初中數學中蘊含的思想方法探析

王林忠

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識，而數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法。數學思想和方法是數學知識的有機組成部分，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。數學思想方法的訓練，是把知識型轉化為能力數學的關鍵，是實現素質教育的的重要組成部分。初中數學教學，一方面是傳授數學知識，使學生掌握必備數學基礎知識;另一方面要更通過數學知識這個載體，挖掘其中蘊含的數學思想方法，更好地理解數學、掌握數學，形成正確的數學觀念和一定的數學意識。初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本最主要的有：數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，對應的思想和方法，整體的思想和方法，類比聯想的思想方法，化歸與轉化的思想方法，逆向思維的思想方法等。

一、數形結合的思想和方法

數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。著名數學家華羅庚先生說：“數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用的重要性。“數形結合”的方法就是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形與圖象結合起來進行思考，從而使“數”與“形”各展其長，優勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美的統一起來。

（一）由形思數，數形結合，用形解決數的問題。

例如在有理數及其運算數學中利用“數軸”這一圖形鞏固“具有相反意義的量”的概念，了解相反數、絕對值的概念，掌握有理數大小的道理，理解有理數加法、乘法的意義，掌握運算法則等。實際上，對學生來說，也只有通過數形結合，才能較好地完成本章的學習任務。

（二）有數思形，形數結合，用數解決形的問題。

例如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質。例如平面圖形及其位置關系中，用數量表示線段的長度，用數量表示角的度數，利用數量的比較來進行線段的比較、角的比較等。理解抽象的數、數量關系與函數關系式不能脫離直觀的圖形與圖象，同時對幾何圖形的認識與理解也不能離開從數量上刻畫圖形的大小、形狀。

二、分類的思想和方法

分類討論思想所謂分類討論是指對于復雜的對象，為了研究的需要。根據對象本質屬性的相同點和差異性，將對象區分為不同種類，通過研究各類對象的性質，從而認識整體的性質的思想方式。分類思想在初中數學中有大量運用，從初中數學內容的組織與展開到數學概念的界定與劃分再到數學問題的分析與解決都大量運用著分類思想。在教學中要使學生掌握分類的要點的方法：分類是按一定的標準進行的，分類的標準不同，分類的結果也不同;要注意分類的結果既無遺漏，也不能交叉重復;分類要逐級逐次地進行，不能越級化分，如不能把實數分為整數、分數和無理數。要使各類總和等于討論的全集;分域的逐級性，有的問題分類后還可以在每類中繼續分類。

三、對應的思想和方法

在解決實際問題中，幾乎每個問題都要用到“對應”的思想方法。如每個問題與已知條件的對應，數量之間的對應變化等等。因此，讓學生掌握對應的思想方法去分析問題，是提高學生解決問題能力的重要策略。

四、整體的思想和方法

整體思想就是考慮數學問題時，不是著眼于它的局部特征，而是把注意和和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察，從宏觀整體上認識問題的實質，把一些彼此獨立但實質上又相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法。簡單地說就是從整體去觀察、認識問題、從而解決問題的思想。在數學思想中整體思想是最基本、最常用的數學思想。運用整體思想，可以理清數學學習中的思維障礙，可以使繁難的問題得到巧妙的解決。它是數學解題中一個極其重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑。整體思想在處理數學問題時，有廣泛的應用。

五、類比聯想的思想和方法

在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑。類比的特征是兩個對象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點上或某一抽象層次上是相似的，它的結論不是簡單的模仿、復制，而是創造性設想。數學教學設計在考慮某些問題時常根據事物間的相似點提出假設和猜想，從而把已知事物的屬性類比推廣到類似的新事物中去，促進發現新結論。

六、化歸與轉化的思想和方法

化歸意識是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，使之成為簡單、熟知問題的基本解題模式，它是使一種數學對象在一定條件下轉化為另一種數學對象的思想和方法。如有理數的減法運算是利用了相反數的概念轉化為加法;學習方程和方程組時，通過逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”轉化為“一元”“、高次”轉化為“低次”方程進行求解;將多邊形的內角和轉化為三角形的內角和進行研究等問題都是化歸思想的運用，他們均采用將“未知”轉化為“已知”、將“陌生”轉化為“熟知”、將“復雜”轉化為“簡單”的解題方法，其核心就是將有等解決問題的問題轉化為已有明確解決程序的問題，以便利用已有的理論、技術來加以處理，從而培養學生聯系的、發展的、運動變化的觀點觀察事物、認識問題。運用化歸與轉化的思想解題方法大體上有以下途徑：一是直接轉化法，二是構造法。

七、逆向思維的方法

所謂逆向思維就是把問題倒過來或從問題的方面思考或逆用某些數學公式、法則解決問題。如絕對值等于2的數有幾個，平方得4的數是什么，是學習的絕對值、有理數的乘方后的逆運用，還有分配律的逆用等。教學中要提高學生分析問題、解決問題的能力，克服單向思維定勢導致解題方法的刻板。

數學思想和方法不僅是上述幾種，這里不可能全面闡述。數學思想和方法是數學知識的有機組成部分，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。因此在平時的教學過程中教師應根據學生的認知水平和能力結構，充分利用教材內容對數學思想和方法反復滲透。