中考數學壓軸題中的“動點”問題的分析及對策

廣東省佛山市南海區桂城街道文翰中學 李艷汕

數學學科中的“動點問題”主要是指在數學題的題設圖形里有一個或者多個“動點”且該動點在其線段、弧線或者射線等上面的位置是運動變化的一類開放性的數學題目，也就是從變化和動態的角度來探究三角形、四邊形與函數圖像等之間的變換關系。通過對圖形中的圖形、對稱性以及動點變化規律的研究來探究各種圖形的性質與特征。在解決這類數學題目的過程中通常需要空間思維能力與邏輯推理能力的發揮與運用。

【例1】如圖1 所示，拋物線經過A（-3，0)，B(0，4)，C(4，0）三點。

（1）求拋物線的解析式。

（2）已知AD=AB（且D在已知線段AC上），存在動點P從點A沿線段AC以每秒1 個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t（s）的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值。

圖1

（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

圖2

（2）已知AD=AB可求出點D的坐標，由于AP=t,所以PD的長度可表示出來；由AD=AB可知∠ABD=∠ADB，因為PQ被BD垂直平分，所以PD=QD，可以得到∠PDB=∠QDB，如圖2 所示。

（3）因為點A，C是拋物線與x軸的兩個交點，所以點A和點C關于拋物線的對稱軸直線對稱，因此MA=MC，于是當A,M,Q三點共線，即點M為AQ與直線的交點時，MQ+MC的值最小。

（1）求該拋物線的解析式。

（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC,交BC于點E，連接CQ。當△CQE的面積最大時求點Q的坐標。

圖3

（2）發現△CQE的面積受點Q的位置的變化而變化，當點Q的位置變化時，△CQE的各條邊的長度和各個角的大小都在變化，因此利用恰當的方式表示△CQE的面積是解決問題的關鍵。

如圖4，因為QE∥AC，所以可以利用AQ表示CE的長度，將CE作為△CQE的底邊；而∠B的大小不變，因此可以利用BQ的長度和∠B的三角函數值來表示△CQE的底邊CE上的高。

圖4

圖5

所以當x=3 時，即AQ=3,此時點Q的坐標為（1，0）時，△CQE的面積有最大值3。

求三角形或四邊形的面積最大值問題過程中通常要利用函數知識，在表示圖形的面積時，有時需要對圖形進行割補，割補的原則是能利用動點和一些定點的坐標表示圖形的底邊長和對應的高，然后利用面積公式建立變量之間的函數關系，再利用函數的知識求解最值問題。

課改后數學卷中的數學壓軸題正逐步轉向數形結合、動態結合、實驗探究等方面發展，這些壓軸題題型繁多、題意創新，其主要目的是對學生自主探究能力、分析推理能力、解決問題的能力、空間的想象能力以及對所學知識的實踐運用能力等的考查。通過對歷年來各個地區考試壓軸題的分析與總結，可以發現今后中考數學試題的考查熱點以及命題發展方向。因此，只有深入探究中考試題，把握中考發展方向，才會更有針對性地培養學生的數學學科核心素養，促進學生朝著更加科學、正確的方向發展。