綜合法與分析法：數學解題運用解析

江蘇省沭陽縣沭陽如東實驗學校 袁青超

綜合法與分析法是數學解題中兩個最基本的方法，是思維方向截然相反的兩種方法，它們在數學解題過程中有著十分重要的作用。因此，我們在平時的教學中要有意識地滲透給學生, 讓他們切實地掌握這兩種方法，形成真正的分析問題和解決問題的能力，這也是發展學生思維能力的需要。

綜合法是從問題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題，即“已知→結論”；分析法是從問題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后到題設的已知條件，即“結論→已知”。

例1：如圖1，AB∥CD，CE=DE。求證：∠AEC=∠BED。

本題的條件清楚明了，利用平行可證明角相等；利用等邊證等角；然后等量代換，就可以得出一對我們求證的角相等。

綜合法：因為AB∥CD（已知），

所以 (兩直線平行，內錯角相等)，

由此可見，我們從已知條件出發，不斷地展開思考，去探索結論，這就是綜合法，即“由因導果”。

例2：如圖2，在△ABC中，AB,AC的垂直平分線l1,l2相交于點O。求證：點O在BC的垂直平分線上。

圖2

這道題如果從條件出發，說明三角形三邊的垂直平分線交于同一點，學生在思考時可能會對已知的兩條垂直平分線無從下手；而我們再來看看問題的結論，很明顯，要用到線段垂直平分線的判定定理，就是證明點O到線段BC兩端的距離相等，于是添上輔助線就可以解決了。

分析法：要證點O在BC的垂直平分線上，

只需要連接OB,OC，去證明OB=OC。

而已知l1是邊AB的垂直平分線，可以證明OA=OB，

又已知l2是邊AC的垂直平分線，可以證明OA=OC，

所以OB=OC成立。

由此可見，我們從結論出發，不斷地去尋找需知，甚至添加輔助線的條件，直至達到已知事實為止，這就是分析法，也就是“執果索因”。

分析法利于思考，綜合法益于表達。但事實上，在解題過程中，分析和綜合并不是孤立的，而是互相聯系的，我們經常把兩種方法協同運用，稱為綜合分析法。對于一些復雜的數學命題，無論是從“已知”到“未知”還是從“未知”到“已知”，都有一個漫長的過程。單靠分析法或合成法更難。為了保證勘探方向的準確和過程的快速，人們經常同時采用分析法和綜合法，即綜合分析法。從知識和結論出發，我們應該找到問題的中間目標。

例3：如圖3，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為D，CD與AB的延長線交于點C，∠A=30°。求證：AB=2BC。

下面是運用綜合分析法思考的過程：

分析：要證明AB=2BC，要么證全等或相似，要么利用三角函數。

圖3

綜合：條件中的直徑和切線都可以構造直角三角形，特別是∠A=30°，那么∠A在直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半。

因此，我們要找到以AB和BC為斜邊、直角邊的直角三角形，很顯然圖中沒有，但有以AB和BD為斜邊、直角邊的Rt △ABD。

∴AB=2BD。

分析：要證AB=2BC，只要證BC=BD,即證明 。

證明：如圖4，連接OD。

因為CD是⊙O的切線，

圖4

由此可見，從已知到中間目標運用綜合法思索，而由結論到中間目標運用分析法思索，以中間目標為橋梁溝通已知與結論，構建出證明的有效路徑。

數學家畢達哥拉斯曾這樣說過：“在數學的天地里，主要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”因此，在平時的解題教學中，我們要潛移默化地引導學生學會用綜合、分析的眼光去看問題，去解決問題；我們要幫助學生樹立解題的目標意識，教會他們看清題目的已知條件、已有數據，理清題目的目標與條件之間的邏輯關系，通過綜合法和分析法尋找所需的路徑和方法，找到它們之間的因果關系以及因果關系之間的關聯所在。