不完全預防性維修條件下保修決策模型研究

王 謙，程中華，白永生，李欣玥，張建卿

(1.陸軍工程大學， 石家莊 050003；2.陸軍第九綜合訓練基地，河北 張家口 075000； 3.中國人民解放軍32200部隊，遼寧 錦州 121000)

預防性維修，對于恢復和保持產品可靠度具有重要意義。對于隨時間逐步退化的產品，通過預防性維修，可以降低產品故障率，從而改變保修期內產品的故障次數，降低保修費用。在現行保修制度下，包含預防性維修的保修策略已逐步應用到很多產品的保修策略中。當前，對于一些大型設備的用戶，用戶必須具備一定的維修力量，以滿足在日常使用過程中維修保養的需要。針對保修期內的新產品，在使用初期，由于自身維修人力、物質資源和技術等因素的影響，用戶與廠家維修力量相比有一定的差距。僅由用戶對進行預防性維修，可能會出現預防性維修難以達到規定要求的情況，造成產品故障率高、故障頻發、維修費用高等現象。因此，由廠家輔助進行預防性維修工作是一種好的方法。

營利是廠家的根本目標，完成年度生產計劃是其首要任務。在預定的生產任務期間，企業難以臨時改變生產計劃并抽調人員進行產品的預防性維修工作，造成產品故障次數增多，甚至影響產品的完好率等指標。為解決這一問題，本文在現有保修制度下，提出在保修期內引入廠家進行預防性維修的保修策略。但是，在當前文獻有關保修策略的模型中，預防性維修多是單一維修程度的工作。Huang[1]假設在保修期內預防性維修為維修程度恒定的不完全維修，建立了預防性維修策略下的費用模型，得出最優保修方案。Wang[2]以制造商的觀點考慮，提出進行周期性不完全預防性維修，研究了不同使用率情況下產品的最優保修策略。Park[3]提出在保修期內進行維修程度恒定的不完全預防性維修，對預防性維修期間的故障進行最小維修或者更換維修，最終確定預防性維修的最優間隔期，使保修成本最低。Cheng[4]針對隨時間退化的產品，提出延遲首次預防性維修條件下的保修策略。假設每次預防性維修的維修費用不等，建立了相應保修費用模型。Nasrum[5]在假設用戶具有一定的維修能力的前提下，提出保修期內，由用戶和廠家分別進行不完全預防性維修的兩種策略，并建立費用模型。文獻[6-7]對不完全預防性維修策略也進行了研究。

在當前保修相關的文獻中，還沒有發現涉及到兩種不同修復程度的預防性維修相結合的保修策略研究。本文提出兩種不同維修程度的預防性維修相結合的保修策略，并建立相應的決策模型。

1 保修策略

對于大型產品，用戶和廠家都具有一定程度的維修能力，且維修能力不同，進行預防性維修對產品的恢復效果也不同。保修期內，在用戶進行定期預防性維修的基礎上，引入廠家代替用戶進行若干次預防性維修。保修期內，廠家可以進行一次、兩次和多次預防性維修。本文以廠家進行一次預防性維修作為新的保修策略來研究。按照原先的保修策略，由用戶進行周期性的預防性維修，從中選取一次交給廠家完成。故障后進行最小維修。

為了區別不同維修程度的預防性維修工作，引入不完全維修理論。按照維修后產品的恢復情況，可將維修程度分為三類：最小維修、不完全維修和完全維修。假設δ表示修復因子，δ∈[0,1]。在最小維修情況下(δ=1)，每次修復將項目恢復到故障之前的水平，而在完全維修情況下(δ=0)，每次修復將項目恢復為新項目。在不完全維修情況下[8]，0<δ<1。按照維修所消耗的費用來比，最小維修、不完全維修、完全維修依次增大[9]。為了達到降低保修期內產品故障總次數的目的，預防性維修通常采用不完全維修或者完全維修。本文所研究的保修策略中，應用不完全維修程度的預防性維修。進行不完全維修對故障率影響的建模，既可以假設不完全維修縮減了上一預防性維修間隔期內的時間，還可以假設縮減此次預防性維修之前的所有時間，本文中采用后者。在這種假設中用到比例年齡倒退(Proportional Age Setback)模型[10]，多數文獻也用到了同樣的假設[11-12]。不完全預防性維修中，不同的修復程度對應不同的修復因子，對產品的有效壽命有不同等級的降低，而較高的修復程度所花費的維修成本也會更高，這種規律與實際應用中的維修情況是相符合的。提出新的保修策略，就是建立不同維修程度下預防性維修工作的組合。在此策略下，以保修費用為目標，建立相應的決策模型，確定最優的預防性維修時機。

2 建立模型

符號與假設

TW：產品保修期；

T0：產品預防性維修間隔期；

m：維修程度；

δ(m)：預防性維修的修復因子；

Cp：預防性維修費用；

Cf：修復性維修費用；

λ(t)：產品的初始故障率；

C(N)：保修費用期望值。

在產品保修期TW內，按照產品原先使用的間歇時間，用戶以T0為間隔期進行周期性的預防性維修。產品故障率服從形狀參數為β、尺度參數為α的威布爾分布，。預防性維修為不完全維修，維修程度為m，修復因子為δ(m)，兩者滿足如下關系[13-14]：δ(m)=(1+m)e-m。不完全維修影響產品的虛擬工齡，若在T時刻進行不完全維修，T-表示維修前的虛擬工齡，T+表示維修后的虛擬工齡。維修后產品故障率為：λ(T+)=λ[δ(m)*T-]。保修期內，共進行M次預防性維修。用戶和廠家進行預防性維修的修復程度分別為m1和m2。假設在M次預防性維修工作中，第N次由廠家來完成，剩余M-1次由用戶完成，其中N∈[1,M]。當N變化時，對保修期內產品的故障率有不同的影響，進而影響保修費用。用戶和廠家進行不完全預防性維修的程度分別為m1和m2(m2>m1)，其對產品的修復因子分別為δ(m1)和δ(m2)，預防性維修費用分別為Cp1和Cp2。

保修期內，第k次預防性維修后(k∈[0,M])，λk(t)為第k次預防性維修間隔期內產品的故障率，變化如下：

若k=0，則

λk(t)=λ(t)

若1≤k≤N，則

λk(t)=λ(t-(δ(m1)T0+δ2(m1)T0+…+δk(m1)T0))=

若k=N，則

λk(t)=λ(t-(δ(m2)T0+δ(m2)δ(m1)T0+…+δ(m2)δk-1(m1)T0))=

若N+1≤k≤M，則

λk(t)=λ(t-((δ(m1)T0+δ2(m1)T0+…+

δk-N(m1)T0)+(δ(m2)δk-N(m1)T0+

δ(m2)δk-N+1(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0)))=

由于產品故障后進行最小維修，每個預防性維修間隔期內產品故障服從非齊次泊松過程(NHPP)，則各預防性維修間隔期內修復性維修總費用為：

(1)

在該策略下，預防性維修總費用為：

Cp總=Cp1*(M-1)+Cp2

(2)

由式(1)、(2)可知，保修費用期望值為：

C(N)=Cp總+Cf 總=Cp1*(M-1)+Cp2+

(3)

通過以上模型，對廠家進行預防性維修的時機進行決策，確定最優保修費用。

決策步驟：① 根據保修期TW和預防性維修間隔期T0確定預防性維修總次數M；② 計算第N次預防性維修工作由廠家執行的條件下，各個預防性維修間隔期內，產品的故障率；③ 利用式(3)給出的模型，計算C(N)的值。將N在[1,M]內取值，得到最小的C(N)，并確定其對應的N。

3 算例分析

已知某新型工程車輛銷售以后，為減少故障次數，降低保修期內費用，需要進行預防性維修。通過多年同類型產品的使用，用戶已經具備了一定的維修實力。在產品使用初期，與廠家相比，用戶的維修實力還略有差距，因此采用廠家和用戶兩級力量進行預防性維修。由于廠家維修力量有限，在保修期內，只為用戶提供一次預防性維修服務。該工程車輛保修期限為Tw=3年，按照工程車輛使用情況的安排，每隔T0=90天可進行一次預防性維修。經專家評估，用戶和廠家對該車輛預防性維修工作的維修程度分別為m1=1，m2=2。其余參數如表1所示。

表1 參數設置

利用Matlab軟件編寫程序輔助計算，當用戶獨立進行預防性維修，保修期內的保修費用期望為4.677 9萬元。若將某次預防性維修任務交給廠家來完成，其費用如表2所示。經對比，當廠家在第6次對車輛進行預防性維修，可使保修期內保修費用成本最小，最小費用為4.474 1萬元，比由用戶獨立進行預防性維修的費用少0.2萬元，節約保修費用4.36%。

表2 不同方案下產品保修費用

由表2可知，在用戶進行預防性維修的基礎上，引入廠家進行預防性維修可以影響保修費用。假設原有保修策略為策略A，新的保修策略為策略B。不同策略下保修費用如圖1所示。在策略B中，廠家進行預防性維修時機的不同，對保修費用的影響不同。廠家、用戶雙方都希望能夠降低保修成本，但如果廠家預防性維修的時機選擇不當，如在第1、2、11、12次由廠家進行預防性維修。不但無法降低費用，還會增加保修費用。

這樣的結果是與實際相符的。在保修期初期，產品故障率還不高，產品有相對較高的可靠度，若此時由廠家來進行預防性維修，對產品故障率的降低效果不明顯，對保修期內產品總故障次數影響不大；在保修期末期，由于產品已經過了大部分保修期，出現了多次故障，此時再由廠家來進行預防性維修，剩余期限較短，即使可以降低剩余時間內產品的故障次數，但對于整個保修期內故障總次數的影響不明顯。

由此可知，若要由廠家和用戶聯合進行預防性維修，必須依靠科學的決策方法來確定合理的方案，不能僅僅依靠經驗或者由人為決定。

圖1 不同策略下產品保修費用

4 敏感性分析

為進一步了解該策略對保修費用的影響，將Cp1、Cp2和Cf分別作為變量進行敏感性分析。將Cp1、Cp2和Cf分別在(-15%～+15%)內變化，得到不同條件下的保修費用,如表3～表5所示。

表3 不同Cp1情況下的保修費用

表4 不同Cp2情況下的保修費用

表5 不同Cf情況下的保修費用

從以上結果可以看出，對保修費用影響依次增大的是Cp1>Cf>Cp2，由此可知，在策略B下調整保修費用，應按照Cp1、Cf、Cp2的優先順序進行。

5 結論

在現有保修策略前提下，不改變預防性維修周期，提出兩種不同程度不完全預防性工作組合的保修策略，建立相應決策模型，確定最佳預防性維修時機。給出算例分析，證明了該模型的有效性，并給出了模型的使用條件。通過敏感性分析，得到了不同因素對該策略的影響大小。但是，本策略是在預防性維修間隔期已知的假設條件下進行優化保修費用的，在下一步研究中，可以將預防性維修間隔期也作為新的決策變量，避免失修和過度修理，為廠家和用戶提供更優的保修方案。