要分情況討論. ①如圖2，當a>0時，25a-10a-3a≥4，解得a≥ ;②如圖3，當a<0且拋物線的頂點不在BC上時，-3a>4，解得a<- ;如圖4，當a<0且拋物線的頂點在BC上時，a-2a-3a=4，解得a=-1. 綜上可知，a≥ 或a<- 或a=-1.

變式 ?在平面直角坐標系xOy中，點B（1，0），拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（-2，3）. 若此拋物線與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

分析 ?拋物線與線段AB已有一個確定的交點A（-2，3），如果此拋物線與線段AB有兩個不同的交點，那么還有一個交點必須也落在線段AB之間. 由點A（-2，3）在拋物線上，消去b可得二次函數的解析式為y=ax2+2ax+3，再由A，B兩點的坐標可求出直線AB的解析式為y=-x+1. 令ax2+2ax+3=-x+1，得ax2+（2a+1）x+2=0，可進一步化簡成（ax+1）·（x+2）=0，于是可求出x1=-2，x2=- ，所以-2<- ≤1. 又a≠0，分情況討論：當a>0時，可求得a> ;當a<0時，可求得a≤

-1，所以a的取值范圍為a> 或a≤-1. 解題時可簡單畫出函數的可能圖像，以方便理解，比如圖5.

圖像是函數的表達形式之一，它能形象地呈現出函數的多方面性質. 含參函數問題一般都比較抽象，直接根據題意無法理解其含義和厘清數量之間的關系，因此需借助圖像讓問題變得明顯. 圖像不需要很精準，但需要體現出頂點、對稱軸、開口方向、特殊點等關鍵要素，接著利用函數的性質便往往可以巧妙地解決含參函數問題.

化動為定，動點變定線

動態問題是數學中“經久不衰”的經典問題，不僅存在于函數中，存在于各類幾何問題中，還存在于綜合問題中，對數學基礎及思維的活性有較高的要求. 在含參函數中，動態問題常常以動點的形式存在，顯然動點不是毫無規律可循的，它的動存在軌跡，因此“動中求定”是解決動態問題的基本原則.

例3 ?如圖6，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知拋物線y=x2+mx+2m-4（m為常數），其頂點為M.

（1）求證該拋物線經過定點，并求出定點坐標;

（2）如果該拋物線與正方形ABCD的邊有交點，求m的取值范圍.

分析 ?（1）求含參函數的定點，只需提取參數，將拋物線的形式改寫即可，拋物線的解析式可變形：y=x2+mx+2m-4=m（x+2）+x2-4，由定點的性質可知該點不隨參數m的變化而變化，因此x+2=0，解得x=-2，所以拋物線經過定點（-2，0）.

（2）對于y=x2+mx+2m-4，令x=- ，可得y= ，所以拋物線的頂點M的軌跡為y=-（x+2）2，結合圖像可知，如果拋物線與正方形ABCD的邊有交點，那么拋物線與y軸的交點必在A點下方（包含A點），且當x=-1時對應的點必須在C點上方（包含C點），因此可以得到不等式組2m-4≤-4，1-m+2m-4≥-5， 解之得-2≤m≤0.

變式 ?如圖6，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知拋物線y=x2+mx+2m-4（m為常數），其頂點為M. 若∠ABM=45°，求m的值.

分析 ?直線AB的解析式為y=-4，如果∠ABM=45°，那么直線BM的解析式為y=x-3或y=-x-5. 由例3可知拋物線的頂點M的軌跡為y=-（x+2）2. 分情況討論，當直線BM的解析式為y=x-3時，令-（x+2）2=x-3，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=5- ;當直線BM的解析式為y=-x-5時，令-（x+2）2=-x-5，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=3- . 綜上可知，m的值為5- 或3- .

含參函數因為有參數的存在，看似是“動”的，但它常常與定點有關，所以求出定點、挖掘隱含條件對于解決含參函數問題非常必要. 對于含參函數中的動點，它的軌跡即為一條定線，所以遇到動點時，可以嘗試通過求動點的解析式來解決問題.

條件抽象、含有動點是初中階段所觸及的含參函數問題的主要題型，消參、畫圖、找軌跡是解決上述問題的主要策略. 上文也許總結得不夠全面，分析得也不夠深入，但在數學教學實踐中，筆者深切感悟到，注重分析與歸納，關注學生的學習方法是提高學生學習能力的主要途徑之一. 因此，教師要不斷強化學生對數學方法的認識，只有引導學生對相似問題進行分類總結，對同一類問題的解題方法進行歸納反思，才能讓學生領悟數學思想、找到數學學習的方法，從而真正學會學習.