數形結合思想在初中數學解題中的應用

田永川

摘要：數形結合思想是數學的基本思想之一，是提高數學問題解決的準確性和有效性的重要輔助思想。具體而言，數形結合就是將原始復雜和抽象的語言和邏輯轉換為簡單的圖形，將抽象圖形轉換為嚴密的數字，引導學生直觀地理解數學問題并形成圖像分析思想。對此，本文從初中數學教科書開始入手。結合初中數學學習中的關鍵問題，探索數形結合在數學問題解決中的具體應用策略。

關鍵詞：數形結合;初中數學;應用策略

掌握一定的數學思想是學生學好數學的關鍵。在初中數學教學中，數形結合是一個重要的解題思想，它可以幫助學生更便捷地解決問題。數形結合主要是使用數形之間關系的不斷轉化、對應，實現數學問題的解答。

一、數形結合概念

數形結合就是利用數與形之間存在對應關系，讓數和形進行彼此轉化。在解決數學問題的過程中，通過數形結合可以更便捷地解決許多問題。與此同時，許多知識都是抽象的，難以理解的。如果將數與形進行轉化，理解起來就會更加容易。它是初中數學課上的一種重要思維方法。運用這個思維方法實際上就是要檢驗結論和條件之間的關系[1]。將這種聯系用數軸或者圖形展示出來，可以解決有關幾何以及代數方面的問題，解題效率會更高，結果會更加精準。數形結合就是既要將其代數意義分析透徹，也能將其中的幾何意義挖掘出來，這樣就能讓數量與空間結合起來，讓解題思路更加明朗。

二、數形結合法在初中數學教學中的應用策略

1.以“數”解“形”

就初中數學而言，“形”的主要特征是直覺性和形象性。但是，無論什么樣的東西都有優點和缺點，“形”的缺點是缺乏精確性。如果某些圖形非常單一，在肉眼難 以找到規律的情況下，就要使用代數來分析和計算它。

例1：求直線y=x-2和拋物線y=x2+2x-2的交點坐標。

分析：在平面直角坐標系內將拋物線和直線的草圖畫出來，從而能夠看出兩條曲線的交點為兩個，各自在第三與第四象限，然而，卻難以對點的具體坐標加以確定，圖形非常直觀，但不是很精確。因此，應該怎樣將此交點的坐標求出來呢？借助于“數”就能夠有效地解決這一問題。由于交點同時在直線與拋物線上面，并且交點的坐標還符合直線與拋物線的解析式，所以，可以分別將交點的橫、縱坐標看成拋物線與直線解析式聯立的方程組的解，以此來實現。

立方程組，解得，;

因此，交點坐標為（0，-2）與（-1，-3）。

通過以上例子能夠看出，在進行解題過程中，運用“數”對“形”的問題不僅具有較高的準確度，而且還發揮出了定量作用。

2.以形助數

幾何圖形在數學中的最大優點是它具有直觀性且易于理解，因此在遇到“數形結合”思想時，就更偏好于“以形助數”的方法，利用幾何圖形解決相關不易求解的代數問題。幾何圖形直觀的運用于代數中主要表現在以下幾個方面：

（1）利用相關的幾何圖形輔助代數公式的記憶，例如：完全平方公式與平方差公式;

（2）利用數軸及平面直角坐標系將一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，進而幫助求解相關的代數問題，或者簡化相關的代數運算。

例題如下：

將一根木棒放在數軸上，木棒的左端與數軸上的點A重合，右端與點B重合。

若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到B點時，它的右端在數軸上所對應的數為20;若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到A點時，則它的左端在數軸上所對應的數為5（單位：cm），由此可得到木棒長為多少cm。

解析：由題目和圖形可知，5～20cm之間的長度為15cm，而由上述題目條件（當它的左端移動到B點時，它的右端在數軸上所對應的數為20;若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到A點時，則它的左端在數軸上所對應的數為5 （單位：cm），可知5-A=A-B=B-20，所以木棒AB的長度=15/3=5cm。

通過上述例題，我們發現了“數軸”以形助數的重要影響，同樣的，我們還可以借助“數軸”這個工具解決生活中的具體問題。

3.數形互助策略

在初中數學學習的過程中，我們經常會遇到數量關系比較抽象的情況。例如，在不平等的研究中，這類問題的數量是抽象的，條件是抽象的，需要數字和形狀之間的有效合作來幫助學生建立具體的思維。突破解決問題的難度。

例如，在解不等式x-1≥-x²+2x+1這道題目時，已知條件比較抽象，只給了一個不等式，而且不等式中數量關系也比較抽象，學生在解題過程中難以找到切入口。因此，這就需要發揮數形兩者相互輔助的作用，利用圖形幫助學生直觀地理解數字與已知條件的關系，利用數字規范圖形，保障圖形的準確性。具體的解題思路，可將不等式拆分成兩個函數：y₁=x-1和y₂=-x²+2x+1，分別在直角坐標系中畫出兩個函數的圖像，在圖像上分析滿足題目已知條件的圖像范圍，從而通過函數方程聯立，求出兩個函數交點坐標，根據坐標判斷具體的x值[2]。在這類題目的解決過程中，并不是單純地通過數與形之間的轉化來分析已知條件，而是需要數字與圖形之間的配合與幫助，發揮各自的特長，幫助學生從直觀的、形象的圖形中中找到解題方法。

總之，數形結合是一個重要的解題思想。數形結合在初中數學教學中的應用，有利于培養學生的空間觀念和感官，對提高學生解決問題的能力起著重要作用。在初中數學教學中，教師應該讓學生清楚數形結合的重要性，然后促使學生掌握數形結合規律，靈活運用它來解決問題，提高解決問題的速度與效率。

參考文獻：

[1]楊海菲.數形結合的解題思想在初中數學中的應用[J].數學學習與研究，2018 （07）：134

[2]唐凱.數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].中學生數理化：教與學，2016 （10）.