小題大做，自有收獲——從一道小題引發的學習思考

湖南省懷化市湖天中學 楊疇遐

解題是增強數學能力的重要途徑，思路是否正確、方法是否合理、計算是否簡潔是高考得分高低的關鍵因素。在高考時刻，考生應該小題小做以提高速度，但在平時的學習中，也要注意小題大做來探索規律，積累經驗，達到知一題而會一類。我喜歡理科，熱愛數學，經常訂閱一些數學雜志，從中引發數學思考。

一、問題展示

在學習時，《直線與圓》一節中發現有這類填空題：

常規思路：1.設過P點的切線方程求出兩條切線；2.由切線方程和圓方程求出切點坐標；3.用兩點式求出過兩切點的連線方程。

二、問題反思

常規解法思路清晰，方法正確，然而過程復雜，計算量很大，費時費力，這絕不是我們所期望的。在課后學習中，我認真思考，細心觀察，此類問題是否有簡潔解法。

在與同學討論中發現其結論類似于過圓上一點作圓的切線方程：x·x+y·y=r2 ，

在請教老師后，得到了如下解法：設兩切點為A（x1，y1）、B（x2，y2），則過A、B的兩條切線分別為：x1x+y1y=1 和x2x+y2y=1，又點P（2，1）在兩切線上，所以有：2x1+y1= 1，2x2+y2=1。

這說明點A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直線2x+y=1 上，而過兩點的直線有且只有一條，所以上題所求直線方程必為2x+y=1 。

上列解法“設而不求”，典雅別致，確有事半功倍之效，也正是我們所奢求的解法。

三、問題變更

上列解法是否具有特殊到一般的規律呢？

將上面的點P（2，1）改為P（x'，y'），如圖1。圓方程改為更一般的圓的方程：（x-a）2+（y-b）2=r2，點P還是在圓外，于是可得：過切點A、B的直線方程為：（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2。

圖1

所以我們就有了一般結論：

結論：過圓外一點P（x'，y'）引圓（x-a）2+（y-b）2=r2的兩條切線 ，則過兩切點的連線方程為： （x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2（切點弦方程）。

這個結論和過圓上一點P所作出的圓的切線方程是多么相似啊！這個奇妙結論不僅體現了“設而不求”解法的精妙，也讓我感受到了數學世界特殊的簡潔之美。

四、學習反思

我們知道，點與圓有三種位置關系：圓上、圓外、圓內。現在又知道了這樣的結論：

對于點P（x'，y'）和圓（x-a）2+（y-b）2=r2，有：

①P在圓上→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2是過P點的圓的切線方程（與圓相切）；

②P在圓外→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2是由P點獲得的切點弦方程（與圓相交）；那么自然產生如下的問題：

③P在圓內→（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2有著怎樣的幾何意義呢？ 與圓有何關系？

由②的圖像引起思考（如圖2），利用射影定理易得OQ·OP=OA2=r2，所以結合①即得：點P和點Q是對應點，故由點P所得的直線是過Q點且與直線OP垂直的直線。

再由②又看到圓外每一個點在對應圓內一個點的同時也對應著一條弦；反之，可看作圓中每一弦都對應一個點，那么，過P點的弦有無數條，這些對應點有什么規律呢？

圖2

我們再次看看“設而不求”的作用吧：如圖3，設過P點的動弦所對應的點為Q（xQ，yQ），則動弦AB的方程為：（xQ-a）（x-a）+（yQ-b）（y-b）=r2，

而點P在動弦AB上，所以有：（xQ-a）（x'-a）+（yQ-b）（y'-b）=r2，這說明所有動點都在直線（x'-a）（x-a）+（y'-b）（y-b）=r2上。

圖3

原來該直線竟然就是過P點的動弦的對應點的軌跡，也就是說，是以過P點的動弦端點為切點的兩切線交點Q的軌跡方程。

五、思維發散

對于上述③的結論換一個看法，同時又引出了幾個新的思考：

1.將點Q看作是圓外的一直線上的動點，則其對應弦都是過點P的弦，同時這些弦的中點亦即點Q的對應點P'的軌跡是以該直線的對應點與圓心為直徑的一個小圓。（如圖4）

2.若點Q是在與圓相離的圓上的動點，則點Q的對應點P'的軌跡是什么？點Q的對應弦的軌跡有什么規律？（如圖5）

圖4

圖5

3.若點Q是在與圓內含的圓上的動點，則點Q的對應點P'的軌跡是什么？點Q的對應線的軌跡有什么規律？（如圖6）

圖6

4.若點Q是圓內一弦上的動點，則點Q的對應點P'的軌跡是什么？點Q的對應線的軌跡有什么規律？（如圖7）

圖7