通過研究中考試題的解題策略來提升學生的數學核心素養

嚴季隆 高曉晴 李鴻

摘 要：數學核心素養是數學留給學生的超越知識以外的內涵，在近年的中考試題中都有很好的體現，它指引著初中數學課程教與學的方向。文章通過研究近些年中考試題的解題策略，探索提升學生的數學核心素養的路徑。

關鍵詞：核心素養;數學;命題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-04-11 文章編號：1674-120X（2019）24-0060-02

教師要教會學生的不只是課本里的知識，還要教會學生知識以外的東西，甚至超越知識體系以外的內涵。人們所學的知識隨著時間的流逝會逐漸淡忘，很難留下太多的痕跡。但如果在學習的過程中，能掌握超越知識以外的內涵，終究會留下一些融入我們的思想，變成本能的一部分。或許這就是學習的意義。而數學作為一門基礎學科，除去知識以外留給學生的應該就是數學核心素養。

認真研究近些年的中考試題，我們不難發現，許多試題都旨在考查學生的數學核心素養。因此筆者命制一道中考模試試題：

已知拋物線C1經過點A（-1，0），B（-3，0）兩點，且拋物線C1相應的二次函數的最小值為-1，求：

（1）拋物線C1的方程.

（2）若拋物線C2與拋物線C1的圖像關于y軸對稱，且拋物線C2與y軸交與C點，D為頂點，同時拋物線C2上點E的橫坐標為，試判斷△CDE的形狀。

（3）若E在拋物線C2上運動，試問：△CDE能否為直角三角形？若存在。求出點E的坐標，若不存在，請說明理由。

此題起點不高，但要求較全面。本題蘊含了“數與形、代數計算與幾何證明、相似三角形的判定與性質、畫圖分析與列方程求解、一次函數與二次函數、直角三角形與勾股定理、對稱變換與圖形組合”等一系列的數學內容。同時數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學核心素養也得到充分的考查。

同時本題是以代數與幾何相結合作為題目的背景，利用二次函數性質并結合數形結合、分類討論思想、轉化的數學思想來解決此題。想要解答出本題，對學生的數學綜合素養要求很高，我們要探索一條道路，讓學生逐步解決問題，形成解題策略。分成四步驟進行：

（1）逆向拆解：思考學生解答每一個小問題，需要具備什么樣的基本知識與基本技能？

（2）難點細化：讓學生一步一步達成目標，需要設計前置問題。

（3）技能固化：需要刻意練習，需要搭配若干技能鞏固的練習串。

（4）綜合性變式訓練：四基是核心素養的基礎，通過技能鞏化后的變式訓練，讓學生的核心素養的培養有落腳點。

針對模擬試題中的三個小問題進行設計。

第（1）小問

（一）逆向拆解

第（1）問是求拋物線的解析式，學生必須懂得拋物線有哪幾種表達式。

它們是一般式、頂點式、雙根式。本題要選擇哪一種？

根據條件，本題可以用頂點式也可以用雙根式。

那接下來如何求出拋物線的解析式？

這時候，學生必須會用待定系數法，從而建立一個一元一次方程，即可得出結論。

這是二次函數教學中最基本的教學要求。

（二）難點細化

第（1）問中利用待定系數法求二次函數的解析式時，學生要明白每個解析式都含有三個參數。在頂點式中若已知頂點，相當于只剩一個參數未知a，所以再帶入一個點或其他一個條件就可以求解;在雙根式中也是一樣的道理;在一般式中，三個參數都未知，所以就需要三個條件才能求解。這些都需要學生在拿到試題時要懂得去區分、判斷。

（三）技能固化

（1）已知拋物線頂點坐標為A（-2，3）且拋物過點B（-4， 1），求拋物線的解析式。

（2）已知拋物線與x軸交于（1，0）和（3，0），且拋物線過（2，5），求拋物線解析式。

（3）已知拋物線過A（1，4），B（2，5），C（3，7），求拋物線的解析式。

第（2）小問

（一）逆向拆解

第（2）問是判斷△CDE的形狀型。學生首先要明白，常見的三角形有哪些，每種三角形又具備什么樣的特性，要如何去判定。三角形主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。這些都要求學生做到心中有數。

（二）難點細化

第（2）小題是判斷△CDE的形狀，主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。本小題中這里C、D、E各點由C2而來，而C2又由C1而來，所以根據第（1）小題的結論，通過對稱變換，關于y軸對稱求得C2方程，進而得到C，D兩點的坐標。觀察E點在C2上且橫坐標為，由點在函數上的特點可求E點坐標，到此C、D、E三點坐標都求得，畫出示意圖，可以猜想△CDE為直角三角形。顯然通過勾股定理可以求得CD、CE、DE三邊長，再根據勾股定理的逆定理可以判斷△CDE為直角三角形。也排除了等腰直角三角形的進一步可能。

（三）技能固化

（4）在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，求證△ABC是等腰三角形。

（5）已知△ABC的三個頂點坐標為A（2，1），B（4，1），C（3，2），請判斷△ABC的形狀。

（6）在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D為AB的中點，CD⊥AB，則△ABC是______ 三角形。

（7）在Rt△ABC，sinA=，∠BCA=90°，D是AB的中點，判斷△BCD的形狀。

第（3）小問

（一）逆向拆解

第（3）問要求學生既要具有基本的幾何運動的變化思想、分類討論的思想、數形結合的思想，又要具備基本的觀察和邏輯推理能力，同時還要掌握圖形運動變換的性質和直角三角形的分類。E點由靜到動，判斷△CDE為直角三角形，顯然要對直角的不同位置進行分類討論，有三種情況。

（二）難點細化

第一種情況，若CD⊥CE，觀察圖像可得CE∥DE′。

由待定系數法求出DE′的方程，再由CE∥DE′斜率相等得到CE斜率，再加C點坐標，可求出直線CE方程，聯立CE和C2方程，求得E點坐標。

第二種情況，由圖像可知，∠CED=90°，通常是添加與x， y軸的平行線（或者垂線），構造三角形相似，再由相似三角形的性質求得結果。可以設E點的橫坐標為m，用含m的式子來表示相似三角形的對應邊，再由相似三角形對應邊成比例列出方程，求得m的值，求得 E點坐標。

第三種情況，即第（2）小題所求得E（，）。這和第二小題相關很容易得到，但是又是容易疏忽的。

到此第（3）小題中的各種可能都討論完畢，最后也求出符合條件所有E點坐標。要注意的是最后別忘了下結論。

（三）技能固化

（8）在△ABC中，三邊長為a，b，c，則可以判斷△ABC不是直角三角形的是（ ? ? ）。

A. a=3b=4c=5 ? ? ? ? ? ? B. ?c∶b ∶a =5∶12∶13

C. a=8b=15c=17 ? ? ? ? ?D. a =7b =24c=26

（9）在平面直角坐標系中，已知A（-1，-1），B（3，-1），C（1，1）求證△ABC是等腰直角三角形。

例如：對原有試題中的條件進行改變。

（四）綜合性變式訓練

變式1：設置新的動點F。

讓E點為靜止，再引入新的動點F。

題目的第（3）問可以延伸和拓展成：若F點在拋物線上運動，試問：是否存在點F與C、D、E中任意兩點所構成的三角形是直角三角形。

變式2：改變題目的條件 。

將本題的第（2）（3）小題的垂直條件變成等腰，或等邊三角形，或直角等腰三角形。

這些三角形都是初中階段重點考查的對象。

所有理論都是為了實踐服務的，研究中考命題是為了在日常教學中更好地指導我們關注數學核心素養的培養。數學核心素養源于數學的基本知識與方法，對其進行抽象而衍生出來的產物。當然，學生對數學核心素養的掌握是在平時學習過程中，教師引導，自己積累，慢慢沉淀而成。于是教師“教什么？怎么教？”就成為關鍵所在。注重教學理論和教學實踐的統一，才能讓課堂成為學生培養數學核心素養的有效場所，提高教學質量。

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