高中數學函數思想的應用探究

李毅

【摘 要】本文闡述將數學思想方法滲透到高中數學教學中的具體應用，通過利用函數的概念和性質來分析問題，將問題轉化為數學模型的方法，以此加深學生對函數的了解和把握，提高函數教學的課堂效率。

【關鍵詞】高中數學 函數思想 數形結合

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）07B-0149-03

在高中數學中，數學思維方法是一種剖析和探索數學問題的方法，是解決數學問題的一種方式。如函數思想、建模思想、化歸思想、數形結合思想、類比思想等。實施數學教學過程的時候，教師要注意循序漸進地浸透這些數學思想和方法，確保學生理解和掌握數學知識。另外，在高中數學功能教學中，必須有條理地按步驟滲透數學思維方法，使學生通過數學思維了解高中數學功能，加深學生對數學功能的理解，提高高中函數課堂教學的有效性。從問題的定量關系出發，用函數的方法將問題的條件轉化為數學模型。有時為了解決這個問題，還得進行方程和函數的相互轉換。那么，怎樣在高中數學函數教學中運用數學函數思維方法？

一、在傳授函數知識的過程中逐步滲透函數思想

在高中數學教材中，是這樣定義函數的：函數是從一個集合 A（定義域）到另一個集合 B（值域）上的映射 f：A→B，并使得集合 B 中的元素 y 與集合 A 的元素 x 對應，記為 y=f（x）。而初中數學中函數是這樣定義的：在變化過程中，有兩個變量 x，y，如果 x 給出一個值，y 都具有與其對應的唯一確定的值，則 x 稱為自變量，y 稱為 x 的函數。從這里可以看見，函數的定義從初中的數之間的對應關系，變成了映射，是集合之間的對應關系。也就是說，通過這個定義的變遷，讓學生認識到，函數不僅僅存在于數之間，也存在于事物和數字之間。例如，個人和其身份證號碼，圖形和其面積公式，學生和其學籍號，等等。

因此，老師在教學中，要注意學生對知識概念的理解，要進行不斷的、反復的練習，從多個角度來進行正確引導和解釋相關概念，加深學生對概念的理解，同時還要抓住時機適時地將數學思想滲透進去。因此在“函數定義”這節課的教學中，如果老師先通過對幾個函數的圖象和性質進行說明、比較，再將這個具體的函數的定義從抽象轉化為具體，則可加深學生對函數概念的理解。

另外，它還可以訓練學生的發散性思維，從生活角度中抽象出函數的對應關系，如，買菜買米要用到函數，假設單價是每斤 a 元，要買 x 斤，則付款數 y 就與斤數 x 產生對應，記為 y=ax，這個是一次函數。買米買菜要用到錢，用錢就需要去工作，每日工資 x 元，每月（計 30 日）則有 y=30x 元收入。收入多了，要學會存錢，存錢就要和銀行打交道，銀行的利率和利息的對應關系也是函數關系。有了錢，若網上比實體店購買的商品便宜就可以選擇網購，而包裹的重量和快遞運費的關系是函數對應關系。掙的錢多了，要納稅，收入和所納稅款的對應關系是函數關系。掙了足夠多的錢，又可以買房，裝修，其中房子面積和裝修費用之間是二次函數關系，等等。通過這樣的一節概念課，把初中高中兩個不同層面的函數概念有機融合在一起，也復習了初中學習過的函數。這是為了讓學生深刻理解函數就在我們的身邊，函數思想與我們生活息息相關，吃喝拉撒睡可以說都離不開函數，函數并非遙不可及的。

二、重視函數性質的教學，培養學生識別能力

高中數學中，有指數函數和對數函數、冪函數、三角函數等。學生學習各種函數，就必定要學習它們的圖象和性質。函數不同，性質也不同，那么就需要不斷提高學生對各種函數圖象和性質的認識和把握，增強學生區分各種函數的能力。學生不但要掌握各種函數的不同之處，還要找到它們的共同點。在實際的數學函數問題中，各種函數之間存在著轉換的特點。學生在學習的過程中存在一定程度的混淆，特別是指數函數 y=ax（a>0，a≠1）和冪函數 y=xa，指數函數 y=ax（a>0，a≠1）和對數函數 y=logax（a>0，a≠1），這些都需要學生對函數圖象和性質有一個準確的判別，這樣才能正確地找到解題思路。

在高考中，有一道高頻考題是關于比較大小的，如：

2018 全國卷 I 理 8 文 10，設 a=log32，，則以下判斷正確的是（ ?）。

A.a

本題根據對數函數的底數越大，在第一象限就越靠近 x 軸，可知在第一象限 y=log3x 比 y=lnx 更低，從而 a

再如 2017 年的一道高考題：

已知 ?，比較 a，b，c 大小。

首先由對數函數和指數函數的圖象性質易知 b 是負數，a，c 都是正數，b 一定是最小的。只需比較 a，c 大小即可。由對數函數的性質 ，得 ，而根據指數函數 y=2x 是增函數的性質知，，所以 c 最大。從而有 c>a>b。

該題考查的就是對數函數、指數函數、冪函數的圖象和性質，主要是單調性。

而函數的奇偶性和周期性的考查也相當熱門，如 10 年山東卷：

設 f（x）是定義在 R 上的奇函數，且 x≥0 時，f（x）=2x+2x+b（b 為常數）則 f（-1）=（ ?）

A.3 ? ? ?B.1 ? ? ? C.-1 ? ? ? D.-3

要解決這道題，首先要清楚奇函數的性質，①在 x=0 有定義，則必有 f（0）=0，從而求得 b=-1;②由 f（-x）=- f（x）得 f（-1）=- f（1）=-（2+2-1）=-3。故答案選 D。

再如奇偶性和周期性的綜合題，2013 年的一道高考題：

設 f（x）是定義在 R 上的奇函數，且對任意 x 恒有 f（x+2）= - f（x），當 x∈[0，2]時，f（x）=2x-x2，求 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）的值。

這題需要充分使用奇偶性和周期性，① f（0）=0， ? ? ? ? ?② f（x+2）=- f（x）周期 T=4。于是，可得 f（1）=2-1=1，f（2）=4-4=0，f（3）= f（-1）=- f（1）=-1。即 f（0）+ ? ? ? ? ? f（1）+ f（2）+ f（3）=0。即四個一組，其和為 0 又因為 2014=4×503+2，故 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）= f（0）+ f（1）=1。

以上函數的性質都是常見常考的性質，要想取得理想的教學效果，一方面需要教師在教學中，對性質的講述要細致到位;另一方面，也需要設計合適的習題加以鞏固。總之，千里之行始于足下。

三、采用實際例子加深對函數知識的理解

在高中數學函數教學過程中，學生對函數概念一旦有了基本的了解和認識之后，老師則要根據課本內容選擇一些實例去進行深入講解。一方面，它可以鞏固學生已形成的函數概念;另一方面又能提高學生對函數概念的實際應用能力。如，在“指數函數”教學中，老師借助圖象進行三種語言的轉換分析，加深概念的認識之后，再設計一些題目，比如，①計算銀行借款（存款）利息;②利滾利的高利貸方式;③國際象棋發明者要國王的獎勵是往棋盤放麥子，在這個例子中國王要準備多少麥子;④某種病毒細胞作有絲分裂，每個每次都是一分為二，每分鐘分裂一次，一天后有多少病毒細胞;等等。在實踐中讓學生對這種指數型爆炸式的變化速度有更深刻的體會，從而在腦海中刻畫出一個指數函數的圖象，方便學生對指數函數在發生變化的前后進行對比分析。

在指數函數教學中，筆者曾經給學生講過一個故事，1973 年美國的快遞公司在交貨給貨主的時候，就荷蘭豬是不是豬這個問題發生了爭執。如果是普通的豬，那么收費應該是 30 美分每只;如果是寵物，那么收費應該是 25 美分每只。但是辦事員認定荷蘭豬是豬，要收 30 美分每只，貨主堅持這是寵物，只肯付 25 美分每只。爭執不下的貨主留下兩只荷蘭豬憤然離去。然后經過一重一重的各方面的認定，最終由最有權威的動物專家教授指出，荷蘭豬屬于什么科什么目應該歸為寵物，因此，只能收 25 美分每只。結論傳回到辦事員手上，辦事員卻無比惆悵地再次向經理發問，現在這些該死的荷蘭豬已經有 4096 只了，我到底是該收當初兩只的費用還是收 4096 只的費用？另外我給這些荷蘭豬買食物花掉的 68 美元又該怎么辦？

為什么會變成了 4096 只呢？筆者把問題拋給了學生，學生查找了荷蘭豬成長、繁殖的時間資料，最后按照這種一般規律，推算時間到底過去了多久。成年的荷蘭豬一般一個月就可以繁殖后代，這是個指數函數，f（x）=2x，由 2x=4069 ?x=12，最后得出的時間（12 個月）讓現在的學生覺得不可思議，一件小事情居然扯了至少一年才有結果。另一方面，美國人的執著認真也讓人瞠目結舌，1973 年沒有電話沒有電腦網絡的年代，單純靠郵局信件來往解決這件事實在讓人無法想象，而荷蘭豬的繁殖能力，以及后果實在太恐怖了，如果開始的時候辦事員知道荷蘭豬的繁殖是這種爆炸式增長的指數型函數，諒他也不敢堅持說荷蘭豬是豬要收 30 美分了，就如他最后的頓悟：只要我在職一天，哪怕是獅子老虎山羊公牛你說是寵物那就是寵物。通過這個例子，它生動形象地加深了學生對指數函數圖象和性質的認識。

四、充分利用泛函方程思想，進行方程與函數的互化

在高中數學中，函數方程的思想是一個重要的數學思想，中學數學課本的編寫是以知識結構為主干，各種數學思想分布在整個數學體系中。函數方程思想就是利用靜與動的特點來建立的函數關系式或者函數圖象、圖表等，之后根據函數圖象和性質對函數問題進行分析、轉化，最終解決問題。關于這一點在二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）與二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的關系方面在高考中是考得最多的，老師在課堂上就要多舉例說明，方程就是函數中函數值 y=0 對應的式子，所以，解方程就是把函數中能使 y=0 對應的 x 值找出來。如圖 1（見下頁）中二次函數圖象。①中函數值 y>0 恒成立，從而 y=0 無解，即二次方程無解，△<0;②中函數值 y≥0，能使 y=0 的就一個值，故二次方程有唯一解（或兩個相等實根），△=0;③中 y 值正、負都有，和 x 軸有兩個不同的交點，從而二次方程有兩個不相等的實根，△>0。通過二者的圖象關系從而理解根的判別式 △=b2-4ac 與函數圖象和 x 軸交點關系，韋達定理與根的分布等關系。

函數與方程的關系，就像一條主線，抓住了，相關的問題就能迎刃而解。因此，函數方程的教學可以提高學生運算能力和邏輯思維能力，促進學生的全面發展。

五、數形結合，培養學生的綜合解題能力

在高中數學中，用傳統的代數方法求解實際函數問題時，很難找到突破。因此，我們必須利用函數圖象和性質對其進行分析，直觀清晰地尋找到問題的突破口。另外，根據已知的函數圖象，我們也可以根據函數圖象中所隱藏的一些條件和相關性質，再結合代數式就可以解決相關問題。

〖例 1〗在極坐標系中，設點 ，求點極點 O 到直線 AB 的距離。

本題按常規方法，就是把點化為直角坐標，求 AB 的直角坐標方程，然后用點到直線的距離公式求距離。但通過作圖發現（如圖 2），AB 在以 4 為半徑的同一個圓上，且∠AOB=90°，故△BOA 為等腰 Rt△，從而斜邊 AB=，由等面積法得 O 到 AB 距離為 。再或者，留意到 O 到 AB 的距離其實也是 Rt△OAB 斜邊 AB 上的中線，所以距離為 AB 的一半 。可見通過作圖將數與形進行完美的結合互換，可以大大提高學生的解題能力。

〖例 2〗在平面直角坐標系 xoy 中，函數 y=2a 與 y=|x-a|-1 有唯一公共零點，求 a 值。

本題如果打算從解方程入手，探討方程有一個解，那么會比較麻煩。用圖象法會非常直觀而且更快捷。y=2a 的圖象我們都熟悉，就是一條平行于 x 軸的直線，而 y=|x| 的圖象是一個 V 字形的折線圖，V 的頂點在原點，y=|x-a| 的圖象無非就是這個 V 字左右平移，不會改變 ?y 的取值范圍。y=|x-a|-1 就是 V 字再下移一個單位，頂點 V 的 y 值為-1，故要 y=2a 與 V 字有唯一個交點，則要 y=2a 通過 V 字的頂點，得 2a=-1，所以 。如此一來，簡單而且完美解決了這道題。

諸如此類的題目都說明，當我們在進行函數教學的時候，要認真貫徹落實數形結合的函數思想，才能使得我們的課堂效果更有成效。

函數思想是人們對實際數學問題進行分析探索，借助已知數學概念、數學基本理論轉化為固有的數學模型的一種思想認識，它是人們對數學知識本身的具體反映和深入分析，是解決實際數學問題的一種方法和手段。因而，在數學教學中，滲透函數思想方法，可以提高學生解決實際數學問題的能力，可以發展學生的數學組織能力，還可以讓學生綜合思維能力得到全面的提升。

【參考文獻】

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（責編 盧建龍）