核心素養視角下的高三復習課——一道高考題引發的思考

浙江省溫州市文成縣第二高級中學 潘建波

一、問題提出，定位教學

問題：若實數x,y滿足4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是 。

數學運算能力的培養關鍵是讓學生在“做中學”“做中悟”。高三復習課教學過程不必像新課那樣過分拘泥于一章一節，應該要適當地縱橫發散，在數學知識的縱橫聯系和解題方法的多元選擇中展開復習。在復習的過程中，應彰顯學生的主體地位，培養學生數學思維的深刻性、嚴謹性和廣闊性，以發展學生的數學核心素養。

本題是2011 年浙江高考數學理科第16 題（填空題），學生在實際的解題過程中，思路不清晰，解答不理想。事實上，本題是高中數學中常見的二元函數最值問題，這類問題思路開闊，解法豐富多樣，在各地的高考及競賽試題中屢見不鮮。可以通過不等式、三角、幾何、齊次化等不同角度進行分析，以期了解二元函數最值問題的基本求解策略和方法，對此類問題的解答能夠有一個清晰、完整的過程，實現以少勝多，做一題通一類復習一大片的良好效果。

二、自主探究，一題多解

1.判別式法

點評：判別式法是學生最先想到的，若把z=2x+y看成一個二元函數，消元的好處是可以把問題轉化為學生所熟悉的一元二次方程來解決，整個過程自然簡潔，符合學生的認知水平，但判別式法求最值時要注意取等條件，需要代入檢驗（若題設增加條件x＞1，最值就取不到了）。

2.基本不等式法

點評2：學生通過變形，觀察已知條件的特征，符合基本不等式，該解法技巧性較強，解題過程中必須關注等號成立的條件是否滿足。

3.三角代換法

點評3：學生通過解法2 的啟發，將已知條件用不同的形式呈現，把目標二元函數三角化，解法自然。上述解法本質上是通過三角代換實現了從二元函數降為一元函數的目的，進而結合三角函數知識特點求得最值。

4.換元還圓法

點評4：解法4 其實是解法3 的另一種體現，三角代換也是符合圓方程特征的，解法3 傾向代數計算，而解法4 結合了直線與圓的幾何特點，實現了從數到形的轉化。

5.解三角形

點評5：如果說解法4 是實現了代數到幾何的跨越，那么解法5就是站在幾何角度把本題解釋得更加透徹.上述方法讓我感到學生集體力量之強大，其實作為高三的學生，已經建立起數學知識體系，看問題的角度不同，解題策略就會不同。

6.齊次化

分析6：學生提出可以嘗試將2x+y平方起來，目的是為了和已知條件一樣，化為二次式，然后利用“1”的代換，構造不等式來解決。

點評6：已知等式中的“1”為齊次化打下了很好的基礎，齊次化的本質是利用常數和變量之間的代換，實現分子分母次數統一，從而轉化成不等式或者是函數求最值。

7.配方法

分析7：由已知4x2+y2+xy=1 得4x2+y2+xy-1=0，令z=2x+y，引入參數λ，則z2=4x2+4xy+y2+λ(4x2+y2+xy-1)=0。學生試想，如果帶有x2,y2,xy的三項可以配成一個完全平方式，用待定系數法求出λ，那么z的最值就解決了。

點評7：配方法是一種易于理解、便于掌握的方法，對此類二元函數求最值問題不失為一種通法，想法自然，運算機械性強，貼近學生認知水平。

通過引導學生自主探究，得出上述七種解法，事實上都是通過對題目已知條件和所求目標進行全面的分析，在不同視角下找到解題的切入點.解法1 到解法7 的教學過程，符合學生思維的層層遞進，這種連續性較強的教學使學生的邏輯思維能力得到提升。

三、舉一反三，提升素養

鞏固練習：

①設x,y為實數，若x2+xy+y2=1，則x+y的最大值是___________。

②若x2+2xy-y2=7（x,y∈R），求x2+y2的最小值。

③已知實數x,y滿足x2+y2+xy=3，則x2+y2的取值范圍是________。

數學知識具有很強的邏輯性和系統性，通過上述3 個練習，實現了從一題多解到多題通解，體現了數學知識的整體性。二元函數求最值問題可以從齊次式特征、數與形特征、對稱式特征入手，學生通過一題多解的分析過程鍛煉了數學學習的發散思維，通過多題通解鞏固了數學知識的內化。

整堂復習課注重知識的遷移，引導學生深入思考，采用教師講授與學生自主學習相結合的模式，有利于提高學生的歸納與概括能力，充分訓練了學生的邏輯推理能力和數學運算能力，真正做到了眼中有生、心中有數、以學定教，讓學生經歷了解題方法生成的過程，感受了數學的魅力。