論高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題策略及教學(xué)方法

時好運

【摘要】運用導(dǎo)數(shù)來解決一些數(shù)學(xué)問題之前，需要了解導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)中的一些具體技巧方法來綜合處理.本文提出幾點高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)題的有效解題策略和一些教學(xué)方法，僅供參考.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)的解題策略;教學(xué)方法;有效措施

首先需要熟練掌握幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比如，求兩個函數(shù)的和、差以及熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值.教師在引導(dǎo)學(xué)生提高解答技巧的時候也要注意考慮班級學(xué)生的具體情況，然后再安排教學(xué)計劃.

一、教師在教學(xué)中的建議

（一）提供有針對性的教學(xué)措施

作為教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從最基本的教材知識入手，認真閱讀和分析書上的例題，達到舉一反三的效果.其次，教師選取一些比較有典型意義的高考例題來給學(xué)生練習(xí)，再講解一些通用的解題步驟和解題思路，讓學(xué)生達到融會貫通的效果，從而提高考生在導(dǎo)數(shù)這一壓軸題型上的分數(shù)成績.

（二）注意將相通的數(shù)學(xué)思想進行融合

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，其研究的過程和方法具有普適性、一般性和有效性，可以遷移到其他函數(shù)的研究中.在導(dǎo)數(shù)題中，不論是對某個命題進行討論還是證明，其解題特點一是強調(diào)邏輯的嚴謹性，二需要化歸與轉(zhuǎn)化，而且常常以基本初等函數(shù)為載體，利用方程、不等式、數(shù)學(xué)建模與導(dǎo)數(shù)、代數(shù)推理等知識點交匯，考查函數(shù)五大性質(zhì)的應(yīng)用、不等式問題和函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.

二、幾種有效的解題策略

在進行高中導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，教師通常會教給學(xué)生很多的方法，但是在課堂中的教學(xué)并不能夠讓學(xué)生對這些方法融會貫通，所以他們需要在課下對教師傳授的方法進行總結(jié)和升華，使這些方法能夠真正成為自己做題中的有力武器.根據(jù)相關(guān)的調(diào)查和總結(jié)發(fā)現(xiàn)，按照題型特點進行方法總結(jié)是非常有效的.所以學(xué)生在進行導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中一般會按照考試中遇到的各種題型進行方法總結(jié).在高中的教學(xué)過程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的主要題型大概有以下幾種：

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題

首先我們要討論的便是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題，這種問題是考試中較為簡單的，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最為基礎(chǔ)的，并且求切線問題主要有四種常見的類型.類型一：已知切點，求曲線的切線方程，此類題較為簡單，只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′（x），并代入點斜式方程即可;類型二：已知斜率，求曲線的切線方程，此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決;類型三：已知過曲線上一點，求切線方程，解這種題首先要明確，過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法進行求解.

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題

其次是利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的問題，在利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性時，我們首先應(yīng)該確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性.當給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準確性.另一種類型的題目是利用函數(shù)的單調(diào)性來求解該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這種問題在解決的過程中與上邊的單調(diào)性幾乎相似，但是我們一般要注意一些問題，也就是再找到單調(diào)區(qū)間之后的寫法，相互獨立的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用“和”來連接而不應(yīng)該用∪的符號連接.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值問題

這種題目的困難之處并不在極值和最值的求解，而是前邊的問題無法解決導(dǎo)致后續(xù)問題無法入手.解決極值、最值問題的步驟較為固定，首先我們要對函數(shù)進行求導(dǎo)，確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，如果函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)，那么最值就是端點函數(shù)值，并且在該區(qū)間上沒有極值;如果函數(shù)在該區(qū)間上不單調(diào)，那么有極值存在，而最值可能是端點值也可能是極值點處的函數(shù)值，所以要進行比較.

我們現(xiàn)在通過一個往年的高考壓軸題來進行講解.

題目：已知a∈R，函數(shù)f（x）=-13x3+12ax2+2ax（x∈R）.

（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）函數(shù)f（x）是否在R上單調(diào)遞減，若是，求出a的取值范圍;若不是，請說明理由.

（3）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

（1）通過分析我們發(fā)現(xiàn)這個問題屬于利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的問題，因為函數(shù)的定義域為實數(shù)集，所以利用給出的參數(shù)值我們可以直接求解.

當a=1時，f（x）=-13x3+12x2+2x，∴f′（x）=-x2+x+2.令f′（x）>0，即-x2+x+2>0，即x2-x-2<0，解得-1

（2）該題目也是我們前邊分析的求解單調(diào)性的問題，但是里面含有未知參數(shù)，而本題也是為了討論參數(shù)取值范圍，所以該題要根據(jù)b2-4ac與0的關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍.

若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0對x∈R都成立，即-x2+ax+2a≤0對x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0對x∈R都成立，∴Δ=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0，∴當-8≤a≤0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減.

（3）該題規(guī)定了函數(shù)中x的取值范圍，所以我們要根據(jù)x的取值范圍來判定參數(shù)的范圍.

∵函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，∴-x2+ax+2a≥0對x∈[-1，1]恒成立，即x2-ax-2a≤0對x∈[-1，1]恒成立.令g（x）=x2-ax-2a，則g（1）=1-a-2a≤0，g（-1）=1+a-2a≤0， 解得a≥13，a≥1， ∴a≥1.

三、結(jié) 語

綜上所述，在高考題中導(dǎo)數(shù)題作為壓軸大題，其難度還是比較大的，所以對其解答時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，其研究的過程和方法具有普遍特性，可以融會貫通地運用到其他任何函數(shù)的研究中.

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