關于“乘法公式”的幾點教學建議

楊玲

[摘 ?要] 文章提出關于“乘法公式”的幾點教學建議：重視公式的生成教學;重視公式的直接應用;重視公式的創新應用. 并培養學生數學思維的靈活性與創造性.

[關鍵詞] 乘法公式;教學建議;初中數學

乘法公式主要包括完全平方公式和平方差公式，這兩個公式是學生進行多項式運算的基礎，在初中數學中有著極其重要的地位. 通過教學，教師不僅要教會學生靈活應用完全平方公式和平方差公式解決實際問題，還要讓學生學會運用知識的遷移與轉化解決其他相關問題，以培養學生數學思維的靈活性與創造性. 正是因為“乘法公式”的重要性，所以教師在教學中不可掉以輕心. 下面，筆者結合教學實踐提出幾點建議，供大家參考.

重視公式的生成教學

教學，不僅要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然. 所以教師應重視數學公式、定理的生成教學. 在應試教學的背景下，有的教師往往會忽視這一點，其誤以為學生只要能記住公式，會用公式解題就可以了，沒有必要花很多時間去推導公式，這種急功近利的做法違背了教學規律，也脫離了以人為本的教學原則，把學生當成了解題機器，忽略了學生在數學學習中的感悟與情感，從而促使學生產生對數學的厭惡心理. 其實，數學公式的生成是一個讓人十分愉快的過程，完全平方公式和平方差公式的生成就是如此. 教師可以針對學生的年齡特征，設計問題情境，聆聽學生的心聲，把握學生智慧的閃光點來促進生成 [1].

1. 完全平方公式的生成教學

創設問題情境：有一位大學生帶領村民推廣農業科技，走共同致富的道路. 第一年，他在一塊邊長為a米的正方形農田里種上了優質的雜交水稻，秋收時收獲很大. 他的成功使老農深受感染，老農下決心也要走科技興農的道路. 他把自家的一塊邊長為a米的正方形農田，邊長增加b米，形成如圖1所示的四塊試驗田，種植了不同的新品種. 大家想一想，老農能實現他的富裕之夢嗎？

由圖生成公式：如圖1所示，改造后的試驗田，可以種植四種不同的新品種.

法1：老農原來的正方形農田的邊長為a，改造后的正方形農田的邊長為（a+b），這時這塊農田的面積為（a+b）2.

法2：也可以把大正方形農田看成四塊農田面積之和，它們的面積分別是ab，b2，a2，ab，所以改造后的農田的總面積為a2+2ab+b2.

上面兩種方法看似形式不同，卻都表示同一塊農田的面積，所以它們是相等的，于是有（a+b）2=a2+2ab+b2成立[2] .

2. 平方差公式的生成教學

探究公式：如圖2，將一個邊長為a的正方形，從一角剪下一個邊長為b的小正方形，再把剩下的部分剪成兩個長方形并拼成一個大長方形，請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關系.

剖析公式：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其結構：（1）兩個二項式相乘位于公式的左邊，其中兩個因式的前一項相同，后一項互為相反數;（2）右邊是相同項與互為相反數的項的平方差，即a2-b2.

從上述公式的生成過程可以看出數形結合思想，同時能讓學生感知數學的本質特征，從而激發學生對數學的熱情，體現了數學的核心素養，應引起教師的重視.

重視公式的直接應用

學以致用，是新課標的理念. 學了公式，目的就在于利用公式簡化運算，解決問題. 初學公式的運用時，不宜步子邁得太大，應首先學會公式的直接應用，主要包含利用公式化簡與求值，可以是數字運算，也可以是字母運算. 設計的題目難度要有梯度，且能讓學生經過練習之后，獲得一些直接經驗與解題感悟.

1. 對公式的認識與直接應用

例1 ?（1）下列各多項式相乘，可以用平方差公式的有（ ? ? ?）

①（-2ab+5x）（5x+2ab）;②（ax-y）·（-ax-y）;③（-ab-c）（ab-c）;④（m+n）·（-m-n）.

A. 4個 ? ?B. 3個 ? ?C. 2個 ? ?D. 1個

（2）利用完全平方公式計算： ①（2x-3）2; ② （4x+5y）2; ③ （mn-a）2.

分析 ?（1）從公式的特征看，①②③可用平方差公式.

（2）先觀察，選定運用哪個完全平方公式，再搞清楚哪個是完全平方公式中的a，哪個是完全平方公式中的b，然后準確代入公式，最后化簡.

2. 對公式的靈活應用

例2 ?（1）計算：（2+1）（22+1）（24+1）·（28+1）（216+1）（232+1）+1;

（2）計算：（a+2b-3）2.

分析 ?（1）通過觀察可以發現2+1與2-1，22+1與22-1，24+1與24-1等可以使用平方差公式，所以只需在前面添上因式（2-1），即可利用平方差公式逐步計算.

（2）三項式的平方，不能直接運用完全平方公式，所以可以用加法結合律將a+2b-3化成a+（2b-3），即看成a與（2b-3）的和的平方再應用公式.

在教學中，教師應重視公式的直接應用. 直接應用看似簡單，其實在應用的過程中學生也會暴露一些問題，比如對兩個公式混淆，應用時忽視符號，甚至看不出如何應用公式解題. 這些都是教師教學中不可忽視的著力點，因為只有讓學生學會了對公式的直接應用，才能引導學生對公式進行創新應用，從而進一步提高他們的探究能力和創新能力.

重視公式的創新應用

引導學生掌握乘法公式的直接應用后，教師應著力于引導學生對乘法公式進行創新應用，尤其是完全平方公式，它是數學重要解題方法之一的配方法的源泉，在整個中學數學領域中有著廣泛的應用. 教師不僅要讓學生知道兩個完全平方公式之間的重要關系，還要掌握利用這種關系解題.

例如，兩個完全平方公式之間的重要關系：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab;（2）（a+b）2-（a-b）2=4ab.

解題功能：知二推四，即在a，b，a+b，a-b，ab，a2+b2中，只要能夠知道其中兩個式子的值，就能根據完全平方公式求出另外四個式子的值！

例3 ?已知a+b=7，ab=12，求下列各式的值：（1）a2-ab+b2;（2）（a-b）2.

此外，教師在教學中還要引入有關乘法公式創新應用的相關問題，以鍛煉學生的思維，開闊學生的眼界，讓他們感受數學的神秘與樂趣. 如下面幾道題：

題1 ?有些數字看起來非常神秘，比如某些正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，如4=22-02，12=42-22，20=62-42，我們暫且把它們叫作“神秘數”. 請問：

（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？試說明理由.

（2）試說明“神秘數”能被4整除.

（3）兩個連續奇數的平方差是神秘數嗎？試說明理由.

題2 ?圖3是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中的虛線用剪刀平均分成4個小長方形，然后按圖4的方式拼成一個正方形.

（1）圖4中陰影部分的面積為______.

（2）觀察圖4，代數式（m+n）2，（m-n）2， mn之間的等量關系是______.

（3）觀察圖5，你能得到怎樣的代數等式呢？

（4）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示為（m+n）（m+3n）.

（5）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y的值.

題1和題2的問題情境新穎，又具有趣味性，能喚起學生的探究意識. 通過探究與問題的解決，學生不僅能進一步掌握乘法公式的應用，而且能感悟知識與知識之間的聯系，能培養學生思維的靈活性.

總而言之，在教學中，公式教學不可等閑視之，必須講究教法與學法，應注重提高學生的思維能力，發展學生的應用意識，重視基礎知識的落實，體現數學文化價值. 因為它是提高學生數學核心素養最基本的途徑之一.

參考文獻：

[1]劉燁. 讓學生在生成教學中有效成長[J]. 數學教學通訊，2018（18）：22-23.

[2]談兵. 乘法公式單元教學起始課教學研究[J]. 中學數學，2018（20）：10-11.