基于數學建模素養的高中數學教學案例

程雅琳 廖小勇

摘 要：數學建模素養是高中數學的六大學科核心素養之一，在高中數學教學中培養學生的數學建模核心素養具有重要的理論和實踐價值。本文以一個典型的房貸問題為例進行案例分析，以期揭示培養學生發現問題、分析問題、解決問題的意識，提高學生應用數學的能力和創新精神的教學設計策略。

關鍵詞：高中數學;核心素養;數學建模;房貸問題;教學案例

我國《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）明確提出了數學核心素養的概念，對六大數學核心素養之一的數學建模素養培養提出了明確要求。并指出，“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”[1]。

近幾年，關于數學建模教學的研究引起了越來越多的學者和教師的關注和重視。朱婭梅認為，數學建模素養就是將現實問題表述為數學形式，并使用數學求解，將數學結果轉譯為現實結果并檢驗的能力[2]。周春荔認為，如果從方法論的角度來看數學建模，它就是一種數學思想方法;從數學教學的角度來看數學建模，其實它就是一種數學活動[3]。王尚志提出，數學建模的教學和評價將面臨很大挑戰，尤其是對基礎教育中的數學建模教學與評價等問題[4]。李明振、俞平認為，許多高中數學教師缺乏和忽視對數學建模思想方法及其教學的訓練與研討[5]。牛偉強等認為，中國中小學數學建模研究以思辨研究為主，采用實驗研究等實證研究方法的文獻比例較小，同時較為新穎的數學建模案例研究也比較匱乏[6]。

在中學數學教學中如何更好地落實新課標要求？如何將數學建模思想融入到高中數學教學之中？具體的實施步驟有哪些？實施數學建模教學對于學生的數學興趣和學生解決實際問題的能力起到怎樣的促進作用？這些問題正是在新課程改革的背景下，中學數學教師和教育研究者亟待解決的問題。

數學建模素養的培養需要落實到具體的教學上，而富于數學思想、精心設計的教學案例對于學生建模素養的培養起著不可忽視的作用。本文正是以實際生活中的貸款買房為例，從基于課程標準提出的數學建模素養培養角度去分析，期望為高中數學建模教學案例提供一些參考。

一、關于數學建模及教學的幾點認識

（一）數學建模的內涵

數學建模是把實際生活中的問題進行數學化，抽象成數學模型，通過數學知識求解，并解決問題，如果不符合實際情況需再次修改模型，直到得到符合實際的數學模型。數學建模不僅僅是一種工具，更是一種數學素養。因此，探究發展數學建模素養的教學案例具有重要意義。

數學建模的基本過程大體相同，數學數學建模問題一般與實際問題的特性、模型建立的目的相關，具體而言，主要有以下幾個步驟：

1.提出假設：假設是數學建模的前提和基礎，實際問題中存在眾多干擾因素，建模時應抓住本質，提煉出問題，對問題簡化的同時，作出一定的假設。

2.模型建立：抽象出數學問題，利用數學知識找出主要變量以及變量之間的數學關系，例如，用數字和字母表示問題當中的變量，進行數學表征，建立數學模型。

3.模型求解：利用數學方法，采用恰當的技術手段，如，計算機軟件中的MATLAB、SPSS對數據進行分析計算。

4.模型檢驗：對模型解釋的結果帶到實際問題中檢驗，若結果符合實際問題，則認為該模型正確。若結果不符合實際問題，需要對模型進行修改，對結果再次檢驗，直到建立符合實際問題的數學模型。

5.模型應用：模型確立之后，需要將其應用到相關的領域當中，有助于解決實際問題的需要。

（二）數學建模教學原則

我們認為，在數學建模教學中，需遵循以下原則：

1.數學化原則：就是要注重培養學生的數學化思想和數學建模的素養，讓學生感悟到數學問題是源于生活，是對現實世界的高度概括。數學化是在基于數學建模的教學過程中，讓學生把數學與現實相聯系，在現實與數學的世界做到切換自如。

2.活動性原則：就是要激發學生數學建模的興趣，積極參與多樣化的數學建模探究活動，在建?；顒又刑岣邤祵W建模素養，從而帶動其他核心素養的提升。

3.創造性原則：就是要在數學建模的教學過程中，培養學生的創造性思維，提高學生的創新能力，在原有的數學知識和現實背景下，突破思維的局限性，采用一些非常規的思路解決數學建模問題，如，利用物理和化學中的知識來解決數學問題。

4.啟發性原則：就是要在數學建模過程中，在恰當的時機給予學生一定的啟發，合理地進行數學建模，在學生遇到困難時可以進行“旁敲側擊”，同時還要注重引導學生逐步學會自我啟發，對數學建模的過程進行反思，促使養成學生獨立思考問題的習慣，提高學生的自主學習能力。

二、教學案例分析

當今社會，房地產市場火爆，人人都在考慮買房。然而，多數人不可能有錢能夠一次性付清房款，必須貸款買房，從而貸款買房問題也就成為我們家庭面臨的許多經濟決策問題之一。目前市場上不斷有各種收放廣告出現，人們看到這樣的廣告之后，急于想要知道自己是否能否有能力去買這樣的房子，隨之便提出了更多的問題：房子有多大;一次性付款要多少錢;銀行貸款月還款多少錢等等問題。

為了分析這些熱點的現實問題，我們在教學中可以引導學生把問題具體化，以便建立模型分析、解決問題。

（一）問題提出

買房要向銀行借款60萬元，年利率是7.2%，貸款期是25年。知道月還款額（設為常數），才能了解自己是否有能力買房。如今各大銀行有兩種還款方式，一種是等額本息還款法，另一種是等額本息還款法。

等額本息還款法：即把按揭貸款的本金總額和利息總額相加，然后平均分攤到還款期限的每個月當中，每個月的還款額是固定的，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。這種方法是目前最為普遍，也是大部分銀行長期推薦的方式。

等額本金還款法：即貸款人將本金分攤到每個月內，同時付清上一交易日至本次還款日之間的利息。這種還款方式相對等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負擔逐月遞減。等額本金還款法是一種計算非常簡便，實用性很強的一種還款方式?；舅惴ㄔ硎窃谶€款期內按期等額歸還貸款本金，并同時還清當期未歸還的本金所產生的利息。

（二）模型建立

在引導學生進行小組討論時，教師可以根據討論的情況適當啟發。

師：同學們，請思考一下還款的金額會受到那些因素的影響呢？銀行的利率在實際生活中是會發生變化的，為了方便同學們計算，此時我們假設銀行利率不變。

模型一：等額本息還款法

首先我們用等額本息還款方式計算一個月還款數額：

設A0（=60萬元）為向銀行的貸款額，R0（=0.072）為年利率， R（=0.006）為月利率，N表示第N個月（時間變量），AN表示第 N個月欠銀行的款，x表示25年（=300月）還清本息每月應還的錢。

這里要求的是x，因而將x看做因變量，A0、R看成參數，N看成自變量。此問題的數學模型如下：

A0（一開始借多少錢）;

A1=A0（1+4）-X（一個月后欠銀行的錢數，即本金加利息減去每月要還的錢數）。

第N個月尚欠銀行的錢數為：

AN=AN-1（1+R）-x

其中A0已知，這就是等額本息還款法問題的數學模型，在高中數列知識中屬于遞推關系的問題，即已知遞推關系求數列的通項公式。

將AN-1，AN-2，…，A1的表達式代入，即可得

模型二：等額本金還款法

設A0（=60萬元）為向銀行的貸款額，R0（=0.072）為年利率， R（=0.006）為月利率，N表示第N個月（時間變量），x0表示第 n個月還款數額。

這里要求的是x0，因而將x0看成因變量，A0、R、N看成參數，n看成自變量。本問題的數學模型可以建立為：

本金分攤到每個月內的金額為? ;

上一還款日至本次還款日之間的利息為? ? ? ?;

所以可得：

師：請大家思考并討論：等額本息法和等額本金法分別是什么模型？

生：模型一是等比數列模型，模型二是等差數列模型。

（三）模型求解

模型一的求解：

當N=300時，N=300就表示還清貸款，由此可得

從而解得：x=4317.5元，這就是說每月要拿出4317.5元交付銀行，累計支付利息696259.64元，累計還款總額1286259.64。

模型二的求解：

將題設中的實際數據代入得：

從而接的月還款金額為第一個月5600元，第二個月還款金額是5588元，第三個月是5576元，…，第300個月2000元。月還款金額為首項5600，公差為-12的等差數列。累計支付利息是541800元，累計還款金額是1141800元。

結論：

從兩種方式來看，貸款年數相等，需要累計支付利息和還款總額等額本金還款法更占優勢，銀行所取得的利息更小。

（四）模型檢驗

在本案例當中，需要將建模中得出的結果與實際房貸中的金額進行比較，若結果相差不大，則說明此次模型的建立是正確的，若結果相差大，根據反饋對數學模型進行修改，從而完善模型。

（五）模型應用

至此，可向學生提出新的問題，引導同學們進一步思考：若王某月收入6000元，他應該辦理哪種貸款？請說出理由。

三、結語

以上案例中，教師根據社會生活中的實際問題，結合數學建模設計原則和銀行貸款的實際背景，介紹當下實施的兩種貸款方式，引導學生討論不同的貸款方案，將貸款過程與等比數列和等差數列的知識相結合，經過計算分析，探討出最佳和最省錢的方案。這一教學案例不僅讓學生經歷調研查資料，假設、解題、檢驗、探討的過程，也能夠鞏固復習本節課的知識、方法及思想。隨著數學新課程改革的深入推進，我們希望更多同仁關注利用案例開展數學建模核心素養培養的實踐教學，共同提高高中數學教育教學質量與人才培養效果。

參考文獻：

[1]朱婭梅.我國八年級學生數學建模能力的調查研究[J].上海教育科研，2017，（4）：51-54.

[2]周春荔.建模與中學數學教育[J].數學教育學報，1996，（2）： 40-44.

[3]王尚志.數學建模在中國各學段的發展歷程及展望[J].數學教育學報，2017，26（6）.